7.1. Плоские эмв как частные решения волновых уравнений

Уравнения Максвелла в комплексной форме (3.16)-(3.17) для составляющих векторов плоской волны в декартовой системе координат имеют вид:

;;;. (7.6)

Из (7.3) следует, что ивзаимно перпендикулярны. (Это можно доказать, рассмотрев скалярное произведение векторов[4].) В дальнейшем мы будем обозначать координаты данных векторови, подчеркивая ихпоперечнуюнаправленность и расположение в плоскостиx0y. Вектор Пойтинга в данном случае имеет толькопродольнуюсоставляющую(рис. 7.3 и 7.4). Знаяили, мы легко можем найти другую поперечную составляющую и (при необходимости) перейти к обычным координатам (,,,).

Поскольку по определению плоской ЭМВ, лапласиан (²=)ипревращается во вторую производную поz(), и однородные волновые уравнения (6.6)-(6.7) запишутся в виде:

, . (7.7)

Решения уравнений (7.7) имеют вид (для – аналогично):

. (7.8)

Первое слагаемое (7.8) прямая волна, второе слагаемое – обратная волна, и– комплексные амплитуды данныхбегущих волн.

Подставляя (7.8) в (7.6) найдем связь и:

. (7.9)

Запишем связь волнового числа () с комплексным коэффициентом распространения () для среды без магнитных потерь :

, (7.10)

Уравнение плоской волны с учетом (7.10) можно записать в виде

. (7.11)

Для мгновенных значений из (7.11) получаем:

. (7.12)

Направление распространения ЭМВ можно определить из анализа зависимости полной фазы (7.12) от времени. Зафиксировав волновой фронт в какой-то момент времени, мы получим, что если, то в следующий момент времени ЭМВ сместится вположительном направлении оси z, а при волновой фронт будет двигаться вотрицательном направлении оси z (рис. 7.5).

7.2. Коэффициенты затухания и фазы

Из анализа (7.11) и (7.12) очевидно, что  – это коэффициент затухания, а– коэффициент фазы. Подставляя (7.12) в (6.3),(6.5) или (7.11) в (6.6),(6.7), после решения уравнений относительноиполучаем :

, (7.13)

. (7.14)

Множитель в (7.11) и (7.12) показываетзатухание ЭМВ, при распространении ее вдоль оси z. Чем больше , тем больше затухание ЭМВ.

Ослаблением (A) ЭМВ по полю называют величину

. (7.15)

На практике часто используют ослабление в децибелах (дБ):

. (7.16)

С ослаблением непосредственно связана глубина проникновения ЭМП в вещество (), называемая также толщиной поверхностного слоя (скин-слоя, но это понятие логичнее использовать для металлов).

. (7.17)

При прохождении слоя веществаz= амплитуда ЭМП ослабляется в е (е=2,71828…) раз, и соответственно в следующий слой (рис. 7.6) проходит лишь 1/е² мощности ЭМП. Получается, что в поверхностном слое  концентрируется 86,5% энергии ЭМП, в слое 2 – 98,2%, а в слое 3 – 99,8%.

Таким образом, зная коэффициент затухания можно определить слой вещества, где преимущественно концентрируется энергия ЭМП.

В случае диэлектриков толщина поверхностного слоя значительна, в то время как для проводников на высоких частотах она составляет доли миллиметра.

Если минимальный размер объекта превышает 3, то следует учитывать неравномерность распределения ЭМП в веществе. Например, если в микроволновую печь положить вещество толщиной много больше 3, то во внутренние слои ЭМП не проникает, и они останутся «сырыми».