2. Описание свойств векторных полей

Математический аппарат, применяемый для описания свойств векторных полей, называется векторным анализом. Наибольшую наглядность понятия и величины векторного анализа имеют в случае поля вектора скорости текущей несжимаемой жидкости[3, 8, 9]. В дальнейшем будут рассматриваться примеры и аналогии именно из этой области.

2.1. Интегральные характеристики физических полей

Важные характеристики векторного поля – циркуляцияипоток.

Циркуляцией(Ц) векторного поляпо замкнутому контуруLназывается число, равное значению криволинейного интеграла второго рода.

Вслучае текущей жидкости предполагается, что во всем объеме, кроме канала, образованного контуромL(рис. 2.1), жидкость мгновенно замораживается. В зависимости от характера поля жидкость в канале окажется либо неподвижной, либо будетциркулировать(двигаться вдоль контура)[8]. В данном случае мера циркуляции – произведение скорости жидкости в канале на длину контура. После преобразований[8]приходим к формуле (2.1).

Ц = =. (2.1)

Для силового поля циркуляция – это работа силы по контуруL.

Потоком (Фп) векторного поля через поверхностьS (рис. 2.2) называется число, равное значению поверхностного интеграла второго рода .

В случае текущей жидкости ее потоком через поверхность S будет объем жидкости, протекающей в единицу времени через эту поверхность. Элементарный поток через dS (рис. 2.2) за единицу времени будет равен скалярному произведению вектора поля на вектор dS. После преобразований [8] получим:

Фп = = . (2.2)

Знак потока зависит от выбора направления нормали к dS. В случае замкнутых поверхностей принято вычислять поток, «вытекающий» наружу, поэтому выбирается внешняя нормаль [8].

Для анализа векторного поля в конкретной точке пространства необходимо перейти к дифференциальным характеристикам.

2.2. Дифференциальные характеристики физических полей

Ввекторном анализе удобно использовать дифференциальные операторыградиент, дивергенцию, ротор.

Градиент – векторная характеристика скалярного поля. Градиентом скалярной функции называется вектор, численно равный производной от этой функции по направлению нормали к поверхности уровня и направленный по этой нормали: . Градиент численно равен максимальной скорости изменения функции (на рис. 2.3, поскольку). Направление градиента совпадает с направлением быстрейшего изменения функции ().

В декартовой системе координат

=. (2.3)

Таким образом, градиент представляет собой скорость пространственного изменения скалярной величины, - каждая его компонента показывает скорость изменения вектора по соответствующей координате. Градиент ориентирован в таком направлении, где он имеет самую длинную проекцию [3].

Дивергенция – это скалярная характеристика векторного поля.

Дивергенция векторного поля - этоскалярная величина, равная пределу отношения потока через замкнутую поверхность S к объему, заключенному внутри этой поверхности (рис. 2.4), при условии, что поверхность стягивается в точку.

. (2.4)

Дивергенция характеризует интенсивностьисточников поля. Если, это значит, что в данной точке нет источников.

В декартовой системе координат

. (2.5)

Данная формула выводится путем анализа потока через поверхность, охватывающую объем V(рис. 2.4). Анализируя потоки внутрь и наружу для составляющейF_y , получаем:

. (2.6)

Аналогичные результаты получаются для F_xиF_z, что дает в результате

. (2.7)

После подстановки (2.7) в (2.4) получается (2.5) [3, 8].