3.2. Погрешности дискретизации и восстановления непрерывных сигналов

Теорема Котельникова справедлива только для сигналов с финитным (ограниченным) спектром. На рис. 3.6 показаны некоторые варианты финитных спектров.

Финитный сигнал:

Рисунок 3.6. Пример финитных сигналов (с ограниченным спектром)

Однако спектры реальных информационных сигналов бесконечны. В этом случае Теорема Котельникова справедлива с погрешностью. Погрешность дискретизации определяется энергией спектральных оставляющих сигнала, лежащих за пределами частоты (рис. 3.7).

Реальный сигнал:

– погрешность дискретизации.

Рисунок 3.7. Спектр сигнала, ограниченного ω_в

Вторая причина возникновения погрешностей – неидеальность восстанавливающего ФНЧ. При этом нарушается ортогональность функции типа и происходит смещение нулей.

Таким образом, погрешность дискретизации и восстановление непрерывного сигнала определяется следующими причинами:

1. Спектры реальных сигналов не финитны;

2. АЧХ идеальных ФНЧ неидеальна.

Пример:

Если в качестве ФНЧ использовать RC-фильтр, то восстановленный сигнал на его выходе будет иметь вид, представленный на рис. 3.8, с учетом того, что импульсная реакция RC-фильтра:

Рисунок 3.8. а) полученный на приеме сигнал;

б) переданный сигнал

Вывод:

Чем выше частота дискретизации и чем ближе спектральная характеристика ФНЧ к идеальной, тем восстановленный сигнал ближе к переданному.

3.3. Структурная схема передачи аналогового сигнала отсчетами Котельникова

На рис. 3.9 изображена структурная схема передачи аналогового сигнала с использованием теоремы Котельникова.

Сообщение от источника преобразовывается в первичный сигнал и поступает на фильтр нижних частот (ФНЧ), который определяет интервал дискретизации , где – частота среза ФНЧ. Далее в дискретизаторе непрерывная функция преобразуются в дискретные отсчеты, которые с помощью переносчика (модулятора) преобразуются в сигнал, согласованный с линией связи. На приемной стороне после демодулятора отсчеты подаются на ФНЧ и далее сообщение поступает к получателю.

Рисунок 3.9. Структурная схема передачи аналогового сигнала отсчетами Котельникова

Временные и спектральные характеристики сигналов в различных точках структурной схемы показаны на рис. 3.10, 3.11.

Рисунок 3.10. Временные и спектральные характеристики сигналов на передающей стороне

Рисунок 3.11. Временные и спектральные характеристики сигналов на приемной стороне ( – спектральная плотность мощности флуктуационной помехи)

4. Методы формирования и преобразования сигналов

4.1. Классификация радиотехнических цепей

Любая радиотехническая (электрическая) цепь описывается дифференциальным уравнением

Если , то это линейная электрическая (радиотехническая) цепь (ЛЭЦ). Она состоит из линейных элементов , , .

Рисунок 4.1. Линейные элементы (ЛЭ)

Для линейной цепи справедлив принцип суперпозиции: реакция на суммарное воздействие равна сумме реакций на каждое из воздействий в отдельности.

Например:

– характеристика ЛЭЦ.

В линейной цепи невозможно появление новых частот, не содержащихся во входном воздействии (сигнале).

1. Если

,

то цепь называется нелинейной (НЭЦ) и состоит из нелинейных , , .

Рисунок 4.2. Нелинейные элементы (НЭ)

Для НЭЦ не справедлив принцип суперпозиции. Пусть НЭЦ описывается уравнением:

В НЭЦ возникают новые частоты, не содержащиеся во входном воздействии.

2. Если

,

то цепь называется параметрической (ПЭЦ) и состоит из элементов, зависящих от времени:

Рисунок 4.3. Параметрические элементы (ПЭ)

Для ПЭЦ:

а) справедлив принцип суперпозиции;

б) возможно появление новых частот.

ПЭЦ конструируется на основе нелинейных элементов, на которые мы подаем напряжение независящее от времени.

Рисунок 4.4. Пример использования параметрического элемента

Принципы преобразования спектров

Рисунок 4.5. Использование ПЭ (НЭ)

Таблица 1 – Характеристики сигналов

На входе НЭ (ПЭ)	На выходе НЭ (ПЭ)
Спектр воздействия:
Функция плотности вероятностей:
Функция распределения вероятностей:
Математическое ожидание:
Дисперсия:
Функция корреляции:
Интервал корреляции:
Коэффициент корреляции:
Энергетический спектр:
Полоса спектра:

Преобразования бывают:

Пассивные преобразования – такое преобразование, в результате которого не возникает новых частот.

Активные преобразования – такое преобразование, в результате которого возникают новые частоты (которых не было в исходном возмущении). Активное преобразование возможно только с использованием нелинейного или параметрического элемента (т.е. возможно только в нелинейных или параметрических цепях).

Рассмотрим нелинейную цепь:

где – параметр цепи,

– возмущение (воздействие),

Т.к.

Амплитуда 1-й Постоянная Амплитуда 2-ой

гармоники составляющая гармоники

Иногда появление новых частот является вредным явлением, например, при усилении НЧ сигналов, что приводит к нелинейным искажениям.

Относительный уровень нелинейных искажений определяется коэффициентом гармоник и рассчитывается по формуле:

Рисунок 4.6. Спектры токов на входе и выходе НЭ

Рассмотрим воздействие бигармонического колебания на нелинейный элемент:

Рисунок 4.7. Спектры напряжений (токов) при воздействии бигармонического колебания на НЭ

Для параметрической цепи:

При преобразованиях кроме нелинейных элементов используются фильтры, т.е. линейные элементы.