1.3 Смещение, скорость и ускорение гармонически колеблющегося тела
На рисунке 1.3 представлены временные зависимости смещения
,
скорости
,
и ускорения гармонически колеблющегося тела
Колебания этих величин сдвинуты относительно друг друга по фазе. Начальную фазу для простоты приняли = 0 .
Рис. 1.3 Временные зависимости смещения от положения равновесия s , скорости v и ускорения a гармонически колеблющегося тела.
1.4. Энергия гармонически колеблющегося тела
Энергия пружинного
маятника складывается из его кинетической
энергии движения шарика 
и потенциальной энергии сжатой или
растянутой пружины 
.
Кинетическая энергия =
так как v
= mA
,
то
= 
t,
a потенциальная энергия деформированной пружины
=
t,
,
так как 
,
k
= m
.
Тогда полная энергия колеблющегося тела
E
=
+
= 
(
t
+
t)
=
,
потому что t + t = 1
На рисунке 1.4 представлены временные зависимости кинетической Ек, потенциальной Еп, и полной энергии Е тела, совершающего гармонические колебания.
Рис. 1.4. Временные зависимости кинетической Ек, потенциальной Еп и полной энергии Е тела, совершающего гармонические колебания.
Воспользовавшись известными тригонометрическими соотношениями
t
=
+
t
t = - t,
получаем
Кинетическая и потенциальная энергии колеблющегося тела меняются в противофазе с частотой, в два раза большей частоты колебания тела.
В положении равновесия
,
a в амплитудном положении
Таким образом, кинетическая энергия превращается периодически в потенциальную и наоборот
На самом деле мы рассмотрели только идеальный случай консервативной системы, когда сохраняется механическая энергия, каких в природе не бывает. Вследствие того, что система всегда должна совершать работу против сил трения, сопротивления, она теряет свою механическую энергию, которая переходит во внутреннюю. Все реальные свободные колебания - затухающие.
1.5. Свободные затухающие колебания
На рисунке 1.5 показана сила трения Fтр действующая на движущийся шарик. Она прямо пропорциональна скорости шарика и направлена в сторону, противоположную скорости:
k - коэффициент трения, сопротивления.
Рис.1.5. Затухающие колебания пружинного маятника.
II закон Ньютона для этого случая будет выглядеть так
или
(1.4)
Получили дифференциальное уравнение для свободного затухающего колебания
Перенеся все его члены в левую часть и, разделив обе части уравнения (1.4) на массу m, получим
(1.5)
Обозначим
где β - называется коэффициентом затухания
Тогда уравнение (1.5) примет вид:
(1.6)
Если
, решение этого дифференциального
уравнения будет выглядеть так
(1.7)
Здесь 
- частота свободных затухающих
колебаний.
Амплитуда 
уменьшается со временем, её временная
зависимость на рисунке 1.6 показана
штриховой линией.
Рис.1.6 . Временные зависимости амплитуды A ( штриховая линия) и смещения s для свободных затухающих колебаний , когда.
Рис 1.7 а) и б).
Временные зависимости смещения s
для свободных затухающих колебаний,
когда 
(объяснения
в тексте).
На рисунках 1.7а и
1.7б показаны временные зависимости
смещения для случаев, когда 
в этих случаях просто не будет колебаний
Коэффициент
затухания 
можно рассчитать, воспользовавшись
экспериментально полученным графиком
затухающих колебаний, измерив по нему
три величины: амплитуду в момент времени
t - At
, амплитуду через период -
At+T
и период колебаний T.
.
Надо рассчитать декремент затухания
и логарифмический декремент затухания:
Подставив сюда выражения для амплитуд в момент времени t
и в момент времени t + T:
, получим:
И коэффициент затухания рассчитаем по формуле
