Лабораторная работа № 12. Имитационное моделирование

Цель работы: изучить основы имитационного моделирования и научиться их выполнять c помощью табличного процессора.

Математическая модель какого-либо явления (процесса) может быть выражена функциональной зависимостью между совокупностью входных (независимых) переменных x_i (i=1,2,…,k) и выходными (зависимыми) переменными y:

(1)

Имитационное моделирование представляет собой технику оценки выходной переменной модели, когда несколько или все её входные переменные являются стохастическими, то есть не могут быть точно предсказаны. Если несколько или все входные переменные модели x_i являются стохастическими, то выходная переменная y также будет стохастической.

Целью имитационного моделирования является описание распределения и характеристик возможных значений выходной стохастической переменной y при случайном изменении входных стохастических переменных x_i (i =1,2,…,k).

Неопределенность выходных параметров модели вносит в процесс принятия решений элемент риска. Существует 3 основных метода анализа риска принимаемых решений: 1) метод анализа наилучшего и наихудшего сценариев; 2) метод решения задач типа «Что будет, если?»; 3) имитационное моделирование. Наиболее точным из них является метод имитационного моделирования.

В основе имитационного моделирования лежит метод многократного решения задач «Что будет, если?», при котором определение и ввод значений входных стохастических переменных автоматизированы.

Значения входных стохастических переменных вырабатываются с помощью функции генератора случайных чисел (ГСЧ). Полученные в результате значения выходной переменной y позволяют оценить закон и параметры ее распределения. Так, можно найти пределы изменения выходной переменной, ее среднее значение, дисперсию и оценить вероятность того, что фактическое значение выходной переменной не будет больше или меньше заданной величины. Эти параметры позволяют точнее оценить риск по принимаемому решению.

Генератор случайных чисел (ГСЧ). В Excel при имитационном моделировании в каждую ячейку случайной переменной вводится формула с функцией ГСЧ. ГСЧ выдает случайные числа из определенного распределения. При каждом пересчете электронной таблицы случайные числа выдаются автоматически. Таким образом, можно пересчитывать значения переменных величин большое число раз и анализировать результаты.

В Excel в качестве ГСЧ используется встроенная функция СЛЧИС(). Она генерирует равномерно распределенные числа на интервале от 0 до 1. При нажатии клавиши F9 генерируется новое случайное число.

Распределения вероятностей:

1. Дискретное случайное распределение целых чисел. Дискретная случайная величина может принимать n отдельных значений с вероятностью 1/n. Формула для генератора случайных целых чисел в диапазоне , где a и n – целые числа, будет иметь вид:

ЦЕЛОЕ(n*СЛЧИС())+a,

где функция Excel ЦЕЛОЕ(число) округляет число до его целой части.

2. Равномерное распределение. Для этого распределения непрерывная случайная величина может принимать любые значения на интервале [a;b] с равной вероятностью, где a и b – действительные числа (a<b). Формула ГСЧ равномерного распределения:

a+(b-a)*СЛЧИС().

3. Симметричное треугольное распределение. В этом распределении:

1) значение случайной переменной находится на интервале [a;b] (a<b);

2) точка посередине интервала со значением (a+b)/2 имеет наибольшую вероятность появления, а точки a и b на краях интервала – наименьшую.

Формула ГСЧ симметричного треугольного распределения:

a+(b-a)*(СЛЧИС()+СЛЧИС())/2.

4. Нормальное распределение. Для этого распределения характерно наличие двух параметров – среднего значения µ с максимальной вероятностью и среднеквадратического (стандартного) отклонения σ, определяющего ширину распределения. Формула ГСЧ нормального распределения: НОРМОБР(СЛЧИС();µ;σ),

где НОРМОБР(вероятность;среднее;стандартное_отклонение) – функция Excel, возвращающая обратное нормальное распределение.

Подготовка имитационной модели начинается с создания подходящего ГСЧ для ее случайных переменных. Для этого анализируются ретроспективные данные этих переменных. Если такой информации нет или есть основания считать, что поведение переменных в будущем будет сильно отличаться от прошлого, то ГСЧ строится только на основе общетеоретических соображений.

Имитационное исследование модели. На этом этапе выполняется многократное решение модели. Целью этапа является получение выборки – совокупности N возможных значений выходной переменной. Анализ выборки позволяет определить характеристики данной случайной величины, в том числе: среднее значение и форму распределения выходной переменной. Количество реализаций (пересчетов) модели должно быть не слишком маленьким (иначе будет низкой точность оценки), но и не слишком большим (иначе потребуется много времени и ресурсов ЭВМ). Обычно число реализаций модели должно быть не меньше 100.

В Excel на данном этапе обычно создается таблица с 2 столбцами:

1) столбец, в который вводится последовательность чисел 1,2,…,N (выбрав в меню Правка-Заполнить-Прогрессия; задав расположение по столбцам, тип – арифметическая, предельное значение (число N), шаг 1);

2) столбец, в который подставляются значения выходной переменной; для этого нужно: а) в его верхнюю ячейку ввести ссылку на адрес ячейки с выходной переменной; б) выделить всю таблицу; в) в меню выбрать пункты Данные-Таблица подстановки; в поле «Подставлять значения по строкам» указать адрес любой ячейки вне выделенной таблицы и нажать OK.

Анализ данных. На этом этапе определяются характеристики распределения выходной переменной и форма распределения. В Excel для анализа данных можно использовать Пакет анализа. Для его включения нужно выбрать в меню Сервис-Надстройки, пометить «галочкой» Пакет анализа и нажать OK. Запуск Пакета анализа: Сервис-Анализ данных. В результате появится список Инструментов анализа, из которых рассмотрим процедуры Описательная статистика и Гистограмма.

При выборе Инструмента анализа Описательная статистика появляется окно с параметрами:

1. Входной интервал – диапазон ячеек с анализируемыми данными;

2. Группирование: по столбцам или по строкам;

3. Метки в первой строке: ставится «галочка», если заголовок включен во входной интервал;

4. Параметры вывода (выбирается один из трех):

а) Выходной интервал – диапазон ячеек, в который выводится статистическая таблица;

б) Новый рабочий лист;

в) Новая рабочая книга;

5. Итоговая статистика: ставится «галочка» для вывода основных характеристик;

6. Уровень надежности: ставится «галочка», если нужно вывести уровень надежности среднего с заданной достоверностью;

7. K-й наибольший: если «галочка», то выведется k-е наибольшее значение входного интервала, т.е. при 1 – максимальное значение;

8. K-й наименьший: если «галочка», то выведется k-е наименьшее значение входного интервала, т.е. при 1 – минимальное значение.

При выборе Инструмента анализа Гистограмма появляется окно с параметрами:

1. Входной интервал;

2. Интервал карманов (необязательный параметр) – диапазон ячеек, куда занесен набор граничных значений подинтервалов (карманов) входного интервала;

3. Метки: ставится «галочка», если заголовок включен во входной интервал;

4. Параметры вывода (выбирается один из трех):

а) Выходной интервал – диапазон ячеек, в который выводится табличная гистограмма;

б) Новый рабочий лист;

в) Новая рабочая книга;

5. Парето: если «галочка», то добавляется табличная гистограмма, отсортированная по убыванию частоты;

6. Интегральный процент:если «галочка», то выводится накапливаемая сумма частот, деленная на общее число значений (в %);

7. Вывод графика: если «галочка», то выводится графическая гистограмма.

Доверительные интервалы. Пусть - оценка среднего значения случайной величины y, а S – среднеквадратическое отклонение y, определенное по выборке размера N. Если N ≥ 30, то нижний и верхний пределы 95%-го доверительного интервала для среднего значения случайной величины соответственно равны:

и .

Это означает, что с достоверностью в 95% можно утверждать, что действительное среднее значение y находится между нижним и верхним пределом 95%-го доверительного интервала.