Количественные методы анализа хозяйственной деятельности - Ричард Томас

чениях мы бы получили другие результаты. Но они были бы похоже на те, что мы имеем в этой таблице. Для получения более реалистичной оценки ожидае­ мой прибыли в каждом случае можно взять среднее значение по результатам нескольких прогонов модели. Тем не менее эта таблица все же указывает на возможные решения данной задачи максимизации прибьыи. Видно, что размер заказа в 15 единиц дает относительно постоянный уровень прибыли для целого диапазона точек заказа.

400

Рис. 9.2. Средняя дневная прибыль

Это неудивительно, так как такое количество наиболее близко к среднему спросу за три дня, что соответствует циклу заказа по этому товару.

Эти значения можно отобразить на графике, чтобы показать влияние раз­ личных значений на размер и точку заказа. На рис. 9.2 дано дальнейшее моде­ лирование этой ситуации на протяжении 100 дней. На графике отображена среднедневная прибыль, полученная при моделировании продаж в течение 100 дней при различных значениях двух переменных: по горизонтали показана точ­ ка заказа, а по вертикали — значения среднедневной прибыли. Линии представ­ ляют ряды значений для различных размеров заказа. Из фафика видно, что размер заказа в 15 единиц дает устойчивую линию с небольшими отклонени­ ями в зависимости от значения точки заказа. Но из фафика также следует, что размер заказа в 20 единиц увеличивает размер прибыли, особенно при точке заказа в 10 единиц. Чтобы подтвердить эти результаты, необходимо проработать новые модели с другими значениями спроса.

9.9. Упражнения: модели управления запасами

1. (Е) С помощью случайных чисел смоделируйте спрос на товары в тече­ ние 10 дней. Спрос распределен следующим образом:

2. (i) Магазин электротоваров «ABC» в Нью-Йорке реализует различные электротовары, в том числе системы Hi-Fi, проигрыватели лазерных дисков, стиральные машины и холодильники. Дневной спрос на стиральные машины «Электролуп де-люкс» распределен следующим образом:

Запасы обычно пополняются при достижении уровня в 6 единиц и менее, при этом размер заказа составляет 8 стиральных машин, а цикл заказа — 3 дня.

При условии, что первоначальный запас составляет 10 стиральных машин, определите с помощью метода моделирования спрос на этот товар в течение 20 дней. Какова вероятность возникновения дефицита при проведении такой по­ литики размещения заказов?

3. (D) Рассмотрим задачу из п. 2. Но введем дополнительную информацию: а) Стиральные машины продаются в розницу по цене 300 долл. США за

штуку.

б) Стоимость приобретения у производителя одной машины составляет 150 долл..

в) Затраты на оформление заказа составляют 50 долл. на один заказ в виде административных издержек и расходов по доставке.

г) Неудовлетворенная потребность обходится «ABC» в 200 долл.

(i)Повторно смоделируйте ситуацию, как в п. 2, но с учетом дополни­ тельной информации. Определите дневные доходы и расходы, связанные с реализацией стиральных машин.

(ii)Не лучше ли заказывать по 10 машин в одной партии при точке заказа

в8 или менее? Отработайте этот вопрос на новой модели.

(iii)Как насчет других стратегий размещения заказов? Что если компании заказывать по 20 машин при точке заказа от 10 и ниже? Смоделируйте эту

9.10. Задачи массового обслуживания

Моделирование можно использовать для решения задач, связанных с мас­ совым обслуживанием. Такие ситуации обычны там, где есть покупатели, а также товары или заказы, поступающие в определенное время, при этом об­ служивание осуществляется в определенной последовательности (иначе говоря, в последовательности их прибытия). Далее перечислен ряд примеров, когда мы сталкиваемся с вопросами массового обслуживания:

(i)Клиенты приходят в банк и выстраиваются в одну очередь, которая обслуживается несколькими окнами. Интенсивность входящего потока укажет на оптимальное количество окон, которые должны быть открыты в любое оп­ ределенное время.

(ii)Клиентские заказы поступают на центральную базу предприятия и затем распределяются фуппой работников по соответствующим отделам. Глав­ ное, чтобы эти заказы обрабатьгвались быстро и эффективно, а количество занятых этим работников и последовательность выполнения ими своих дей­ ствий можно отнести к вопросам массового обслуживания.

(iii)Готовые изделия на выходе линии сборки должны быть отправлены на центральный склад. Места для готовой продукции там немного, и поэтому

главное — быстро эти товары отработать и отправить. Товары, по сути, образу­ ют очередь на выходе со сборочной линии, и за этим необходим внимательный контроль.

(iv) Машины подъезжают к основному дорожному перекрестку с извест­ кой интенсивностью. Светофору можно задать определенное время переключе­ ния цветов, с тем чтобы минимизировать скопление машин и время прохож­ дения ими этого перекрестка.

Во всех этих примерах методы моделирования позволят провести деталь­ ный анализ заданной ситуации и сравнить решения по конкретным вопросам. Эти вопросы зачастую связаны с такими переменными, как длина очереди, время ожидания и затраты, а также с тем, как их удержать на самом низком уровне. В большинстве случаев при проведении такого рода анализа необходимо учесть основополагающие сведения по структуре входящего потока, интенсив­ ности входящего потока и времени обслуживания.

На последующих примерах мы рассмотрим анализ задач массового обслу­ живания с помощью методов моделирования.

9.11. Интенсивность входящего потока

Руководство крупной бензозаправочной станции обеспокоено тем, что теряются клиенты из-за длительного времени ожидания, которое иногда необ­ ходимо, чтобы заправить машину. В течение недели проводилось внимательное обследование интенсивности въезда машин в зону обслуживания. В таблице ниже приведены данные по интенсивности входящего потока;

Обратите внимание, что это обычный способ определения интенсивности входящего потока. Альтернативный способ состоит в простом подсчете клиен­ тов, прибывающих в течение определенных периодов времени. Например, в таблице ниже показано количество прибывших клиентов:

Хотя эта информация и имеет ценность, все же при моделировании лучше фиксировать время между прибытием клиентов (интервал между пос­ ледовательными поступлениями требований), а не число прибытий за опре­ деленный период. Из таблицы видно, что после прибытия клиента имеется 60%-ная вероятность того, что следующий клиент прибудет через минуту, и 25%-ная вероятность того, что следующий клиент подъедет в течение вто­ рой минуты.

Т Определение. Интервал между последовательными поступлениями требо­ ваний определяет разность во времени прибытия клиентов в ситуациях, связанных с массовым обслуживанием. •

Для моделирования последовательного прибытия клиентов можно ис­ пользовать случайные числа. Так, если взять двузначные случайные числа,

то первые 60 чисел (00—59) покажут интервал в I минуту. Следующие 25 случайных чисел (60—84) покажут интервал в 2 минуты и т. д. (см. таблицу ниже):

Далее в таблице показано прибытие первых десяти клиентов на станцию. Случайные числа, которые используются при моделировании, взяты в скобки.

Итак, мы смоделировали интервалы последовательного прибытия клиен­ тов. Мы исходим из того, что отсчет начинается с О, и видно, что первый клиент прибывает тремя минутами позже. Второй клиент прибывает с интерва­ лом в 1 минуту, то есть он прибывает на четвертой минуте. В принципе, фак­ тическое время прибытия любого клиента получается путем прибавления вре­ менного интервала по клиенту ко времени прибытия предшествующего клиента. Как видно из модели, десять клиентов прибыли в первые четырнадцать минут.

Данную информацию можно далее использовать при анализе различных ме­ тодов обслуживания. Такого рода задача обозначена на последующем примере.

9.12. Модели обслуживания

Очевидно, что для анализа конкретной задачи массового обслуживания необходимо располагать информацией по длительности обслуживания клиентов. Далее в таблице приведены данные по времени, которое затрачивается на об­ служивание клиентов на бензозаправочной станции:

Время обслуживания можно смоделировать с помощью двузначных чисел, как мы это делали ранее. Так, первые 20 случайных чисел (00—19) показывают время обслуживания в 2 минуты. Далее в таблице приведены случайные числа, которые отражают определенное время обслуживания:

Итак, получаем время обслуживания первых десяги клиентов, приезжаю­ щих на станцию (см таблицу далее) Случайные числа, которые используются при моделировании, указаны в скобках

Интервалы и время обслуживания можно проанализировать как единое целое для определения длины очереди в этом конкретном случае Далее вы видите еще одну таблицу, в которой даны уже смоделированные интервалы и время прибытия, а также длина очереди по прибытии каждого следующего клиента на станцию В таблицу заложено условие о том, что одномоментно может быть обслужен только один клиент. То есть мы в данном случае рассмат­ риваем станцию самообслуживания с одной колонкой, или же обычную стан­ цию с одним дежурным.

Обратите внимание, что в длину очереди включены все клиенты, ожида­ ющие обслуживания. То есть сюда включен прибывший клиент, но не включен клиент, который в это время обслуживается

Время прибытия (колонка 2) и время обслуживания (колонка 4) уже нами смоделированы с помощью случайных чисел. В колонке «Время начала обслужива­ ния» указано время, когда начинается обслуживание клиента, и в колонке «Время окончания обслуживания» — когда обслуживание заканчивается. Для первого кли­ ента «время начала обслуживания» есть время прибытия, так как другие клиенты в это время не обслуживаются. После первого клиента «время начала обслужива­ ния» есть «время окончания обслуживания» предьщущею клиента.

Т Определение. Задачи массового обслуживания можно анализировать пу моделирования таких переменных, как интервал между последовательным п тием клиентов и время обслуживания клиентов •

Длина очереди, т. е. количество клиентов, ожидающих обслуживания, оп­ ределяется следующим образом:

(i)Берется время прибытия клиентов, например клиент 5 прибывает на 7-й минуте.

(ii)С учетом «времени начала обслуживания» и «времени окончания об­ служивания» предьщущих клиентов определяется, кто обслуживается в текущий момент, например на 7-й минуте, все еще обслуживается клиент 2 (так как «время начала обслуживания» клиента 2 равно 6, а «время окончания обслужи­ вания» — 10,

(iii)Далее рассчитывается длина очереди как номер текущего клиента минус номер клиента, который сейчас обслуживается.

Необходимо учитывать, когда время прибытия клиента совпадает со «вре­ менем начала» или «временем окончания» обслуживания предыдущего клиента. Так, клиент 7 прибывает на 10-й минуте. В это время как раз заканчивается обслуживание второго клиента и начинается обслуживание третьего. Отсюда следует, что в очереди у нас только 4 клиента, включая клиента 7.

9.13. Время ожидания

Модель, показанная в предыдущем разделе, может быть использована для анализа времени ожидания по каждому из клиентов. Это важная переменная при анализе массового обслуживания, и для соответствующего руководителя она будет важным индикатором удовлетворения покупательского спроса.

В таблице дана модель прибытия и обслуживания десяти клиентов на бен­ зозаправочной станции, а также имеется дополнительная колонка со временем ожидания по каждому клиенту:

В этой таблице время ожидания рассчитано как разница между временем прибытия и временем начала обслуживания каждого клиента. Из этой модели видно, что положение на этой станции может быстро выйти из-под контроля. По мере анализа модели мы наталкиваемся на два разительных обстоятельства. Во-первых, длина очереди очень быстро увеличивается: так, десятый покупа­ тель прибывает, когда в очереди уже ждут обслуживания шесть клиентов. Вовторых, по этой причине быстро нарастает время ожидания последующих кли­ ентов. Первому покупателю ждать не надо, а 10-му клиенту в этой модели придется ждать 22 минуты, прежде чем его обслужат. Очевидно, что такое

положение вешеи нельзя далее терпеть Есть вероятность потери клиентов, так как они не захотяг ждать все больше и больше времени Для руководителя этой станции имеется несколько возможных решений Наиболее очевидное состоит в том, чтобы увеличить количество одномоментно обслуживаемых клиентов Так, для этого можно либо увеличить число колонок, либо шгат персонала Далее в таблице приведена модель ситуации, когда имеется две колонки Используются аналогичные данные по времени прибытия и времени обслуживания Это сде­ лано для того, чтобы можно было провести прямое сравнение с исходной ситуацией и, гаким образом, выяснить, повлияет ли это существенным обра­ зом на положение вещей

По этой модели одномоментно может обслуживаться два клиента То есть клиенты 1 и 2 прибывают, и их немедленно обслуживают Когда прибывает клиент 3, то ему надо подождать, пока не закончат обслуживание одного из предьшущих клиентов Будьте внимательны при определении длины очереди по мере прибытия других клиентов В частности, помните о том, что в текущий момент обслуживается два клиента, и ни один из них не стой г в очереди Так, к примеру, клиент 7 прибывает на десятой минуте В это время обслуживаются два клиента клиент 4 (время начала обслуживания — 8 и время окончания обслуживания — 13) и клиент 5 (время начала обслуживания — 8 и время окончания обслуживания — 11) То есть все клиенты после 5-го находятся в очереди, включая 6-го и 7-го

Среднее время ожидания по одному клиенту и средняя длина очереди для одного клиенга являются полезными индикаторами работы при таких обстоя­ тельствах Так, мы смоделировали две ситуации, когда используется 1 и 2 ко­ лонки соответственно, и получили следующие результаты

Очевидно, что при наличии второй колонки снижаются время ожидания и длина очереди Ситуация, когда имеется одна колонка, даже хуже, чем можно предположить исходя из средних значений, выведенных в этой таблице По модели видно, что время ожидания и длина очереди все время увеличивается То есть если построить модель на более продолжительный отрезок времени,

3 3 0 ГЛАВА 9

например по первым двадцати или более клиентам, то разница между двумя смоделированными ситуациями станет еще большей. Даже при наличии второй колонки отмечается небольшое, едва уловимое увеличение времени ожидания и длины очереди с течением времени.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что в этих условиях необхо­ димы три колонки, чтобы обеспечить удовлетворительное обслуживание клиен­ тов, прибывающих на бензозаправочную станцию. Смоделируйте самостоятель­ но ситуацию, когда одномоментно можно обслуживать трех клиентов.

9.14. Анализ расходов и доходов

Помимо анализа таких переменных, как длина очереди и время ожидания, совершенно очевидно, что необходимо проанализировать возможные доходы и расходы. В предьщущих моделях мы установили, что при увеличении числа то­ чек обслуживания (в нашем случае — колонок) растет число клиентов, кото­ рых можно обслужить, и, следовательно, растет возможный доход. Однако су­ ществует предел количества точек обслуживания, которые можно организовать. За определенным уровнем расходы по организации новых точек обслуживания не оправданы с точки зрения возможного увеличения доходов. Проанализируем предьщущую модель, но с учетом уже следующей дополнительной информации. Бензин отпускается дежурными по бензозаправочной станции. Каждый дежур­ ный получает 5 ф. ст. в час. В среднем один клиент приносит 2 ф. ст. Далее, рассмотрим еще одно дополнительное условие, связанное с прибытием клиен­ тов на станцию: если длина очереди составляет 2 клиента или более, то любой прибывающий уезжает, не дожидаясь обслуживания. Это пример более реаль­ ной ситуации, потому что на практике клиенты не любят ждать неопределен­ ное время в ожидании обслуживания. В приведенной таблице дана новая модель с условием работы двух дежурных:

В этой модели длина очереди не должна превышать 2-х клиентов. Иначе говоря, если в очереди уже 2 клиента, то следующий прибывающий клиент уезжает, не дожидаясь обслуживания. Следовательно, приемлемо, если прибы­ вающий клиент становится вторым в очереди. Так, по нашей таблице видно, что клиент 5 становится вторым в очереди, и, аналогично, клиенты 7 и 8 оба прибывают, когда в очереди 1 клиент, то есть клиент 9 стал бы третьим в очереди. В данной модели такая ситуация неприемлема, и по условиям этот клиент уезжает, не дожидаясь обслуживания. В таблице это отмечено знаком** в колонке длины очереди. По остальным позициям в этом ряду проставлены пропуски, так как отсутствуют переменные для анализа.

Мы ВИДИМ, что после первых 22 минут уже обслужено 9 клиентов (это показано временем окончания обслуживания по клиенту 10). Далее, общий доход за это время составляет 18 ф. ст. Можно оценить часовой доход по этой модели следующим образом: 60/22 х 18 ф. ст. = 49 ф. ст.

Обратите внимание, что более точную оценку можно получить путем мо­ делирования ситуации на более продолжительном отрезке времени.

Имеется двое дежурных, каждый из них получает по 5 ф. ст. в час, то есть расходы на содержания персонала составляют 10 ф. ст. в час. Следовательно, суммарная прибыль составляет 39 ф. ст. в час.

Очевидно, что аналогичный анализ можно провести для определения доходности при условии наличия большего числа дежурных. Так, если мы возьмем эту модель, но при условии наличия 3-х дежурных, то единствен­ ное существенно ее отличие будет состоять в том, что клиент 9 будет об­ служен. Это даст дополнительный доход в 2 ф. ст. на 22-минутном отрезке при дополнительных расходах в 5 ф. ст. в час. Видно, что преимущества привлечения услуг дополнительного дежурного минимально выгодны, сле­ довательно, не надо привлекать четырех или более дежурных. Из этого при­ мера видно, что использование модели может дать дополнительную инфор­ мацию в процессе принятия управленческих решений, в частности в том, что касается привлечения людских ресурсов.

9.15. Практическое применение

Один из отделов компании «Редналл» оказывает немедленную помощь по вопросам, связанным с программным обеспечением, поставляемым и/или раз­ работанным компанией. Далее в таблице приведена частота телефонных звон­ ков, поступающих в этот отдел:

Каждый звонок принимается немедленно на центральном пульте, далее клиента переадресуют в соответствующую службу и просят подождать. Каждый запрос принимается отдельным служащим отдела, при этом время разговора различно (см. таблицу ниже):

Спомощью моделирования определим оптимальное количество служащих

вэтом отделе. Обратите внимание, что недопустимо, чтобы клиенты ждали помощи более 10 минут.

Как и в предьщущих примерах, можно использовать случайные числа для моделирования заданных переменных. В частности, можно взять следующие случайные числа:

Аналогично, время на обслуживание клиентов:

Руководитель службы технического обеспечения затребовал информацию о том. сколько времени обычно клиент ожидает помощи, а также сколько кли­ ентов ожидают помощи в любой данный момент времени. Модель можно ис­ пользовать для определения численности персонала, необходимого для оказа­ ния удовлетворительной и эффективной помощи в реальном режиме времени.

Далее в таблице приведена модель количества запросов, поступающих на пульт службы технического обеспечения при условии, что обслуживание про­ изводится только одним служащим этой службы:

Числа в скобках — это случайные числа, использованные для моделирова­ ния времени между звонками и времени обслуживания.

Как видно из таблицы, после первых нескольких клиентов возникает не­ допустимая ситуация: время ожидания и количество клиентов, ожидающих об­ служивания, нарастают очень быстро.

Очень быстро возникнет, таким образом, ситуация, когда клиенты не за­ хотят ждать более и по причине плохого обслуживания они постараются найти ту организацию, которая обеспечит им более удовлетворительное обслужива­ ние. Отсюда следует, что необходимо увеличить штат работников этого важного направления клиентской службы

Далее вы увидите повторение модели, при условии 15 запросов и при условии работы двух служащих.

Когда работают двое служащих, ситуация, похоже, достаточно стабильна. Иногда возникает небольшая очередь, но затем она рассасывается. В этой моде­ ли максимальное время ожидания составляет 10 минут, и почти половина (7 из 15) клиентов вообще не ждут, прежде чем их обслужат. Очевидно, что привле­ чение к этой работе еще одного сотрудника улучшит ситуацию и обеспечит предоставление иемед;1енной помощи большей части клиентов.