3. Система уравнений Максвелла

Система уравнений Максвелла предложена в 1864 г. Дж. К. Максвеллом как результат обобщения экспериментальных законов электромагнетизма и опубликована в виде 12 уравнений в 1873 г. Современная форма системы уравнений Максвелла (7 уравнений) была получена О. Хевисайдом и Г. Герцем [6].

Из высказываний современников Максвелла о его теории и системе уравнений стоит упомянуть высказанную Л. Больцманом цитату из «Фауста»: «Не бог ли эти знаки начертал? Таинственен их скрытый дар!..», а также Г. Герца: «Трудно избавиться от чувства, что эти математические формулы живут независимой жизнью и обладают своим собственным интеллектом, что они мудрее, чем мы сами и их первооткрыватели, и что мы извлекаем из них больше, чем было в них заложено первоначально»[6, 7].

Ниже будут рассмотрены четыре уравнения системы Максвелла, в которую также входят материальные уравнения (1.5)-(1.7).

3.1. Уравнения Максвелла в интегральной форме

. (3.1)

. (3.2)

. (3.3)

. (3.4)

Первое уравнение Максвелла (3.1) является обобщениемзакона Био-Савара-Лапласа(I - ток в проводе длинойdl,r - расстояние от оси провода):

, - (3.5)

на случай переменного тока. Закон Био-Савара – результат экспериментальных исследований магнитных полей тонких проводников с током, проведенных Ж. Био и Ф. Саваром в 1820 г., который П. Лаплас сформулировал в виде (3.5) [8].

Для прямолинейного проводника с током . Таким образом, было доказано, что вокруг проводника с током существует магнитное поле, индукция которого (B) пропорциональна силе тока, протекающего в проводнике.

Максвелл предположил, что магнитное поле порождается не только током проводимости, но итоком смещения(рис. 3.1.)

В некоторых источниках в качестве основы первого уравнения Максвелла считают закон Ампера, но он определяетсилу, действующую на элемент тока:

. (3.6)

В случае двух прямолинейных параллельных проводников , гдеd- расстояние между проводниками 1 и 2.

Введенный Максвеллом ток смещения– это по существуизменяющееся во времени электрическое поле. Основанием назвать эту величину«током»служит лишь совпадение ее размерности с размерностью тока. Из физических свойств действительного тока ток смещения обладает лишь одним – способностью создавать магнитное поле. Введение тока смещение позволило «уравнять в правах» электрическое и магнитное поля[8].

Сумму тока проводимости и тока смещения называют полным током.

Второе уравнение Максвелла (3.2) является обобщениемзакона электромагнитной индукции М. Фарадея(левая часть (3.2) – электродвижущая сила, наводимая в контуреL; правая часть (3.2) –изменение во временимагнитного потока). Знак «минус» в правой части соответствуетправилу Ленца: «Наведенный токвсегда направлен так, чтобыпротиводействоватьпричине, его вызывающей»[8].

Заслуга Максвелла состоит в том, что из закона ЭМ индукции он вывел понятие материального контура: контур не обязательно должен быть проводящим, аможет быть воображаемым, проходящим через любые среды, - в этом случае векторыисвязаны в точке пространства без участия вещества.

Третье уравнение Максвелла (3.3) является обобщениемтеоремы Гаусса(левая часть – поток векторачерезS, правая часть – полный заряд, заключенный вS, для непрерывного и дискретного распределения заряда). Теорема Гаусса была доказана для электростатического поля. Максвелл постулировал справедливость этого закона для произвольных веществ, зарядов и полей.

Силовые линии электрического поля начинаются и заканчиваются на зарядах– носителях электрического поля (рис. 2.5) . При отсутствии электрических зарядов силовые линии электрического поля будутзамкнутыми.

Четвертое уравнение Максвелла (3.4) является аналогом теоремы Гаусса для магнитного поля и выражаетпринцип непрерывности магнитного потока. Входящий и выходящий потоки черезSравны. Силовые линиизамкнуты.

Интегральные уравнения Максвелла верны для физических объектов. Для получения уравнений в дифференциальной форме необходимо осуществить предельный переход, при котором данный объект стягивается в точку.