3. . Задача о центральном ударе шаров: абсолютно упругом и абсолютно неупругом.

Центральным ударом шаров называется такое столкновение шаров, когда их центры движутся по одной прямой. Задача о центральном ударе шаров не только является великолепной иллюстрацией применения законов сохранения импульса и энергии, но и даёт результаты, широко применяемые в различных разделах физики и химии.

Задача о центральном ударе шаров сводится к нахождению скоростей шаров после соударения u₁ и u₂ при разных значениях масс шаров: m₁ и m₂ и их начальных скоростей: v₁ и v₂ (рис.1.3)

до соударения

соударение

после соударения

Рис. 1.3. Абсолютно упругий удар шаров.

А) Рассмотрим сначала абсолютно упругий удар – когда при столкновении действуют только силы упругости, и после удара оба шара полностью восстанавливают свою форму. Силами внутреннего трения в шарах при ударе пренебрегаем. Также пренебрегаем силами сопротивления воздуха. Считаем систему консервативной. Приближением к абсолютно упругому удару можно считать соударение бильярдных шаров, особенно сделанных из слоновой кости. Для нахождения двух неизвестных u₁ и u₂ напишем систему двух уравнений. Первое уравнение напишем, воспользовавшись законом сохранения энергии, второе – законом сохранения импульса:

В левой части уравнения закона сохранения энергии суммарная кинетическая энергия шаров до соударения. В правой – после. В уравнении закона сохранения импульса в левой части суммарный импульс до, а в правой – после соударения. Закон сохранения импульса написан в скалярной форме, поскольку рассматривается одномерный случай: центральный удар шаров, когда центры масс шаров движутся вдоль одной прямой. Будем считать скорости направленные направо положительными, налево – отрицательными.

Преобразуем уравнения. Все члены с индексами 1 перенесём в левые части уравнений, а с индексами 2 – в правые:

Поделив левую часть первого уравнения на левую часть второго, и соответственно правую часть первого на правую часть второго получим:

и

Подставив это выражение для u₂ в уравнение закона сохранения импульса, получаем:

Отсюда:

и

(1.4)

u₂ получим, поменяв в выражении для u₁ индексы 1 на 2 и индексы 2 на 1:

(1.5)

Рассмотрим приложения формул для u₁ и u₂ (1.4 и 1.5) к некоторым конкретным случаям.

Рис.1.4. – упругие соударения шаров; в1, в2 – упругое соударение шара со стенкой.

1. Два шара с одинаковыми массами летят навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями (рис.1.4 ).

Подставив в формулы для u₁ и u₂ (1.4 и 1.5) m₁=m₂=m и ₁= , ₂= - ,

получим:

(1.6)

После соударения шары разлетаются в разные стороны с одинаковыми по модулю скоростями (рис.1.4 а₂).

2)Движущийся шар соударяется с покоящимся шаром такой же массы (1.4 б₁): m₁=m₂=m и v₁=v, v₂=0.

Получим:

=- (1.7)

Первый шар после удара останавливается, а второй движется со скоростью первого шара. Первый шар передаёт свой импульс и кинетическую энергию второму (рис. 1.4.б₂ ).

Выводы этой задачи можно применить к объяснению огромного поражающего действия облучения нейтронами большой энергии. В биологической органической среде много ядер атомов водорода – протонов. Масса протонов лишь незначительно отличается от массы нейтронов. При соударениях нейтронов с протонами нейтроны передают им свою энергию, импульс, скорость. Ионизирующее, а следовательно, химическое и биологическое действие нейтронного облучения связано со вторичным эффектом – образованием «ядер отдачи» – протонов, движущихся с большой скоростью. Эти тяжёлые положительно заряженные частицы отрывают электроны от атомов, чего не могут сделать сами нейтральные частицы – нейтроны.

3)Удар шара о стенку, например, соударение молекулы идеального газа со стенкой сосуда. Стенку можно рассматривать как шар бесконечного радиуса. Для простоты ограничимся случаем, когда скорость шара нормальна стенке (рис. 1.4 в₁ ).

Подставив в формулы для u₁ и u₂ ( 1.4 и 1.5) ₁= , ₂=0 и считая массу стенки m₂ значительно большей массы шара m₁, получим:

(1.9)

а

(1.10),

так как

Итак, при абсолютно упругом ударе шара о стенку, масса которой значительно больше массы шара, шар отскакивает от стенки со скоростью, равной по модулю начальной скорости шара. Вывод, используемый в молекулярной физике.

Б) Теперь рассмотрим абсолютно неупругий удар шаров, после которого форма шаров не восстанавливается. В этом случае силы упругости отсутствуют, действуют только силы внутреннего трения. Шары полностью пластичны. В некотором приближении можно считать абсолютно неупругим соударение шаров из размягчённого пластилина при не очень больших скоростях движения.

После абсолютно неупругого удара шары слипаются и образуют одно тело (Рис. 1.5).

Рис. 1.5. Абсолютно неупругое соударение шаров: а – до соударения, б – после.

Скорость этого тела, образовавшегося после удара, u можно найти из закона сохранения импульса для этого случая:

;

(1.10)

При абсолютно неупругом ударе система неконсервативна, механическая энергия не сохраняется, часть кинетической энергии шаров расходуется на работу против сил внутреннего трения, превращается во внутреннюю энергию. Закон сохранения энергии поэтому можно записать для этого случая так:

ΔU – количество механической энергии, превратившейся во внутреннюю:

Или после соответствующих преобразований:

(1.11)

(Читателю предоставляется возможность самому убедиться в правильности ответа, проделав соответствующие преобразования).

1)Рассмотрим случай, когда m₁= m₂= m, ₁ = , ₂=0.

Из закона сохранения импульса можно найти:

Кинетическая энергия до соударения:

После соударения

Половина кинетической энергии перешла во внутреннюю

(1.12)

2)Другой случай, когда m₁= m₂= m, v₁ =v, v₂= - v:

В этом случае:

Вся кинетическая энергия перешла во внутреннюю:

(1.13)

На этом факте отчасти основан известный принцип противотока. Чтобы увеличить константу скорости химических реакций взаимодействующие вещества заставляют двигаться навстречу друг другу. В ускорителях элементарных частиц и ядер частицы с большими скоростями летят друг навстречу другу. Это повышает эффективность ядерной реакции. В частности, в ускорителях получают меченые атомы, широко применяемые в фармацевтических научных исследованиях.