§ 7.3. Описание выбора на языке бинарных отношений

Второй, более общий язык, на котором описывается выбор, – это язык бинарных отношений. Его большая, нежели у критериального языка, общность основана на учете того факта, что в реальности дать оценку отдельно взятой альтернативе часто затруднительно или невозможно; однако если рассматривать ее не в отдельности, а в паре с другой альтернативой, то находятся основания сказать, какая из них более предпочтительна.

Таким образом, основные предположения этого языка сводятся к следующему:

1) отдельная альтернатива не оценивается, т.е. критериальная функция не вводится;

2) для каждой пары альтернатив (x, y) некоторым образом можно установить, что одна из них предпочтительнее другой либо они равноценны или несравнимы (чаще всего последние два понятия отождествляются);

3) отношение предпочтения внутри любой пары альтернатив не зависит от остальных альтернатив, предъявленных к выбору.

Математически бинарное отношение R на множестве X определяется как определенное подмножество упорядоченных пар (x, y). Удобно использовать обозначение xRу, если x находится в отношении R с y, и xy – в противном случае. Множество всех пар {(x, y), x, y  X} называется полным (“универсальным”) бинарным отношением. Поскольку в общем случае не все возможные пары (x, y) удовлетворяют условиям, накладываемым отношением R, бинарное отношение является некоторым подмножеством полного бинарного отношения, т.е. R  X  X.

Задать отношение – это значит тем или иным способом указать все пары (x, y), для которых выполнено отношение R.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ

7.3 ————— Способы описания выбора на языке бинарных отношений

Существует четыре разных способа задания отношений (рис. 7.3); преимущества каждого проявляются при разных характеристиках множества X.

Первый, очевидный, способ состоит в непосредственном перечислении таких пар. Ясно, что он приемлем лишь в случае конечного множества X.

Второй удобный способ задания отношения R на конечном множестве – матричный. Все элементы нумеруются, и матрица отношения R определяется своими элементами a_ij(R) = {1: x_iRx_j; 0: x_ix_j} для всех i и j. Известным примером такого задания отношений являются турнирные таблицы (если ничьи обозначить нулями, как и проигрыш, то матрица изобразит отношение “x_i – победитель x_j”) .

Третий способ – задание отношения графом. Вершинам графа G(R) ставят в соответствие (пронумерованные) элементы множества X, и если x_iRx_j, то от вершины x_i проводят направленную дугу к вершине x_j; если же x_ix_j, то дуга отсутствует.

Для определения отношений на бесконечных множествах используется четвертый способ – задание отношения R сечениями. Множество

R⁺(x) = {y  X | (y, x)  R}

называется верхним сечением отношения R, а множество

R^–(x) = {y  X | (x, y)  R}

– нижним сечением. Иначе говоря, верхнее сечение – это множество всех y  X, которые находятся в отношении yRx с заданным элементом x  X, а нижнее сечение – множество всех y  X, с которыми заданный элемент x находится в отношении R. Отношение однозначно определяется одним из своих сечений.

Приведенные ниже примеры иллюстрируют все четыре способа представления конкретных отношений.

Пример 1. Полное бинарное отношение U:

1) в U входят все пары (x_i, x_j), x_s  X;

2) a_ij(U) = 1 для всех i и j;

3) граф G(U) такой, что его дуги соединяют любую пару вершин (стрелки направлены в обе стороны, поскольку x_i U x_j и x_j U x_i, а каждая вершина имеет петлю: x_i U x_i);

4) R⁺(x) = R^–(x) = X для любого x  X.

Пример 2. Диагональное отношение E:

1) в E входят только пары с одинаковыми номерами: x_i E x_j верно только при i = j;

2) a_ij(E) = { 1: i = j; 0: i ??j };

3) граф G(E) такой, что каждая его вершина имеет петлю, а остальные дуги отсутствуют;

4) R⁺(x) = R^–(x) = x для любого x  X.

ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ, ПОРЯДКА И ДОМИНИРОВАНИЯ

Для теории выбора особое значение среди всех бинарных отношений имеют отношения, которые соответствуют предпочтению одной альтернативы перед другой или случаю невозможности отдать предпочтение одной из двух альтернатив. Эти отношения можно задать через строго определяемые отношения эквивалентности, порядка и доминирования.

Для их определения нам понадобятся некоторые свойства отношений вообще^* . Бинарное отношение R на множестве X называется:

рефлексивным, если xRx для каждого x  X;

антирефлексивным, если xx  x  X (т.е. R может выполняться только для несовпадающих элементов);

симметричным, если xRy  yRx  x, y  X;

асимметричным, если xRy  yx  x,y  X (ясно, что асимметричное отношение R антирефлексивно);

антисимметричным, если для всех x, y  X (xRy, yRx)  x = y;

BINARY RELATION бинарное отношение

PREFERENCE PATTERN граф предпочтений

RELATION MATRIX матрица отношения

ORDERED PAIRS упорядоченные пары

UTILITY FUNCTION функция полезности

Обратите внимание на очень важное предположение в языке бинарных отношений – независимость упорядочения двух альтернатив от любой третьей. Это предположение существенно для всей теории. В ее приложениях важно убедиться, что оно выполняется в изучаемом варианте выбора.

транзитивным, если для всех x, y, z  X (xRy, yRz)  xRz;

отрицательно транзитивным, если отношение транзитивно;

сильно транзитивным, если отношение R одновременно транзитивно и отрицательно транзитивно.

Теперь можно охарактеризовать отношения, используемые в теории выбора.

Отношение R на множестве X называется отношением эквивалентности (обозначение ~), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Примеры отношений эквивалентности: “быть четным”, “иметь одинаковый остаток от деления на 3” – на множестве натуральных чисел; “быть одноклассниками” – на множестве учеников данной школы; “быть подобными” – на множестве многоугольников. Задание отношения эквивалентности равносильно разбиению множества X на непересекающиеся классы (приi ? j) эквивалентных элементов: x ~ y тогда и только тогда, когда x, y  X_i (т.е. если x и y принадлежат одному классу эквивалентности) .

Отношением нестрогого порядка (обозначение ) называется рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение. Отношением строгого порядка (обозначение <) называется антирефлексивное, асимметричное и транзитивное отношение. Отношение нестрогого порядка можно рассматривать как объединение отношений < и ~.

Наконец, отношением доминирования называется отношение, обладающее антирефлексивностью и асимметричностью. Говорят, что “x доминирует y” (обозначается x » y), когда x в каком-то смысле превосходит y. (Очевидно, строгий порядок – частный случай доминирования, при котором имеет место еще транзитивность.)

7.4 ————— Пример графа предпочтений

Хотя при подробном рассмотрении выбора потребуются и другие факты теории отношений, введенные понятия позволяют составить представление о возможностях данного языка.

В случае конечных множеств X очень удобно находить наилучшие альтернативы с помощью графа предпочтений, стрелки которого направлены в сторону менее предпочтимой альтернативы (рис. 7.4) . Выделив вершины графа, из которых стрелки только исходят (альтернативы 6 и 10 на рис. 7.4), мы находим недоминируемые, т.е. наилучшие, альтернативы. Можно показать, что если граф сильно транзитивен (т.е. транзитивен и по наличию, и по отсутствию стрелок) и антирефлексивен (отсутствуют петли), то описываемый выбор сводится к однокритериальному выбору. Другие типы графов описывают другие ситуации выбора.

Несмотря на то что язык бинарных отношений введен для описания более общих и сложных ситуаций, нежели те, которые описываются критериальным языком, в чисто познавательных целях поучительно проследить, как уже известная нам ситуация выглядит в новом представлении.

Например, многомерное критериальное пространство (с теми оговорками о соотношении размерностей критериев, которые были сделаны в предыдущем параграфе) может быть поставлено в соответствие евклидову пространству. Введение на этом пространстве бинарных отношений требует учета его свойств. В частности, начинают играть роль отношения инвариантные (относительно переноса), для которых верхнее сечение в любой точке может быть получено параллельным переносом верхнего сечения в любой другой точке. Примером инвариантного отношения является отношение Парето P:

.

7.5 ————— Описание паретовского множества как множества таких альтернатив, для которых верхнее сечение P⁺(x) пусто.

Верхнее сечение отношения P есть первый квадрант с началом в точке x; теперь понятно, как находится паретовское множество альтернатив (на рис. 7.5 приведен случай конечного множества X; сравните этот рисунок с рис. 7.1, г): в паретовское множество включаются альтернативы, верхнее сечение которых пусто (на рис. 7.5 они отмечены кружками) .

В общем же случае выделение наиболее предпочтительных альтернатив возможно с помощью понятия оптимальности по отношению R, позволяющего придавать разный смысл понятию “наилучший” (задавая разные отношения R). Элемент x  X называется мажорантой по отношению R на X, если для всех y  X выполнено условие yx. Множество X₊(R) всех мажорант называется множеством R-оптимальных элементов.

ОБ ОЦИФРОВКЕ ПОРЯДКОВЫХ ШКАЛ

Важно обсудить ситуацию, возникшую при описании выбора на языке бинарных отношений в результате создания теории полезности [38]. П. Фишберн строго доказал теорему, смысл которой довольно ясен: если множество X конечно и между его элементами имеется отношение строгого порядка, то можно построить такую вещественную функцию u(x) на X, для которой

(x < y)  [u(x) < u(y)]

(в левой части < означает отношение предпочтения, в правой – знак “меньше”) .

Функция u(x) называется функцией полезности. Ясно, что такая функция не единственна: произвольное монотонное преобразование сохраняет ее упорядочивающее свойство. Этот результат затем был обобщен на счетные и континуальные множества X, на нестрогий порядок и на многокритериальный случай (аддитивные функции полезности). Определение функции u(x) позволяет перейти от языка бинарных отношений к критериальному языку, взяв u(x) в качестве критериальной функции. Были развиты методы, позволяющие сузить класс функций полезности, например благодаря рассмотрению иерархических парных предпочтений (см. § 6.2), повышая тем самым “точность определения u(x)”.

Создается впечатление, что от качественных порядковых измерений можно перейти к количественным. На самом деле мы здесь вновь сталкиваемся с такой ситуацией, когда “оцифровка” порядковой шкалы не делает ее числовой шкалой. Для воспроизводства упорядочения фиксированного попарно упорядоченного множества X, конечно, можно воспользоваться числовой функцией u(x); однако стоит дополнить X альтернативами, которые не рассматривались при первом упорядочении, как функцию u(x) потребуется определять заново. Более того, если два разных эксперта дадут разные упорядочения множества X, то можно доопределить функции полезности для каждого из них, но сравнивать их численно иначе как в отношении порядка не имеет смысла (см. пример в § 6.2), хотя обе они определены на одном множестве.

В тех случаях, когда количественная величина по каким-то причинам измеряется в порядковой шкале, оцифровка порядковых данных могла бы иметь смысл. Однако во многих приложениях теории полезности мы имеем дело с измерениями, которые в принципе не могут выйти из разряда порядковых.

Подведем итог В ряде практических случаев критериальная функция не существует, т.е. оценку данной альтернативе можно дать только в результате ее сравнения с другой альтернативой. Это потребовало более общего описания выбора. Первым таким обобщением и является язык бинарных отношений.

Summary In many cases no criterion function exists because an evaluation of a given alternative may be made only by comparing it with another alternative. This requires a more general description of the choice. The language of binary relations is such a generalization.