9.6. Оптимальная фильтрация дискретных сигналов

Оптимальный приемник является корреляционным; сигнал на его выходе представляет собой функцию корреляции принимаемого сигнала и ожидаемого , благодаря чему обеспечивается максимально возможное отношение сигнал/шум .

Рисунок 9.11. Сущность оптимальной фильтрации

Поскольку опрерация определения функции корреляции является линейной, ее можно реализовать в некотором линейном фильтре, характеристики которого (комплексная передаточная характеристика и импульсная характкристика ) являются такими, что отношение сигнал/шум на его выходе получается максимальным, причем

Найдем характеристики фильтра, когда помеха является флуктуационной со спектральной плотностю , .

Пусть сигнал на входе фильтра имеет комплексный спектр . Тогда сигнал на выходе фильтра можно определить с помощью преобразования Фурье

где

Нас интересует значение в момент принятия решения (момент отсчета ), поэтому, заменив на , получим:

Чтобы получить максимальную величину , нужно найти оптимальную характеристику фильтра . Для этой цели можно воспользоваться известным неравенством Шварца-Буняковского, имеющим вид:

Легко проверить, что данное неравенство превращается в равенство при условии, что

где – любая произвольная постоянная. В нашем случае, применительно к формуле (9.37), величина будем максимальной при условии

(это условие оптимальности характеристики , поэтому здесь и в дальнейшем заменено на ).

Подставляя в левую часть формулы (9.38)

получаем:

или, сокращая на :

Последнюю формулу можно представить в виде двух составляющих, позволяющих найти амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) оптимального (или согласованного) фильтра и фазо-частотную характеристику :

откуда:

здесь – фазо-частотный спектр входного сигнала,

– запаздывающий множитель, учитывающий то, что «отсчет» величины сигнала на выходе фильтра производится в момент , когда возникает максимум выходного сигнала фильтра.

Условие (9.41) имеет простой смысл: фильтр должен лучше пропускать составляющие спектра сигнала, имеющие большую амплитуду, и в меньшей степени пропускать составляющие сигнала, имеющие меньшую амплитуду.

Условие (9.43) также имеет простой смысл: в момент отсчета все составляющие спектра выходного сигнала имеют нулевую фазу, благодаря чему выходное напряжение в момент имеет наибольшее отношение мощности сигнала к мощности помехи.

Условия (9.42) и (9.44) можно объединить в одно, представив передаточную характеристику в комплексной форме:

Можно, наконец, последнюю формулу представить в следующем виде:

Здесь – колмплексно-сопряженный спектр по отношению к .

Отношение сигнал/помеха определяется, как обычно, формулой

где – мощность сигнала на выходе фильтра в момент ,

где – мощность (дисперсия) помехи на выходе фильтра,

– эффективная полоса пропускания оптимального фильтра.

Подставляя в (9.47) выражение (9.37) и (9.48) с учетом (9.33), получим

где

– энергия сигнала на выходе фильтра.

Из (9.49) видно, что отношение сигнал/помеха численно равно отношению сигнала к спектральной плотности помехи (как в приемнике Котельникова) и не зависит от формы сигнала. А т.к. энергия сигнала равна произведению мощности сигнала на его длительность, то для повышения помехоустойчивости систем связи с использованием согласованных фильтров (СФ) можно увеличивать ширину спектра элементарных сигналов, что и делается в широкополосных системах связи.

При применении в демодуляторе приемника согласованных фильтров в сочетании с когерентным способом приема можно достичь потенциальной помехоустойчивости.

Импульсная характеристика оптимального фильтра (отклик фильтра на дельта-функцию) определяется известным выражением

Подставив сюда значение из (9.46), получим:

Интегрирование в последней формуле производится по всем частотам от до , поэтому знак перед в этой формуле можно изменить на противоположный, что не приведет к изменению результата вычисления интеграла. В результате получим:

А т.к. на основании преобразования Фурье

то, сравнивая (9.50) и (9.51), получаем

Таким образом, функция отличается от только постоянным множителем , смещением на величину и знаком аргумента (т.е. функция является зеркальным отображением , сдвинутым на величину )

На рис. 9.12 в качестве примера приведен некоторый сигнал , зеркально перевернутый сигнал и функция .

Рисунок 9.12. Пример получения СФ

Как уже говорилось, величину обычно берут равной длительности сигнала . При поступлении на вход системы сигнала , выходной сигнал y определяется известным интегралом Дюамеля

Пусть на вход оптимального фильтра поступает аддитивная смесь, содержащая сигнал , с которым фильтр согласован, и помеха (это может быть флуктуационная помеха или какой-нибудь детерминированный сигнал, с которым фильтр не согласован): .

Подставляя и учитывая (9.52), получаем:

заменяя на , получим:

Таким образом, на выходе согласованного фильтра получаем под действием сигнала функцию корреляции сигнала, а под действием помехи – функцию взаимной корреляции сигнла и помехи. Если на входе фильтра только помеха (без сигнала), на выходе получаем только функцию взаимной корреляции помехи и сигнала, с которой фильтр согласован.

В формуле (9.55) – любой произвольный множитель, поэтому произведение можно заменить на произвольный множитель . В момент времени (момент отсчета) формула (9.55) принимает вид:

Примечание: если на вход согласованного фильтра поступает флуктуационная помеха, то теоретически функция взаимной корреляции должна быть равна нулю, т.к. сигнал и помеха являются независимыми функциями времени. Однако на практике это не так, т.к. при вычислении функции корреляции требуется бесконечно большое время интегрирования. В нашем же случае интегрирование ведется за время, равное , поэтому значение является приближенным. Результаты фильтрации не зависят от формы сигнала, следовательно, фильтр может быть применен и без детектора. Тогда оптимальный приемник полностью известных сигналов может быть реализован в виде двух согласованных фильтров СФ₁ и СФ₂ и решающего устройства.

Рисунок 9.13. Оптимальный приемник на СФ