Если в какой-либо точке , то в этой точке находится«исток» поля(рис. 2.5). Там, где, – соответственно«сток». На рис. 2.5. Приведена система положительного и отрицательного сосредоточенных зарядов.

Ротор – это векторная характеристика векторного поля. Ротором векторного поля называетсявектор, проекция которого на положительную нормаль площадки S равна пределу отношения циркуляции вектора к площади поверхности S, ограниченной контуром L, при стягивании контура в точку (рис. 2.6).

. (2.8)

Ротор характеризует способность поля к образованиювихрей. Если в какой-то точке поля , то в этой точке находитсявихрь или замкнутая силовая линия (рис. 2.7).

Наглядное представление о роторе можно получить для поля вектора скорости текущей жидкости, представив себе крыльчатку (колесо с прямыми лопастями), помещенную в данную точку жидкости. В тех местах, где ротор отличен от нуля, крыльчатка будет вращаться, причем с тем большей скоростью, чем больше по величине проекция ротора на ось крыльчатки[8].

В декартовой системе координаты ротора вычисляются по формуле (2.9), которая выводится из (2.8) с помощью анализа циркуляции поля по элементарному прямоугольному контуру (отрезки 1-4 на рис. 2.8).

. (2.9)

Вычислим x-составляющую ротора. В этом случае с учетомсреднихзначений вектора поля на отрезках.

Разность представляет собой приращение среднего значенияF_zна отрезкеzпри смещении этого отрезка по осиyнаy. Ввиду малостиyиzэто приращение можно представить в виде производной в центральной точке.

После выполнения аналогичной операции со вторым слагаемым получим:

. (2.10)

После подстановки в (2.8) получаем x-составляющую (2.9), при этом неточности допущений исчезают при стягивании контура в точку.

Другие составляющие ротора вычисляются аналогичным способом [8].

Любое слагаемое (2.9) получается из предыдущего путем циклической перестановки переменных: x y z x.

Переход между дифференциальными и интегральными характеристиками поля осуществляется с помощью следующих теорем векторного анализа.

2.3.Основные теоремы векторного анализа

Рассматриваемые теоремы требуют, чтобы функция векторного поля была непрерывно дифференцируема в области вычисления, что для реальных ЭМП всегда выполняется [9].

Теорема м. Остроградского – к. Гаусса Данная теорема расширяет понятие дивергенции для конечного объема.

Поток векторного поля через замкнутую поверхностьS в направлении внешней нормали равен тройному (объемному) интегралу от дивергенции по областиV , ограниченной поверхностью S :

. (2.11)

Рассмотрим доказательство теоремы для потока жидкости [8].

Произведение дает мощность источников в элементарном объемеdV, поэтому полная мощность источников поля в объеме V определяется объемным интегралом в правой части (2.11). Поток через замкнутую поверхность состоит из суммы входящего и выходящего потоков (точнее из разности выходящего и входящего из-за противоположных направлений нормалей к S). Итоговый поток будет положительным, если в объеме преобладают источники поля, и отрицательным, если преобладают «стоки». Таким образом, выходящий наружу поток для несжимаемой жидкости (объем жидкости проходящий через S за единицу времени) равен мощности источников в объеме V.

Формула (2.11) позволяет свести задачу вычисления поверхностного интеграла второго рода по замкнутой поверхности к более простой: вычислению тройного интеграла по области V [9].

Обратный переход по (2.11) осуществляется аналогично (2.4).