6.2 Ламинарное течение жидкостей по цилиндрическим трубам с жёсткими стенками. Формула пуазейля. Закон гагена – пуазейля

По данным всемирной Организации Здравоохранения ( ВОЗ ) в наше время одной из наиболее частых причин смертей ( после голода и последствий недоедания, желудочно-кишечных инфекций, насильственных смертей в войнах и при катастрофах, в том числе природных ) - являются сердечно- сосудистые патологии

Обострение проблемы сердечнососудистых заболеваний европейские врачи установили ещё в конце ХVIII века. Французский врач Пуазейль(с целью выяснения причин этих грозных болезней начал изучать процессы течения крови по кровеносным сосудам. Пуазейль воспользовался упрощённой моделью ламинарного течения вязкой жидкости по цилиндрическим сосудам с жёсткими стенками. На самом деле очень существенно, что стенки кровеносных сосудов не жёсткие, а эластичные - упругие. Многие патологии как раз и связаны с потерей стенками сосудов эластичности. Это обстоятельство резко ограничило применение результатов работы Пуазейля в медицине.

Вместе с тем Пуазейль сделал большой шаг вперёд в физике, впервые рассмотрев течение вязкой жидкости. Его предшественники, например Бернулли, пользовались моделью идеальной жидкости, лишённой вязкости.

В отличие от турбулентного (вихревого, неустановившегося) ламинарное течение - слоистое, установившееся, когда распределение скоростей по разным точкам пространства, через которое протекает жидкость, не меняется во времени.

Рассмотрим ламинарное протекание вязкой жидкости через участок трубы с жёсткими стенками длиной l, радиусом R. Для течения вязкой жидкости требуется перепад давления . - давление на левом, а - на правом концах трубы (рис. 6.2).

Рис.6.2 Иллюстрация к закону(Гагена – Пуазейля)

Распределение скоростей по поперечному сечению трубы подчиняется формуле Пуазейля ( 6.3 ) полученной Пуазейлем экспериментально, а затем подтверждённой немецким учёным Гагеном теоретически.

( 6.3)

Здесь Z - расстояние рассматриваемого слоя жидкости от оси трубы, а - вязкость жидкости.

На рисунке 6.3 показано распределение скоростей по поперечному сечению трубы.

Рис.6.3 Распределение скоростей течения жидкости по сечению трубы при ламинарном течении.

Согласно (6.3) на оси трубы, когда z = 0 , скорость течения максимальна:

а у стенок, когда z = R, v = 0.

А средняя скорость течения:

(6.4)

Продифференцировав (6.3) по z, получим выражение для градиента скорости (6.4)

(6.5)

Из (6.5) видно, что на оси трубы градиент скорости равен нулю, а у стенок он максимален по абсолютной величине и прямо пропорционален средней скорости течения.

Указанная на рисунке 6.2 Q - объёмная скорость течения жидкости, численно равная объёму жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы за единицу времени:

(6.6)

в отличие от линейной скорости

, ( 6.7 )

численно равной расстоянию, на которое перемещается частица текущей жидкости за единицу времени.

Поскольку объём жидкости, протекшей через поперечное сечение цилиндрической трубы за время t, как это видно из рисунка 6.4 а,

объёмная и линейная скорости связаны между собой соотношением:

(6.8)

Рис .6.4

При протекании жидкости через трубу с жёсткими стенками переменного поперечного сечения (рис.6.4 б), если считать жидкость несжимаемой, объёмные скорости в обоих сечениях одинаковы

Или

(6.9).

Уравнение 6.9 называется уравнением неразрывности струи. Из него следует, что средняя скорость течения несжимаемой жидкости обратно пропорциональна площади поперечного сечения трубы:

Площадь поперечного сечения цилиндрической трубы S = R² , и поэтому объёмная скорость

Пользуясь формулой Пуазёйля (6.3), получим закон Гагена - Пуазёйля:

(6.10)

Выражение 6.10 можно записать в виде:

где - перепад давления на концах трубы,

а - гидравлическое сопротивление участка трубы.

Из закона Гагена - Пуазёйля, несмотря на явные недостатки положенной в основу этого закона модели кровеносного сосуда следуют три важных вывода:

Гидравлическое сопротивление: 1) прямо пропорционально длине участка сосуда

2) прямо пропорционально коэффициенту вязкости крови

3)обратно пропорционально четвёртой степени радиуса сосуда

Все эти три фактора: l, 𝜂, R , и особенно последний играют большую роль в функционировании сердечно-сосудистой системы. Отклонения значений 𝑙, η, R от нормы могут привести к серьёзным патологиям, нарушить кровоснабжение органов.

Законы течения вязких жидкостей - законы реологии также имеют большое значение для лабораторной практики и фармацевтического производства

6.3 МЕТОДЫ ОПРДЕЛЕНИЯ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТЕЙ

Определение коэффициента вязкости жидкостей имеет большое значение для медицины и фармации. Поэтому существует много методов определения коэффициента вязкости. Рассмотрим только два из них