9.4. Вероятность ошибки в приемнике Котельникова (общий случай и частные случаи)
Определим вероятность ошибки в системе передачи двоичных сигналов при приеме на оптимальный приемник. Эта вероятность, очевидно, будет минимально возможной и будет характеризовать потенциальную помехоустойчивость при данном способе передачи.
Ошибка произойдет, если при передаче неравенство превращается в противоположное. Приемник принимает при передаче .
получили
при передаче
.
Подставляя в (9.24)
,
получим:
Введя некоторые обозначения, можно получить:
где
– эквивалентная энергия разности
сигналов
,
– аддитивная помеха.
– случайная величина, т.к. зависит от .
Средняя вероятность ошибки определяется следующим выражением:
если канал симметричный, т.е.:
тогда:
– сумма вероятностей
для полной группы событий. Тогда:
Пусть распределена по нормальному закону. Тогда и распределена по нормальному закону, т.к. линейное преобразование нормального процесса дает нормальный процесс.
математическое ожидание равно 0.
Можно
показать, что
,
где
– спектральная плотность.
где
– интеграл вероятностей (табулированная
функция):
Раскрывая аргумент интеграла вероятности:
окончательно получаем
Формула (9.32) является достаточно общей. Для конкретных видов модуляции в канале связи эту формулу видоизменяют, для чего вычисляют соответствующее значение . При этом для различных видов модуляции определяется через энергию одного из сигналов, а в окончательную формулу вводят величину
Следовательно, в приемнике Котельникова, который также называется когерентным (в приемнике известна фаза принимаемого сигнала), вероятность ошибки зависит не от отношения мощности сигнала к мощности помехи, а от отношения энергии сигнала к спектральной плотности помехи. Это позволяет, не меняя мощности сигнала, увеличить его энергию за счет увеличения его длительности, что дает дополнительные возможности в построениии помехоустойчивых систем связи. Иначе говоря, в идеальном приемнике Котельникова зависит от и (спектральная плотность помехи) и не зависит от полосы пропускания приемника.
9.5. Частные случаи
1. Дискретная амплитудная модуляция (ДАМ).
Подставляя это значение в (9.24), получим:
2. Дискретная частотная модуляция (ДЧМ).
При
частотной дискретной модуляции сигналы
являются взаимоортогональными, поэтому
их функция взаимной корреляции равна
нулю. Кроме того, благодаря равной
амплитуде сигналов
и
.
В результате
,
а
Подставляя эту величину в (9.32), получим:
3. Дискретная фазовая модуляция (ДФМ).
Подставляя эту величину в (9.32), получим:
Сравнивая
между собой формулы (9.34), (9.35), (9.36), видим,
что для достижения заданной вероятности
ошибки при ДЧМ требуется величина
в
раз больше, чем при ДФМ, а при ДАМ в 2 раза
больше, чем при ДФМ. Отсюда видно, что
переход от ДАМ к ДЧМ дает двухкратный
выигрыш по мощности, а к ДФМ – четырехкратный
выигрыш. Причину этого можно наглядно
установить, рассматривая векторные
диаграммы сигналов для разных видов
модуляции.
Рисунок 9.9. Векторные диаграммы сигналов дискретной модуляции
Из
рисунка видно, что при ДАМ расстояние
между векторами сигналов
и
равно длине вектора
,
при ДЧМ (взаимоортогональные сигналы)
это расстояние равно
,
а при ДФМ (противооложные сигналы) это
расстояние равно
.
Энергия же пропорциональна квадрату
разности сигналов.
Следует заметить, что приведенные здесь данные об энергетике сигналов ДАМ, ДЧМ и ДФМ относились к максимальным (пиковым) мощностям этих сигналов. В этом смысле, например, при переходе от ДЧМ к ДАМ мы имеем двухкратный выигрыш в пиковой мощности.
Однако, сигналы ДАМ имеют пассивную паузу (мощность сигнала в паузе равна нулю), поэтому по потребляемой передатчиком мощности, кроме отмеченного ранее проигрыша, имеется еще и двухкратный выигрыш. С учетом этого обстоятельства при переходе от ДЧМ к ДАМ двухкратный проигрыш по пиковой мощности компенсируется двухкратным выигрышем за счет пассивной паузы сигналов ДАМ., в результате чего по потребляемой мощности эти сигналы оказываются равноценными. Однако, следует помнить, что при ДАМ в приемнике Котельникова трудно установить необходимый порог в сравнивающем (решающем) устройстве, а в приемнике ДЧМ регулировка порога не требуется. Поэтому частотная модуляция применяется чаще, чем амплитудная.
Отметим еще раз, что приемник Котельникова обеспечивает наилучшую (потенциальную) помехоустойчивость. Это достигается благодаря тому, что при приеме учитываются все параметры сигнала, не несущие информации: амплитуда, частота, фаза несущего колебания, а также длительность сигнала , т.к. интегрирование (фильтрация) осуществляется в течении этого времени. Решение о принятом сигнале обычно осуществляется в конце каждого интервала , для чего в приемнике должна иметься специальная система синхронизации элементов сигнала.
Рисунок 9.10. Кривые помехоустойчивости дискретной модуляции