5. Теорема Умова-Пойтинга. Баланс эм энергии.

Для вывода формулы необходимо (3.7), записанное с учетом действия стороннего тока, умножить скалярно на , а (3.8) на:

, (5.1)

. (5.2)

После вычитания (5.1) из (5.2) и преобразования левой части по (2.15) :

. (5.3)

После интегрирования по объему и преобразований получаем:

. (5.4)

Каждое слагаемое в (5.4) имеет размерность мощности:

. (5.5)

Закон сохранения ЭМ энергии, доказанный Дж. Пойтингом в 1884 г., можно сформулировать так: «Мощность стороннего источника в данном объеме расходуется на излучение, тепловые потери и изменение запаса энергии ЭМП». Ранее, в 1874 г. Н. А. Умовым была доказана аналогичная теорема для упругих сред, поэтому выведенные формулы носят имя обоих ученых[11, 12].

Мощность тепловых потерь (потерь проводимости) подчиняются закону Дж. Джоуля-Э. Ленца. Изменение запаса энергии имеет размерность мощности:

, (5.6)

где W_ЭМ– энергия ЭМП, аw_ЭМ– объемная плотность энергии ().

Вектор называетсявектором Пойтинга.

По теореме (2.11). Таким образом, вектор Пойтинга указываетнаправление распространения излучения, а его модуль представляет собойплотность потока мощностиизлучения(рис. 5.1).

Для получения формул в комплексной форме используются (3.16) и (3.17). При этом умножаем на уравнение, комплексно сопряженное (3.16) с учетом стороннего тока, а (3.17) на(величину комплексно сопряженную). После преобразований, аналогичных (5.3), и интегрирования по объему получаем:

. (5.7)

, (5.8)

где ,,, аи– энергия магнитного и электрического поля соответственно,[12].

Выражение (5.8) – баланс комплексных мощностейв объемеV.

Рассмотрим понятия мгновенной, средней, комплексной мощности на примере тока (I(t)=) и напряжения (U(t)=)[12].

Мгновенной мощностью называютP(t)=U(t)I(t).

После подстановки и преобразований получим:

. (5.9)

Постоянная составляющая P(t)– средняя мощность (P_ср).P_срзависит от фазового сдвига междуU и Iи равнасредней за период измеряемой мощности.

Для комплексныхамплитуд:

. (5.10)

Действительная часть комплексной мощности(активная мощность):

. (5.11)

Реактивнаямощность , как известно из теории цепей, характеризуетпроцесс обмена энергиеймежду источником и цепью. ПриP_р>0 энергия запасается в магнитном поле, а приP_р<0 – в электрическом.

Мгновенная, средняя (активная) мощность измеряются в ваттах [Вт], комплексная – в вольт-амперах [ВА], реактивная мощность – в реактивных вольт-амперах [вар]. Хотя все мощности имеют размерность [Дж/с], физический смысл этих понятий различен [12].

Выделим действительную и мнимую часть (5.8):

, (5.12)

. (5.13)

Из (5.12) следует, что средняя мощностьстороннегоисточникатратится натепловые потерив объемеVи насоздание ЭМПза пределамиV (рис. 5.1).

Из (5.13) следует, что реактивная мощность стороннегоисточникарасходуется на создание потока реактивной мощности через границуVи на создание запасов реактивной энергии в объемеV. Даже при отсутствии стороннего источника вVвозможны колебания энергии при переходе электрической энергии в магнитную и наоборот подобно тому, как это происходит в колебательномLC-контуре без потерь[12].

Скорость движения энергии(v_э) определяется отношениемвектора Пойтинга к объемной плотности энергии ЭМВ. Из рис. 5.2 следует, что за времяtэнергиязаполняет объемV=Sl=Sv_эt, с другой стороны. После преобразований получим:

. (5.14)

Для нахождения скорости движения гармоническогосигнала в (5.14) следует подставлятьсредниеза период значения[11].