8.4. Функция корреляции узкополосного случайного процесса

Рисунок 8.10. Сущность определения функции корреляции узкополосного СП

Смещая спектр влево на , получим спектр узкополосного про­цесса через широкополосный. Функция автокорреляции узкополосного процесса выражается формулой:

где и – медленно меняющиеся функции, соответствующие ампли­туде и фазе функции корреляции. Скорость изменения этих функций прямо пропорциональна изменению

Для вывода этой формулы производят замену переменной . Но мы не будем этого делать. Раскрывая в (8.11) косинус суммы, получаем:

т.е. функция автокорреляции узкополосного СП равна сумме и , взятых с коэффициентами .

Особый интерес представляет функция , когда симметричен отно­сительно . В этом случае , т.к. .

Тогда:

Но – функция автокорреляции, и она может быть вычислена через , т.е. через спектр, сдвинутый влево на .

Рисунок 8.11. Энергетический спектр и функция корреляции СП, сдвинутого на

Рисунок 8.12. Графическое определение интервала корреляции узкополос­ного СП

Таким образом, функция автокорреляции узкополосного СП, спектр ко­торого симметричен относительно , равна умноженной на корреляци­онной функции , которая соответствует спектру , получен­ному из исходного смещением влево на величину .

Интервал корреляции узкополосного СП определяется по огибающей :

8.5. Функция корреляции «белого» шума, ограниченного полосой час­тот от 0 до

Рисунок 8.13. Энергетический спектр «белого» шума, ограниченного

Если «белый» шум с равномерным энергетическим спектром пропустить через идеальный ФНЧ с граничной частотой , то и на выходе получим шум с ограниченным спектром (рис. 8.13), причем ширина спектра .

Для определения функции корреляции воспользуемся соотношением:

Таким образом, график имеет вид функции .

Рисунок 8.14. Функция корреляции «белого» шума, ограниченного

График корреляционной функции приведен на рис. 8.14.

При данном виде графика за можно принять между двумя пер­выми нулями, т.е. . Из этого соотношения видно, что по мере сокращения полосы частот , интервал корреляции увеличивается; ограничение спек­тра влечет за собой усиление корреляции между сечениями СП.

8.6. Функция корреляции «белого» шума, ограниченного полосой час­тот от до

Пусть энергетический спектр равномерен в полосе частот и равен 0 на всех других частотах.

Это случай идеального полосового фильтра.

Рисунок 8.15. Энергетический спектр «белого» шума, ограниченного иде­альным ПФ

где:

По формуле (8.20) построен график (рис. 8.16).

Огибающая функции (8.20) имеет ту же форму, что и корреляционная функция соответствующего по полосе широкополосного процесса (8.19). Со­поставляя (8.20) и (8.19), а также рисунки 8.14 и 8.16, можно сказать следую­щее: для построения корреляционной функции узкополосного процесса доста­точно найти корреляционную функцию огибающей широкополосного процесса и вписать в нее косинусоидальное заполнение с частотой, равное средней час­тоте процесса.

Рисунок 8.16. Функция корреляции «белого» шума, ограниченного идеальным ПФ