Приложение 1. Некоторые понятия векторной алгебры

Вектор– этонаправленныйотрезок.

Длина(модуль) вектора в декартовой системе координат определяется так:, где (x₁, y₁, z₁) координаты точки начала вектора, а (x₂, y₂, z₂) - точки конца вектора.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы, лежащие в параллельных плоскостях, называюткомпланарными. Для равенства векторов недостаточно равенствамодулейвекторов, требуется еще и совпадениенаправленийвекторов.

Вектор единичной длиныназываетсяортомпо соответствующему направлению. При линейных операциях с векторами (сложение, вычитание, умножение на число) соответствующие операции производятся с их координатами (при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, при умножении вектора на число – умножаются нам это число).

Скалярным произведениемдвух векторовназываютчисло, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними:(рис. 1). Скалярное произведениекоммутативно. Для перпендикулярных векторов (=90).

В декартовой системе скалярное произведение удобно вычислять через координаты векторов:

. (1)

Физический (механический) смысл скалярного произведения – работа силыпо перемещению материальной точки на вектор.

Векторным произведениемдвух векторов(рис. 2) называютвектор , равный по модулю произведению модулей векторов на синус угла между ними:, направленный перпендикулярно плоскости, в которой лежати, по правилуправой тройки. Согласно этому правилу, если посмотреть со стороныконца вектора, поворот от первого вектора в векторном произведении () ко второму () должен происходитьпротив часовой стрелки (рис. 2).

Векторное произведение антикоммутативно. Для коллинеарных векторов (=0). В декартовой системе векторное произведение удобно вычислять через координаты векторов:

. (2)

Геометрически модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах и.

Физический (механический) смысл векторного произведения – момент силыв точке конца относительно точки начала вектора.

Смешанное (векторно-скалярное) произведение трех векторов –число, равноеобъему параллелепипеда, построенного на этих векторах:

. (3)

Двойное векторноепроизведение:

. (4)

Ответк заданию раздела2.4(2.15):

или

или

[14].

Приложение 2. Криволинейные системы координат

Кромедекартовой системы (ДСК) на практике также применяюткриволинейныесистемы координат. В теории ЭМП часто используютцилиндрическуюисферическую системы координат (рис. 3), которые, как и ДСК, также являютсяортогональными.

Цилиндрическая система координат (ЦСК) (r – радиус окружности в плоскостиx0y, – азимут,h – высота относительно плоскостиx0y) удобна при анализе ЭМП в круглом волноводе, световоде и т. п.

Замена переменных с ДСК проводится так:

;;

;; . (5)

Связь между ортамиДСК и ЦСК:

;;

;;

. (6)

Сферическая система координат (ССК) ( – радиус сферы, – азимут, – угол места относительно осиz) удобна при анализе ЭМП изотропного источника и т. п. Замена переменных с ДСК проводится так:

; ;

;;

; . (7)

Связь между ортамиДСК и ССК:

;;

;;

;. (8)

Связь между координатами ССК и ЦСК:

;;

;.()(9)

Связь между ортамиССК и ЦСК:

; ;

; . ()(10)

На плоскости (при h=0 ЦСК,=90ССК) частным случаем обеих криволинейных систем являетсяполярная система координат(,).

Как видно из (3)-(8) и рис. 3 координаты ЦСК и СКК не равноправны в отличие от координат ДСК. Это приводит к тому, что при интегрировании и дифференцировании необходимо вводить корректирующие множители.

При замене переменных в определенном интеграле кроме перерасчета пределов интегрирования необходимо еще умножить подынтегральную функцию на якобиан(множитель искажений). Для тройного интеграла получаются следующие значения якобиана:r– для ЦСК и²sin– для ССК.

. (ЦСК) (11)

. (ССК) (12)

Формулы для дифференцирования по координатам можно найти в [14].