1.6 Вынужденные колебания. Резонанс

Все свободные колебания - затухающие. Незатухающими могут быть: 1) вынужденные колебания, 2)автоколебания.

Вынужденные колебания - это колебания под воздействием внешней переменной вынуждающей силы. Рассмотрим случай, когда на пружинный маятник (рис. 1.1) воздействует вынуждающая сила, меняющаяся во времени по гармоническому закону

(1.8)

Где - амплитуда вынуждающей силы, - круговая частота вынуждающей силы

Закон Ньютона для этого случая будет выглядеть так:

где сила упругости , сила трения , а ускорение

Получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

А после преобразований:

Как и выше, обозначим:

Получаем:

Как показывает математический анализ, после некоторых переходных процессов, через некоторое время после начала действия вынуждающей силы в колебательной системе установятся незатухающие колебания с частотой изменения вынуждающей силы (рис. 1.8)

(1.9)

Рис 1.8. Вынужденные колебания (объяснения в тексте).

На рисунке 1.9 показана зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы при разных значениях коэффициента затухания β.

Когда частота вынуждающей силы приближается к резонансному значению , наблюдается возрастание амплитуды вынужденных колебаний и при резонансной частоте = амплитуда максимальна .

Рис.1.9. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы при разных значениях коэффициента затухания β: β₂ > β₁, β₀ = 0/ ( 0 - β₀ , 1 - β₁ , 2 - β₂ ).

Резонанс - это явление достижения амплитудой вынужденных колебаний максимального значения, когда частота вынуждающей силы равна резонансной частоте колебательной системы , определяемой свойствами этой колебательной системы:

Где - собственная круговая частота незатухающих колебаний системы, если бы в ней не было сил трения, сопротивления, а β -коэффициент затухания в системе.

Значение резонансной амплитуды зависит от амплитуды вынуждающей силы и от свойств колебательной системы: её массы m , собственной частоты и коэффициента затухания β :

(1.10)

При коэффициенте затухания, равном нулю β=0 резонансная амплитуда теоретически должна стремиться к бесконечности при любых амплитудах вынуждающей силы. Если коэффициент затухания велик, резонанс слабо выражен.

Резонанс может быть как вредным, так и полезным явлением. Так, все человеческие органы и части его опорно-двигательного аппарата - колебательные системы со своими резонансными частотами и они могут резонировать на внешние воздействия. Но к счастью колебательным процессам в организме присущи большие коэффициенты затухания и поэтому чаще всего резонансные амплитуды невелики.

Но воздействия внешних переменных сил с большими амплитудами и на резонансных частотах человеческих органов могут привести к патологиям и даже к летальному исходу, о чём будет рассказано в следующей главе. Известны случаи технических и природных катастроф, вызванных резонансными явлениями.

В качестве примеров применения резонанса как полезного явления можно привести различные методики лечебной и гигиенической гимнастики, физиотерапии, вибромассаж.

.