12.3. Эмп для весьма высоких частот

При весьма высоких частотах от уравнений Максвелла можно перейти к более простым уравнениям геометрической оптики. Для этого необходимо найти решения системы уравнений Максвелла в виде [18] :

, , (12.32)

где L_e – скалярная функция координат, описывающая изменение фазы ЭМП и называемая эйконалом, а и соответствуют ориентации векторов ЭМП для плоской волны. После подстановки (12.32) в (3.16), (3.17) и преобразований, приведенных в [18], для неоднородной среды получаем :

;

. (12.33)

Поскольку при весьма высоких частотах k₀ , (12.33) упрощается :

; . (12.34)

Условием разрешимости системы (12.34) является уравнение эйконала :

, (12.35)

где единичный вектор, сонаправленный с вектором.

С учетом (12.35) (12.34) можно записать в виде:

; . (12.36)

Выражение для вектора Пойтинга в приближении геометрической оптики:

. (12.37)

Из полученных результатов следует, что энергия ЭМП распространяется вдоль лучей (), а само ЭМП в приближении геометрической оптики в каждой точке пространства носит характер плоской волны.

Величина в оптике соответствует показателю преломления среды.

Применение законов геометрической оптики позволяет рассматривать распространение ЭМВ весьма высоких частот как распространение светового луча. Некоторые эффекты геометрической оптики (ход лучей в параболоиде или эллипсоиде) находят практическое применение в конструкциях антенн.

Из уравнения эйконала (12.35) можно вывести широко используемый в оптике принцип Ферма: оптическая длина пути вдоль луча меньше, чем вдоль любой другой линии. Для этого достаточно рассмотреть скалярное произведение и вектора элемента линии оптического пути[11, 18].

Условия применимости уравнений геометрической оптики определяются из (12.33) с помощью оценки отбрасываемых членов :

; ; ; . (12.38)

Смысл данных условий состоит в том, что относительные изменения величин на расстоянии, равном длине волны в рассматриваемой среде, должны быть малы по сравнению с 2 [18].

13. Эмв на границе раздела сред

ЭМ явления на границе раздела двух разнородных сред (преломление, отражение и т. п.) играют большую роль в теории ЭМП. Границу раздела будем считать плоской и бесконечно протяженной, что позволяет использовать для анализа приближения геометрической оптики и рассматривать ЭМВ в виде лучей. Полученные результаты справедливы и для криволинейных граничных поверхностей и неплоских ЭМВ, если их радиус кривизны значительно больше .

Расположим координатные оси так, чтобы оси yиzлежали в плоскости границы раздела сред (рис. 13.1), а осьxсовпадала с направлением вектора нормали () для второй среды (₂, ₂).

13.1. Наклонное падение эмв. Законы Снеллиуса

Направление распространения падающей ЭМВ определяется ортом .Плоскостью падения (распространения) называют плоскость, проходящую через вектор распространения падающей ЭМВ и нормаль к поверхности раздела сред. На рис. 13.1 плоскость падения совпадает с плоскостью x0z.

Волновой вектор распространения для падающей ЭМВ имеет вид: . Энергия падающей ЭМВ распределяется между ЭМВ, прошедшей во вторую среду (прошедшая ЭМВ имеет волновой вектор ), и ЭМВ, отраженной от границы раздела сред (вектор отраженной ЭМВ – ) .

Рассмотрим явления, возникающие при падении плоской однородной волны на плоскую границу раздела двух произвольных сред (рис. 13.1).

Волновые векторы падающей, отраженной и преломленной волн соответственно равны , ; [11].

При заданном угле падения определим угол отражения (для отраженного луча) и угол преломления (для прошедшего луча).

Векторы напряженностей ЭМП этих трех волн должны удовлетворять граничным условиям во всех точках плоскости границы раздела в любой момент времени. Поэтому независимо от характера граничных условий должны совпадать фазовые множители данных ЭМВ:

. (13.1)

При фиксированном r из (13.1) вытекает равенство частот всех ЭМВ . Проекция , а следовательно, и проекции и на ось у равны нулю. Это означает, что все волновые векторы лежат в плоскости распространения, поэтому их проекции на ось z должны быть равны между собой:

, (13.2)

что позволяет сформулировать законы, открытые еще в XVIIвеке в приближении геометрической оптики В. Снеллиусом и уточненные Р. Декартом[1]:

• векторы падающей, отраженной и прошедшей ЭМВ лежат в одной плоскости (плоскости распространения);

• угол падения равен углу отражения ();

• отношение синусов углов падения и преломления равно отношению комплексных коэффициентов распространения во второй и первой средах (закон преломления В. Снеллиуса):

. (13.3)

Из этого равенства следует, что в общем случае угол преломления может быть комплексным. Если ограничиться анализом диэлектриков с несущественными потерями (), то (13.3) запишется в виде:

, (13.4)

где – коэффициенты преломления сред.

Для диэлектриков синусы углов наклона лучей относительно нормали пропорциональны фазовым скоростям ЭМВ в соответствующих средах и обратно пропорциональны их коэффициентам преломления.