11.2. Электродинамические потенциалы в безграничном пространстве

Решения волновых уравнений для потенциалов (11.7) и (11.8) имеют наиболее простой вид для сторонних источников ЭМП в безграничном пространстве. Рассмотрим сначала решение скалярного неоднородного уравнения (11.8) для точечногозаряда (q=_стV, V0).

Поскольку потенциал точечного заряда обладает сферической симметрией, удобно перейти к сферической системе координат (Прил. 2иПрил. 4).

В пространстве вне точечного источника _ст=0. С учетом того, чтоне зависит от угловых координат, а только от радиусаr, получаем однородное волновое уравнение аналогичное (7.3), гдеv=:

(11.9)

Решение имеет тот же вид, что и (7.4):

. (11.10)

Функция F₂не имеет физического смысла, как и в (7.4), поскольку волна внутрь точечного источника не проникает.

При v(мгновенноераспространение действия ЭМП) из (11.8) получаетсяуравнение С. Пуассона[2, 4] :

. (11.11)

Решением (11.11) является и (11.10): . Для того, чтобы найтиF(t)проинтегрируем (11.11) по объему сферы радиусаа (V=4а³/3):

. (11.12)

Преобразуем левую часть с учетом (2.11), (2.15) и (17) из Прил. 2:

. (11.13)

Правая часть (11.12) равна –_стV/_а .

С учетом формулы (11.10) и того, что dS=4а², получаем :

. (11.14)

В итоге решение (11.9) имеет вид [2] :

. (11.15)

При точках незаряженной области (=0) уравнение Пуассона (11.11) переходит вуравнение П. Лапласа[2, 4]:

. (11.16)

Волновое уравнение для векторного потенциала (11.7) в декартовой системе координат распадается на три скалярных вида (11.8). Для координаты хвекторного потенциала получаем (для координатyиzаналогично):

. (11.17)

Возвращаясь к векторному уравнению, получаем [2]:

. (11.18)

Полученные решения (11.15) и (11.18) отражают конечность скорости распространения ЭМП от своих источников. В точке наблюдения значения электродинамических потенциалов (а значит, и векторов ЭМП) определяются значениемне в текущиймомент времени (t), а впредшествующиймомент (t-r/v). Поэтому решения (11.15) и (11.18) называютзапаздывающими потенциалами. Время запаздывания (r/v) как раз показывает, какое время требуется ЭМВ, чтобы пройти расстояниеrс конечной скоростьюv [2].

Сравнивая (11.15) и (11.18) с (7.2) и (7.4), можно сделать вывод, что полученные решения имеют характер сферических волн.

Использование электродинамических потенциалов для расчета ЭМП не дает выигрыша в простых случаях. При анализе ЭМП излучающих систем (антенны в режиме передачи) необходимо решать неоднородные волновые уравнения, которые для иимеют очень сложную правую часть[18].

Например, при отсутствии сторонних зарядов и потерь проводимости, но с учетом магнитногоиэлектрическоготоков, плотности которых дописываются в правую часть (3.17) и (3.16) соответственно, получаются такие неоднородные волновые уравнения[18] :

, (11.19)

. (11.20)

В этом случае оказывается удобнее ввести векторный потенциал для электрических и магнитных токов. (Напомним, что магнитный ток является фиктивным (эквивалентным). ) В этом случае получаются волновые уравнения вида (11.7) для магнитного и электрического векторных потенциалов [18] :

,. (11.21)

После решения задачи для векторных потенциалов можно перейти к векторам ипо следующим формулам перехода[18]:

, (11.22)

. (11.23)