7.2. Числовые характеристики случайных процессов

Полным описанием любого случайного процесса является n-мерная функция распределения вероятностей или n-мерная функция плотности вероятностей . Однако, не всегда есть необходимость иметь полное, но очень сложное описание случайного процесса. На практике достаточно знать усредненные (числовые) характеристики:

1) математическое ожидание ;

2) дисперсию ;

3) функцию корреляции.

Математическое ожидание случайного процесса

Рисунок 7.2. Три реализации случайного процесса с различным математическим ожиданием

Математическое ожидание случайного процеса представляет собой неслучайную функцию времени, которая в любой момент времени является математическим ожиданием данного сечения, т.е. это есть кривая геометрического места точек математических ожиданий всех сечений. Геометрически – некоторая средняя кривая не выходящая за границы реаализации, т.е. среднее значение переменной.

Дисперсия есть математическое ожидание квадрата отклонения значений случайного процесса; она характеризует степень разброса значений случайного процесса относительно математического ожидания.

Рисунок 7.3. Две реализации случайного процесса (а, б) при одинаковом математическом ожидании и различных дисперсиях

Корреляционные функции – xарактеризуют статистическую связь между сечениями случайных процессов. Может быть четыре разновидности корреляционных функций:

1. Ковариационная фунция.

Рисунок 7.4. Сущность определения корреляционных функций

Ковариационная функция – математическое ожидание произведения значений случайного процесса в 2 различных моментах времени.

2. Корреляционная функция определяется для центрированного случайного процесса.

Рисунок 7.5. Физический смысл некоторых характеристик случайного процесса

– расстояние между сечениями.

3. Нормированная корреляционная функция.

С увеличением функции , , будут уменьшаться.

4. Взаимная корреляционная функция характеризует связь между сечениями различных случайных процессов.

Замечание: если два процесса независимы, то их функция взаимной корреляции равна 0.

7.3. Стационарные случайные процессы

Случайные процессы

Стационарные Нестационарные

(установившиеся) (неустановившиеся)

Стационарные в Стационарные в

Узком смысле широком смысле

Стационарность в узком смысле – случайные процессы у которых – мерная плотность вероятностей не зависит от сдвига всех сечений влево или вправо на одну и ту же величину .

Свойства стационарных (в узком смысле) случайных процессов:

1.

2.

3.

4.

5.

Выводы:

1. Одномерная функция плотности вероятностей, математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени.

2. Двумерная функция плотности вероятностей и функция корреляции не зависят от временя, а зависят от интервала .

3. Процесс (случайный) называется стационарным в широком смысле если его характеристики не зависят от времени (т.е. выполняется условие 2, 3 и 4).

4. Случайный стационарный процесс в узком смысле всегда стационарен и в широком. Случайный стационарный процесс в широком смысле не всегда стационарен в узком.

Свойства функции корреляции стационарных процессов:

1. Функция корреляции действительная и четная, т.к. это функция времени: .

2. если ,

– полная мощность процесса (рис. 7.5).

3. при

– мощность переменной составляющией (рис. 7.5).

4. .

Рисунок 7.6. Физический смысл энергетических характеристик функции корреляции

– мощность постоянной составляющей,

– полная мощность процесса,

– мощность переменной составляющей.