- •Омский государственный технический университет
- •Список сокращений и обозначений
- •Краткая история развития теории эмп
- •1. Основные понятия теории электромагнитного поля
- •2. Описание свойств векторных полей
- •2.2. Дифференциальные характеристики физических полей
- •Если в какой-либо точке , то в этой точке находится«исток» поля(рис. 2.5). Там, где, – соответственно«сток». На рис. 2.5. Приведена система положительного и отрицательного сосредоточенных зарядов.
- •2.3.Основные теоремы векторного анализа
- •Теорема м. Остроградского – к. Гаусса Данная теорема расширяет понятие дивергенции для конечного объема.
- •Теорема д. Стокса
- •2.4. Оператор набла и оператор п. Лапласа
- •Некоторые тождества и операции второго порядка.
- •2.5. Классификация векторных полей
- •3. Система уравнений Максвелла
- •3.1. Уравнения Максвелла в интегральной форме
- •3.2. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
- •3.3. Уравнение непрерывности
- •3.4. Уравнения Максвелла в комплексной форме
- •3.5. Тангенс угла диэлектрических потерь. Классификация сред
- •4. Граничные условия для векторов эмп
- •4.1. Нормальные составляющие
- •4.2. Тангециальные составляющие
- •5. Теорема Умова-Пойтинга. Баланс эм энергии.
- •6. Волновые уравнения для векторов эмп.
- •7. Решение волновых уравнений. Плоские волны
- •7.1. Плоские эмв как частные решения волновых уравнений
- •7.2. Коэффициенты затухания и фазы
- •7.3. Параметры эмв
- •8. Плоские эмв в диэлектриках
- •8.1. Параметры эмв в диэлектриках с потерями
- •8.2. Поведение диэлектриков в эмп
- •8.3. Поглощение эмп веществом. Диэлектрический нагрев
- •9. Эмп в проводниках. Скин-эффект
- •9.1. Сопротивление проводников на высоких частотах
- •9.2. Сопротивление цилиндрического проводника (общий случай)
- •9.3. Граничные условия на границе идеального проводника
- •10. Эмв в реальных средах
- •10.1. Общая схема анализа эмв в реальных средах
- •10.2. Поляризация эмв
- •10.3. Классификация эмв
- •11. Скалярный и векторный потенциалы эмп
- •11.1. Волновые уравнения для электродинамических потенциалов. Условия калибровки Лоренца и Кулона
- •11.2. Электродинамические потенциалы в безграничном пространстве
- •12. Классификация эмп
- •12.1. Электростатическое и магнитостатическое поля
- •12.2. Стационарное и квазистационарное эмп
- •12.3. Эмп для весьма высоких частот
- •13. Эмв на границе раздела сред
- •13.1. Наклонное падение эмв. Законы Снеллиуса
- •13.2. Коэффициенты отражения и преломления.
- •13.3. Формулы Френеля
- •13.4. Явление полного отражения
- •13.5. Явление полного прохождения
- •13.6. Стоячая волна. Ксв. Кбв
- •14. Связь между продольными и поперечными составляющими эмп
- •Аналогично получается для магнитной составляющей:
- •15. Телеграфные уравнения. Волновые уравнения для напряжения и тока
- •Приложение 1. Некоторые понятия векторной алгебры
- •Приложение 2. Криволинейные системы координат
- •Операции векторного анализа в цск и сск.
- •Приложение 3. Эм параметры некоторых веществ Параметры диэлектриков (при 20с) [5, 19]
- •Параметры проводников
- •Параметры магнитномягких материалов [5]
- •Приложение 4. Некоторые сведения о волновых уравнениях
- •Приложение 5. Некоторые сведения о функциях Бесселя
- •Список литературы
- •Оглавление
- •1. Основные понятия теории электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . .
- •Приложение 5. Некоторые сведения о функциях Бесселя . . . . . . . . . .
9. Эмп в проводниках. Скин-эффект
Если , то в (7.13) и (7.14) можно пренебречь «1»:
; откуда следует
. (9.1)
Анализ показывает, что при высоких частотах коэффициент затухания в проводнике достигает значительных величин ( пропорционален ). Соответственно глубина проникновения ЭМП в проводник () составляет мкм (УВЧ) и мм (на ВЧ). Таким образом, ЭМП в проводник не проникает, концентрируясь в тонком поверхностном слое, называемом скин-слоем. Данное явление называют скин-эффектом (skin (англ.) – оболочка, кожа).
. (9.2)
. (9.3)
При прохождении в проводнике расстояния равного ЭМВ испытывает очень большое затухание . Поэтому можно говорить о том, чтопространственная периодичность поля плоской ЭМВ в проводнике отсутствует [2]. vгр0.
. (9.4)
Волновое сопротивление проводника имеет примерно одинаковые по модулю активную и реактивную части, поскольку при tg>10 для проводников >84. Комплексное волновое сопротивление проводника имеет индуктивный характер, поскольку отстает по фазе отна45.
Например, для меди (Приложение 3) при частоте ЭМП 1МГц (0=300м) получаем: ==1,5104(1/м), vф=420 (м/с), =4,210-4(м), =67(мкм), vгр=0, Zc=3,710-4exp(-i/4) (Ом) [2].
9.1. Сопротивление проводников на высоких частотах
Вслучае постоянного тока сопротивление проводника цилиндрической формы можно описать формулой (a – радиус проводника):
. (9.5)
На высоких частотах (при сильном скин-эффекте) ЭМП концентрируется в тонком поверхностном слое, что приводит к уменьшению площади сечения проводника (Sэкв = S0 – Sвн), по которой протекает ток:
. (9.6)
Обобщая (9.6) для проводника с произвольной формой сечения, получим:
, (9.7)
где pr – периметр поперечного сечения проводника.
Из отношения (9.6) к (9.5) можно найти относительное увеличение активного сопротивления проводника с ростом частоты:
. (9.8)
9.2. Сопротивление цилиндрического проводника (общий случай)
Рассмотрим распространение плоской ЭМВ вдоль одиночного цилиндрического проводника (рис. 9.2). Анализ удобно проводить вцилиндрических координатах. ЭМП вокруг проводника направлено вдоль оси провода и имеет составляющие Er и H. Преломляясь на границе с проводником, затухающая ЭМВ распространяется в нем по нормали к поверхности. Вектор Пойтинга этой ЭМВ имеет радиальную составляющую ([EzH]) и соответствует тепловым потерям ЭМВ. Плотность тока в проводе имеет только продольную составляющую [11].
Решим волновое уравнения дляEz. Считаем, что вдоль провода изменением ЭМП можно пренебречь (). С учетом осевой симметрии ЭМП. В результате с учетом (16) изПриложения 2 получаем:
. (9.9)
С учетом (9.1), (7.10) и (7.17) получаем, что
. (9.10)
После деления (9.9) на получаемуравнение Бесселя(формула (30)Приложения 5) нулевого порядка (n=0) скомплекснымаргументом:
. (9.11)
Решением (9.11) согласно (32) является . Неопределенная константа решения находится из граничного условия на поверхности проводника (Ez(r)=E0 приr=a). В итоге получаем[11]:
. (9.12)
На рис. 9.3 приведены графики распределения плотности тока (или напряженности Ez) по сечению проводника при различных отношенияхa/.
Из рис. 9.3 видно, как с ростом частоты (ростом a/) усиливаетсянеравномерностьраспределения ЭМП по радиусу проводника: от почти равномерного распределения (a/<1) до скин-эффекта (a/>10).
Комплексное сопротивление единицы длины провода Z1=E0/I. Полный ток I определяется интегрированием плотности тока по поперечному сечению.
. (9.13)
С учетом свойства функций Бесселя получаем [11]:
. (9.14)
Комплексное сопротивление проводника (Z1) удобно отнести к сопротивлению этого же проводника постоянному току (R0):
. (9.15)
На рис. 9.4 приведены зависимостинормированныхотносительноR0активной (R1) и реактивной (X1) частей от отношения радиуса проводника к толщине скин-слоя. Для сравнения приведены результаты, полученные по приближенным формулам.
Величины с индексом «вч»соответствуютсильному скин-эффекту(9.8).
График Rвч+показывает влияние замены2a-2aв (9.6) в случаеслабого скин эффекта(a). СравнениеR1(9.8) иRвч+показывает, что при слабом скин-эффекте потеря точности (9.8) существенна. Формулу (9.8) можно вывести из (9.15) с помощью асимптотического разложения функций Бесселя при больших значениях аргумента (Приложение 5, (36)).
Аналогичным образом разложение (9.15) для малых значений аргумента [11] позволяет уточнить (9.5) при слабом скин-эффекте:
. (9.16)
На рис. 9.5 даны частотные зависимости величин, приведенных на рис. 9.4.
Значение f1 соответствует частоте, на которой =a, а f2 –частоте, на которой =0,5a. Из-за сложности (9.15) при инженерных расчетах на высоких частотах (ff2) используют (9.8) (Rвч и Xвч), а при f<f2 считают, что Z1=R0.
. (9.17)
С помощью анализа относительных погрешностей можно оценить точность полученных приближенных формул.
Графики частотных зависимостей относительных погрешностей (в процентах) рассмотренных выше величин приведены на рис. 9.6.
Как видно из рис. 9.6 погрешность активной части (9.17) составляет менее 21%.
Для реактивной части (9.17) приff2погрешность составляет менее 15%, а приff2такую же погрешность даетX2(9.16).
Наибольшую точность расчета (погрешность менее 6%) активного сопротивления проводника дает Rвч+((9.6) в случае точного представления площади скин-эффекта).
При ff2парой кRвч+являетсяR2.
С ростом частоты погрешности RвчиXвчбыстро уменьшаются: на частоте 20f2погрешностьRвч<6%,XвчиRвч+<0,3%, а на частоте 100f2(порядка 10 МГц) погрешностьRвч<3%,XвчиRвч+<0,05%.
Таким образом, на высоких и очень высоких частотах(9.17) описывает сопротивление проводника сдостаточной точностью.
Следует только помнить о том, что полученные формулы не следует применять на крайне высоких частотах, где не выполняется условие, поскольку нарушаются исходные предпосылки (9.1) и (9.10).
Распределение магнитного поля по проводнику (H) имеет аналогичный характер, поэтому иногда говорят и омагнитном скин-эффекте.
Мнимую часть комплексного сопротивления (iX1) можно представить в видевнутренней индуктивностиiX1=iLвн:
[2]. (9.18)
Напомним, что индуктивностьюLназывают коэффициент пропорциональности в формулах=LIилиWм=0,5LI2.
Для металлического листового проводника (размеры проводника много больше его толщины d) для сильного скин-эффекта получаем:
. (9.19)
Таким образом, напряженность ЭМП и плотность тока в цилиндрическом проводнике уменьшаются с увеличением расстояния от поверхностимедленнее, чем при плоской граничной поверхности, поскольку ЭМВ распространяются к оси проводника по радиусам навстречу друг другу[11].
В целом для ОВЧ и более высоких частот можно считать, что ЭМП в проводник практически не проникает, что позволяет упростить граничные условия для компонент ЭМВ на границе сред диэлектрик-металл.