4. Граничные условия для векторов эмп

Поскольку уравнения Максвелла в дифференциальной форме нельзя применятьна границе раздела сред, где векторы ЭМП претерпеваютразрыв, необходимо найтиграничные условиядля векторов ЭМП с помощью уравнений Максвелла в интегральной форме.

Исследуемые векторы удобно разлагать на нормальныеитангециальныесоставляющие (рис. 4.1).

4.1. Нормальные составляющие

При выводе формул для нормальных составляющих векторов электрического полятретье уравнение Максвелла в интегральной форме (3.3) применяется кэлементарному цилиндру, проходящему через границу раздела сред (рис. 4.2). Будем считать, чтограница разделаможет бытьзаряженас поверхностной плотностью заряда_S (1.2). В этом случае заряд, сосредоточенный внутри цилиндра,Q=_S S.

.

Поток через поверхность цилиндра состоит из потоков через основания цилиндров в первой () и второй () средах и потока через боковую поверхность. Поскольку цилиндр элементарный, то приh0поток через боковую поверхность также стремится к нулю, что дает в итоге:.

. (4.1)

Нормальная составляющая вектора на границе раздела средпретерпевает скачок, равный плотности поверхностного заряда.

При отсутствии поверхностного заряда (_S=0)нормальная составляющая вектора электрической индукции на границе раздела среднепрерывна, а нормальная составляющая вектора напряженности ()претерпевает скачок, равный обратному отношению диэлектрических проницаемостей сред:

;. (4.2)

Если обе среды обладают электропроводностью, то необходимо связать между собой и нормальные составляющие векторов плотностей тока (1.7). Применяя закон сохранения заряда в интегральной форме к тому же элементарному цилиндру (рис. 4.2) при стягивании его в точку, получим [5]:

. (4.3)

Граничные условия для нормальных составляющих векторов магнитного полявыводятся применением четвертого уравнения Максвелла в интегральной форме (3.4) к элементарному цилиндру (рис. 4.2).

Аналогично выводу (4.1) при h0потокчерез боковую поверхность стремится к нулю, и потокчерез поверхность цилиндра будет равен сумме потоков через основания цилиндров в первой () и второй () средах:, откуда следует:

;. (4.4)

Таким образом, нормальная составляющая вектора магнитной индукции на границе раздела среднепрерывна, а нормальная составляющая вектора напряженности магнитного поля ()претерпевает скачок, равный обратному отношению магнитных проницаемостей сред.

4.2. Тангециальные составляющие

При выводе формул для тангециальных (касательных) составляющих векторов электрического полявторое уравнение Максвелла в интегральной форме (3.2) применяется к элементарному прямоугольному контуруabcd, проходящему перпендикулярно через границу раздела сред (рис. 4.3):

. (4.5)

При стягивании контура к границе раздела (h0) циркуляцияhи правая часть (4.5) стремятся к нулю. В результате получаем:

,;. (4.6)

Таким образом, тангециальная составляющая вектора напряженности электрического поля на границе раздела среднепрерывна, атангециальная составляющая вектораэлектрической индукциипретерпевает скачок, равный отношению диэлектрических проницаемостей сред.

При выводе формул для тангециальных составляющих векторов магнитного поляпервое уравнение Максвелла в интегральной форме (3.1) применяется к элементарному прямоугольному контуруabcd(рис. 4.3):

. (4.7)

При стягивании контура к границе раздела (h0) циркуляцияhи правая часть (4.7) стремятся к нулю. В результате получаем:

,;. (4.8)

Таким образом, тангециальная составляющая вектора напряженности магнитного поляна границе раздела среднепрерывна, атангециальнаясоставляющая векторамагнитной индукциипретерпевает скачок, равный отношению магнитных проницаемостей сред.

На границе идеального проводника () возможно существованиеповерхностного тока проводимости(I_пов). (Как будет показано в разделе 9,ЭМП высоких частот в металлическом проводникедействительно концентрируется в очень тонком поверхностном слое –скин-слое.)

В этом случае правая часть (4.7) при h0стремится не к нулю, а к, поскольку ток проводимости, протекающий черезhприh0, и есть поверхностный ток. В результате получим:

. (4.9)

Таким образом, при наличии поверхностного тока тангециальная составляющаявекторанапряженности магнитного поляпретерпевает скачок, равныйплотности поверхностного тока.

Полученные граничные условия позволяют найти соотношения между углами падения и прохождения при отсутствии поверхностных токов и зарядов.

Для векторов электрического поляиз векторных соотношений (рис. 4.1) и граничных условий (4.2) и (4.6) следует:

. (4.10)

Аналогично для векторов магнитного поляиз (4.4) и (4.8) следует:

. (4.11)

Из (4.10) и (4.11) следует, что если параметры сред отличаются существенно (2>>1 или2>>1), то соответствующий векторво второй средебудет направлен почтипо нормали(на рис. 4.1₂90)независимо от угла наклонавектора в первой среде. Например, если2/1=100, то₂>89при₁>30.