3.4. Уравнения Максвелла в комплексной форме
В радиотехнике часто используются гармонические колебания. В линейныхилинеаризованныхсистемах удобно использоватьметод комплексных амплитуд. В этом случае считают, что кроме реального сигналаcos (t+z)действует и мнимыйisin (t+z).
После преобразования по формуле Л. Эйлера: cos (t+z) exp (i(t+z)).
Когда вычисления завершены, для получения окончательного ответа из комплексного сигнала достаточно выделить действительную часть.
В комплексной форме операции интегрирования и дифференцирования по времени существенно упрощаются:
;
;
. (3.15)
Кроме того, переход к комплексному сигналу позволяет четко разделить амплитуду и фазу: cos (…) 1, аexp (i(…))=1. Комплексную амплитуду (кроме амплитуды в нее входит и начальная фаза) мы будем обозначать точкой сверху. В комплексной форме уравнения (3.7) и (3.8) будут иметь вид:
. (3.16)
. (3.17)
Введение
делает уравнения (3.16) и (3.17) похожими. В
случае наличия магнитных потерь
аналогичная замена (
)
проводится с (3.17).
.
(3.18)
Третье и четвертое уравнения записывать в комплексной форме не обязательно, поскольку в них принципиальных изменений не произойдет.
Кроме того, данные уравнения могут быть выведены после применения операции «дивергенция» к (3.16) и (3.17) [2, 8].
3.5. Тангенс угла диэлектрических потерь. Классификация сред
Для оценки соотношения между током проводимости и током смещения удобно ввести величину тангенс угла диэлектрических потерь:
. (3.19)
На практике при измерении на высоких частотах tgобычно оказывается больше, чем результаты по (3.19). Это происходит в основном из-за влиянияполяризационных потерь [11], которые суммируются сtg(3.19). Для типичных диэлектриков на высоких частотах именно данный вид потерь является преобладающим[11], поэтому более точно определениеtgкакотношение активной части плотности полного тока смещения к реактивной[12]:
, (3.20)
где Э– угол запаздывания по фазе
от
(линейный электрический гистерезис)[12]. Подобные эффекты, связанные споляризованностьювещества
будут рассмотрены при анализе ЭМП в
диэлектриках.
В зависимости от значения
среды можно классифицировать так:
(3.21)
Из (3.19) и (3.20) следует, что tgзависит от частоты.
Из этого следует, что одно и то же вещество может на низких частотах вести себя как проводник, а на высоких – как диэлектрик.
Например, морская вода с параметрами =1 См/м и=80 на частотах <23 МГц проявляет себя какпроводник, а на частотах >2,3 ГГц – какдиэлектрик.
Параметры (, и т. д.) некоторых веществ приведены вПриложении 3. Параметры большинства веществ зависят от частоты (имеют частотнуюдисперсию). У сложных по составу веществ данная дисперсия существенна[12].
Следует отметить, что такие типичные диэлектрики как фарфор, эбонит, слюда из-за очень малой (<10-12 См/м) даже на очень низких частотах остаются диэлектриками, а металлы из-за очень высокой (>106 См/м) остаются проводниками на высоких частотах вплоть до диапазона гамма-излучения.