2.2 Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов. Средняя квадратическая скорость молекул газа.

А. Уравнение состояния идеального газа

Воспользуемся моделью идеального газа. Идеальный газ - это совокупность частиц, которые можно считать материальными точками, не взаимодействующими на расстоянии и взаимодействующими друг с другом и со стенками сосуда только при столкновениях по закону упругого удара. Модель идеального газа применима к разреженному газу (при небольших давлениях и высоких температурах). При этих условиях молекулы идеального газа в среднем находятся друг от друга на больших расстояниях, поэтому пренебрежимо малы силы межмолекулярного притяжения. Только при столкновениях короткое время действуют большие межмолекулярные силы отталкивания.

В модели идеального газа пренебрегаем:

1. силами притяжения между молекулами,

2. собственным объемом молекул.

Из курса физики средней школы хорошо известно уравнение состояния идеального газа Клапейрона – Менделеева, связывающее давление p, объём V, температуру Т, массу m и молярную массу M идеального газа:

pV= RT, (2.2)

R – универсальная газовая постоянная, R  8,3 Дж/мольК.

Так как m = N m₀, а М = N_А m₀, где

N – число молекул в объёме газа V,

m₀ – масса одной молекулы,

N_А – число Авогадро, N_А = 6,02  10²³ моль ^–1,

уравнение (2.2) можно записать в таком виде:

pV = RT

или

p =

Обозначим

= n – число молекул в единице объема,

R/N_А = k 1, 38 10^-23 Дж/К – постоянная Больцмана.

Получим:

p= nkT (2.3)

Б.Закон Дальтона

Из уравнения (2.3) следует важный для физики и химии закон Дальтона:

«Давление смеси химически невзаимодействующих газов p равно сумме парциальных давлений её компонентов р₁, р₂, р₃ и т.д.

Число молекул смеси в единице объема равно сумме чисел молекул в единице объема компонент:

n= n₁+n₂+n₃+…

Получим из (2.3):

p = (n₁+n₂+n₃+…) kТ = n₁kТ + n₂kТ +n₃kТ + … = р₁+ р₂+ р₃ +… (2.4)

В. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

Воспользовавшись результатами решения задачи об абсолютно упругом ударе (см. 1.4) свяжем давление идеального газа на стенку сосуда (макроскопический параметр) с его микроскопическим параметром – скоростью движения молекул.

Молекула с массой m₀ и скоростью v, упруго ударившись о стенку сосуда (для простоты ограничимся рассмотрением нормального -перпендикулярного стенке столкновения), отскочит от неё со скоростью v (рис 2.3), такой же по модулю и противоположной по направлению.

Рис.2.3. Изменение скорости молекулы при её ударе о стенку сосуда (объяснение в тексте).

Второй закон Ньютона можно записать в виде:

F= ma = m d /dt= d (m)/ dt, (2.5)

То есть сила равна изменению импульса тела mv за единицу времени.

Давление газа p равно силе F, действующей на единицу площади стенки сосуда S:

p=F/S,

Или, воспользовавшись (2.5):

p= d(m / S dt (2.6)

При ударе молекулы о стенку сосуда её импульс изменяется на

 (m _{молекулы} =  m₀  m₀ =  2 m₀

По закону сохранения импульса изменение импульса стенки при этом:

 (m ) _стенки =  (m_{0 молекулы} = 2 m₀

Импульс, полученный стенкой площадью S за время t :

 (m = 2 m₀ n,

где n - число ударов молекул о стенку площадью S за время t. За время t о стенку ударяются молекулы из слоя толщиной vt (см. рис. 2.4).

Рис. 2.4. К выводу основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов.

Объем этого слоя vSt, число молекул в нем nvSt, где n – число молекул в единице объёма. Но лишь 1/6 этих молекул ударится о стенку. (Молекулы могут иметь компоненты скорости, направленные в разные стороны: 1) к стенке, 2) от стенки, 3) вдоль стенки вверх, 4) вдоль стенки вниз, 5) вдоль стенки от нас, 6) вдоль стенки к нам. О стенку ударятся лишь те из них, которые имеют компоненту скорости, направленную к стенке).

Итак о стенку площадью S за время t ударится nSt молекул, а импульс, переданный ими при этом стенке:

 (m ) = nvSt 2 m₀

Давление газа на стенку сосуда согласно уравнению 2.6:

p =  (m )/St = nm₀ ² (2.7)

Но скорость у разных молекул может быть различная: 0 v  , поэтому в уравнении (2.7) для среднего давления молекул на стенку сосуда надо взять среднее значение квадрата скорости .

p = nm₀

(2.8)

Это уравнение 2.8 и называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории газов.

Г.Средняя квадратичная скорость молекул газов

Воспользовавшись (2.3):

p = nkT

и (2.8):

p =

получим:

nm₀ = nkT,

откуда:

= 3kT/ m₀

И средняя квадратическая скорость молекул

_кв = = (2.9)

Так как

k =

и m₀ = M/N_А, для средней квадратической скорости получим:

_кв = (2.10)