3. Теорема и ряд Котельникова

Радиотехнические сигналы подразделяются на непрерывные и дискретные. Непрерывные сигналы (функции) могут принимать любые, сколь угодно близкие друг к другу значения, в любые моменты времени. Примером непрерывного сигнала является гармоническое колебание.

Дискретные (цифровые) сигналы могут принимать только заранее известные значения, отличающиеся одно от другого на конечную величину, причем изменяться эти значения могут только в определенные моменты времени. Примером дискретного сигнала является (рис. 3.1) периодическая последовательность прямоугольных импульсов, которая в момент времени принимает значения 0 или .

Рисунок 3.1. Периодическая последовательность прямоугольных однополярных импульсов

Любая непрерывная функция, спектр которой не содержит частот выше , полностью определяется своими отсчетами, взятыми через интервал времени – теорема Котельникова.

– наивысшая частота спектра сигнала.

Рисунок 3.2. а) последовательность отсчетов непрерывной функции;

б) ограничение спектра непрерывной функции

– интервал Котельникова,

– аппроксимирующая функция.

Доказательство: теорема Котельникова основывается на преобразовании Фурье:

Далее теорема Котельникова основывается на разложении функции в комплексный ряд Фурье, на осуществлении перехода от , от и от .

С математической точки зрения теорема Котельникова означает представление сигнала в виде ряда:

– отсчеты, ( ),

– функция отсчетов.

Ряд Котельникова – это разложение сигнала в ряд по ортогональным функциям:

Выводы:

1. Ряд Котельникова является основание для восстановления на приеме непрерывного сигнала по отсчетам.

2. Ряд Котельникова лежит в основе всех импульсных способов передачи сигналов.

ИКМ – импульсно-кодовая модуляция,

АИМ – амплитудно-импульсная модуляция,

ШИМ – широтно-импульсная модуляция,

ФИМ – фазоимпульсная модуляция.

Замечание:

1. – нельзя, т.к.:

Иначе будет потеряна информация об исходном сообщении.

2. можно, но точность передачи не возрастет; если

, то .

3.1. Восстановление непрерывного сигнала по отсчетам

Для восстановления исходного непрерывного сигнала из импульсов – отсчетов надо эти импульсы подать на вход идеального фильтра нижних частот (ИФНЧ), который имеет следующие характеристики.

Амплитудно-частотная характеристика идеального ФНЧ (АЧХ ИФНЧ) имеет вид:

Рисунок 3.3. АЧХ ИФНЧ

Идеальная реакция ИФНЧ, т.е. реакция на дельта-импульс, имеет вид:

Формула (3.2) определяет точки, где функция обращается в ноль.

Спектр на выходе ИФНЧ:

– спектр дискретизированного сигнала,

– спектр входного воздействия,

– частота дискретизации.

Рисунок 3.4. Импульсная характеристика ИФНЧ

Сущность восстановления исходного сигнала по отсчетам Котельникова показана на рис. 3.5.

Рисунок 3.5. Процесс восстановления сигнала по отсчетам Котельникова

Таким образом, с точностью до постоянного множителя мы получим на выходе ИФНЧ спектр исходного сигнала. С временной точки зрения мы получим исходный непрерывный сигнал .