7. Решение волновых уравнений. Плоские волны

Решением однородного одномерного волнового уравнения

(в (6.10)) (7.1)

является функция вида (F₁ и F₂ – произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции) [16]:

. (7.2)

Каждое из слагаемых (7.2) описывает возмущение, исходящее из точки z₀в моментt=0 и к моменту времениtприходящее в точкуz= z₀-vtдляF₁и в точкуz= z₀+vtдляF₂со скоростьюv(рис. 7.1)[16].

Решения вида (7.2) для (7.1) получены Ж. Д’Аламбером еще в 1747 г. [1].

Общие решения для более сложных случаев (неоднородные, двух- и трехмерные волновые уравнения) приведены в [16, С. 348-350]. Частные решения, представляющие интерес для теории ЭМП приведены в приложении 4.

Фазовым фронтом волны называют поверхность, проходящую через точки с одинаковыми фазами, по форме этой поверхности определяется название волны (сфера – сферическая ЭМВ, плоскость – плоская и т. д.) [11].

Рассмотрим частный случай трехмерного волнового уравнения, решением которого являются сферические волны. Для сферической функции F(r) (F(r) имеет только радиальную составляющую, ) запишем (6.10).

После замены переменных, рассмотренной в приложении 4, получаем одномерное уравнение относительно r [3]:

. (7.3)

Умножив (7.3) на r, мы получим уравнение вида (7.1) относительно функции rF(r): , решение которого известно – (7.2):, откуда следует:

. (7.4)

Первое слагаемое (7.4) представляет собой сферическую волну, расходящуюся от источника (рис. 7.2). Второе слагаемое следует отбросить, поскольку волна, движущаяся внутрь источника, физического смысла не имеет [3].

В отличие от (7.2) амплитуда сферической волны (7.4) уменьшается при удалении от источника как 1/r (мощность соответственно как 1/r²). Это связано с тем, что мощность изотропного источника (P_ист) равномерно распределяется по расходящимся сферам. С учетом того, что площадь сферы 4r² получаем :

. (7.5)

Таким образом, даже при отсутствии потерь в пространстве плотность потока мощности сферической волны уменьшается с расстоянием как 1/r².

На практике ЭМВ обычно применяют для передачи на дальние расстояния.

В этом случае удобно применение идеализации «плоская волна». На большом расстоянии от источника ЭМВ (в дальней зоне антенны) сферический волновой фронт можно в области приемной антенны аппроксимировать плоскостью, подобно тому, как земную поверхность можно считать плоской при малых высотах и на дистанциях, много меньших расстояния прямой видимости.

Плоская ЭМВ–идеализированнаяволна, имеющаяплоский фазовый фронт(z=const), у которой существуют двевзаимно перпендикулярныесоставляющиеи, зависящиетолькоот координатыz и расположенные в плоскости, перпендикулярнойz (рис. 7.3). ЭМВ называетсяоднородной, если ее амплитудапостоянна во всех точках фазового фронта, инеоднородной, если ее амплитуда зависит от координат точек фазового фронта.

Применение идеализации «плоская ЭМВ» позволяет во многих практических случаях свести задачу анализа от трехмерной к одномерной: пространство вокруг источника разбивается на участки, на каждом из которых ЭМВ можно считать плоской, после чего каждый из участков анализируется независимо.

(Одно из частных решений трехмерного волнового уравнения – суперпозиция плоских волн вида (7.2) для каждойдекартовой координаты (Приложение 4).)