Лабораторная работа № 10. Решение задачи целевого программирования

Цель работы: научиться составлять математические модели задачи целевого программирования и решать их с помощью табличного процессора.

Задача целевого программирования предусматривает:

1. наличие нескольких целей;

2. формулировку поставленных целей как ограничений с изменяемыми правыми частями;

3. использование линейных моделей;

4. нахождение решения путем итераций, позволяющих ЛПР исследовать возможные альтернативы решения задачи и выбирать наилучшую из них;

5. использование как «жестких» ограничений на переменные, которые нельзя изменять в ходе решения, так и «мягких» ограничений, которые можно изменять в ходе решения.

Построение ограничений и целевой функции. В задаче целевого программирования можно строить 2 вида ограничений: целевые и «жесткие».

Целевые ограничения показывают, как точно данное решение обеспечивает достижение поставленных целей. Обычно они носят «мягкий» характер, т.е. могут быть при необходимости изменены и записываются в следующем виде:

,

где x_j – управляемые переменные (j =1,2,…,n), ;

t_i – значения правых частей целевых ограничений (i=1,2,…,m), t_i >0;

- отклонение ограничения от целевого значения t_i в сторону его увеличения (перевыполнение), ;

- отклонение ограничения от целевого значения t_i в сторону его уменьшения (недовыполнение), ;

a_ij – коэффициенты при переменных x_j для i-го целевого ограничения.

«Жесткие» ограничения не допускают изменений и имеют вид:

,

где b_k – правые части «жестких» ограничений» (k =1, 2,…,p).

Целевая функция задачи целевого программирования имеет вид:

,

где и - веса отклонений ограничений и соответственно.

Значения весов и характеризуют степень приемлемости (или нежелательности) отклонений ограничений и . В простых случаях для приемлемых отклонений () значения соответствующих весов () равны 0, а для нежелательных отклонений равны 1.

Решение задачи состоит из двух этапов: подготовки табличной модели и ее решения с помощью процедуры Поиск решения.

Подготовка табличной модели состоит в следующем:

1. выбор диапазона n ячеек для переменных x_j;

2. выбор диапазона ячеек для отклонений и ;

3. ввод значений весов и в ячеек;

4. ввод значений целевых ограничений t_i в m ячеек;

5. ввод значений правых частей «жестких» ограничений b_k в p ячеек;

6. ввод формул расчета левых частей целевых ограничений в m ячеек;

7. ввод формул расчета левых частей «жестких» ограничений в p ячеек;

8. Ввод в выбранную целевую ячейку формулы расчета целевой функции .

Для решения задачи в Excel нужно выбрать в меню Сервис-Поиск решения. После выбора процедуры Поиск решения в ее окне нужно:

1. установить целевую ячейку и задать ее равной минимальному значению;

2. в поле Изменяя ячейки задать диапазоны n ячеек искомых переменных x_j и ячеек отклонений и ;

3. кнопкой Добавить ввести целевые ограничения вида:

диапазон ячеек с

=

диапазон ячеек tj

4. добавить «жесткие» ограничения вида:

   диапазон ячеек с

   знак(<=,>=,=)

   диапазон ячеек bk

5. добавить условие неотрицательности переменных и отклонений

   диапазоны ячеек переменных xj,

   >=

   0

6. добавить при необходимости другие ограничения;

7. нажать кнопку Выполнить для вычисления оптимального решения.

Если оптимальное решение не найдено, то значения весов корректируются и проводится повторный поиск оптимального решения.

Пример. Решено перестроить здание отеля с целью создания системы конференц-залов для проведения семинаров и конференций. Определено, что отель должен иметь не менее 5 малых и 15 больших конференц-залов. Ожидаемые затраты на строительство: 1 малого зала – 180000 р., 1 большого зала – 451500 р. Предполагаемая сумма расходов – не более 7000000 р. Найти решение, наиболее близко отвечающее данным условиям, если нежелательными отклонениями являются: уменьшение количества малых и больщих залов, перерасход средств.

Решение. Пусть управляемые переменные: x₁ – число малых конференц-залов, x₂ – число больших конференц-залов. Задача содержит 3 цели:

Цель 1. Отель должен содержать примерно 5 малых конференц-залов.

Цель 2. Отель должен содержать примерно 15 больших конференц-залов.

Цель 3. Перестройка отеля должна обойтись примерно в 7000000 р.

Система ограничений (жесткие ограничения не вводились):

Целевая функция:

Веса нежелательных отклонений , веса приемлемых отклонений .

Табличная модель в Excel имеет следующий вид:

	A	B	C	D	E	F	G
1	x	d+	d-	левая часть	знак	t	1/t
2					=	5
3					=	15
4					=	7000000
5		w+	w-
6		0	1
7		0	1
8		1	0
9	F

В ячейки таблицы вводятся формулы:

Ячейка	Формула
D2	=A2-B2+C2
D3	=A3-B3+C3
D4	=180000*A2+451500*A3-B4+C4
G2	=1/F2
G3	=1/F3
G4	=1/F4
B9	=СУММПРОИЗВ(G2:G4;B2:B4;B6:B8)+ СУММПРОИЗВ(G2:G4;C2:C4;C6:C8)

После выбора в меню Сервис-Поиск решения задаются параметры:

4. целевая ячейка B9, равная минимальному значению;

5. изменяя ячейки: A2:A3;B2:C4;

6. ограничения D2:D4=F2:F4; A2:A3>=0; B2:C4>=0; A2:A3 цел целое.

Далее нажимается кнопка Выполнить, после чего появится окно «Результаты поиска решения» с сообщением «Решение найдено».

В итоге получены значения: 6 в A2; 13 в A3; 1 в B2; 2 в C3; 50500 в С4; 0,13333 в B9.

Таким образом, согласно найденному оптимальному плану, нужно построить 6 малых и 13 больших конференц-залов, при этом 1 малый зал будет построен сверх плана, план по большим залам будет недовыполнен на 2 зала, экономия средств составит 50500 р. Минимальное значение целевой функции равно 0,13333.