§ 6.4. Вероятностное описание ситуаций. Статистические измерения

Говоря о наблюдениях над изучаемым объектом и о фиксации результатов этих наблюдений (измерений), а именно это является основной темой данной главы, еще раз напомним, что сама необходимость обращения к эксперименту вытекает из того, что нужно устранить некоторую неопределенность, свойственную нашим знаниям об объекте до проведения этого эксперимента. В некоторых случаях эксперимент устраняет неопределенность полностью (как при бросании монеты или контрольном замере уровня масла в двигателе); в других случаях неопределенность лишь уменьшается до некоторого предела, относительного (т.е. в принципе преодолимого) или абсолютного (неуменьшаемого). Ясно, что и организация эксперимента, и обработка экспериментальных данных, определяющие степень уменьшения неопределенности, должны исходить из природы, существа, причины неопределенности.

ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Оказывается, что неопределенность бывает разного происхождения. Один из ее видов – неизвестность – рассматривается теорией познания и философией; такого типа неопределенность характеризует ситуацию, когда мы задаемся вопросом “есть ли жизнь на Марсе?” (посадка советской автоматической станции на эту планету уменьшила неопределенность, но не сняла ее совсем) или “существуют ли внеземные цивилизации?” (поиск возможных искусственных радиосигналов, пока, к сожалению, безуспешен). Другой вид неопределенности – расплывчатость – был обсужден в предыдущем параграфе; для нее характерно, что эксперимент в принципе не снимает ее полностью. Третий вид неопределенности – случайность – мы кратко рассмотрим сейчас; при этом будем исходить из того, что читателю знакомы элементы теории вероятностей.

Говоря о случайных явлениях, прежде всего обращают внимание на их непредсказуемость, противопоставляют случайность детерминированности, хаотичность – упорядоченности. Имеющее определенный смысл, такое противопоставление является односторонним, так как оставляет в тени тот факт, что под случайностью понимается вид неопределенности, подчиняющийся строгой закономерности, которая выражается распределением вероятностей. Зная распределение (напри­мер, плотность р(х)) вероятностей, можно ответить на любой вопрос о случайной величине: в каком интервале находятся ее возможные значения (определим носитель распределения Х – множество элементов х, для которых р(х) > 0); около какого значения рассеиваются ее ре­ализующие значения (найдем параметр положения распределения, например среднее, моду или медиану); насколько сильно разбросаны эти значения (найдем масштабный параметр – дисперсию или стандартное отклонение, средний модуль разности, энтропию); какова связь между разными реализациями (вычислим заданную меру зависимости) и т.д.

О ПРИРОДЕ СЛУЧАЙНОСТИ

Различные определения вероятности рассматриваются в соот­вет­ствующих курсах; мы же остановимся на природе случайности. Существует несколько точек зрения на этот счет, причем каждая из них имеет достаточные основания.

1. Согласно первой точке зрения, случайным нам представляется нечто такое, в чем мы пока не уловили закономерности. По мере познания явления в последнем остается все меньше и меньше случайного. Ярким выразителем такой позиции был Лаплас, считавший, что случайность не присуща самим объектам, а связана только с незнанием, в принципе устранимым.

2. Противоположная точка зрения состоит в том, что случайность является объективным свойством всех явлений, а детерминированность – лишь предельный случай случайности. Более ста лет назад О. Курно писал, что “случайность вмешивается во все, что творится на свете”, что “миром управляет случай, или, говоря точнее, случай имеет свою часть, и притом весьма значительную, в управлении вселенной”.

3. Промежуточная позиция признает как существование вполне детерминированных явлений, так и в принципе случайных, описываемых статистическими закономерностями (большая частота рождения мальчиков по сравнению с девочками; законы Менделя; статистические законы физики, химии, термодинамики; законы квантовой механики и т.д.). Таким образом, случайность признается объективным свойством лишь некоторых явлений.

DATA данные

EXPERIMENT DESIGN планирование эксперимента

ASSUMPTION, SUPPOSITION, PREMISE предположение

DISTRIBUTION распределение

STATISTICAL статистический

Самая полная информация, которой можно располагать о случайном объекте, содержится в распределении вероятностей по возможным состояниям этого объекта. Важно, что само конкретное распределение уже есть закономерность: неоднозначная (но и не вполне произвольная) для того, какое именно состояние реализуется, и вполне однозначная для многих важных характеристик, выражаемых функционалами от распределения.

4. В последние годы представители школы И. Пригожина развивают подход, согласно которому случайные и детерминированные периоды сменяют друг друга в истории любой системы. Детерминированные процессы постепенно сменяются процессами, все более удаленными от равновесия, все более хаотическими, пока в период сильной неравновесности случайность не становится определяющей причиной того, в какое из возможных новых равновесных состояний придет система.

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ

При всем отличии этих точек зрения они не столько несовместимы, как это представляется на первый взгляд. Рассмотрим наглядную в этом отношении простейшую задачу обнаружения постоянного сигнала в нормальном шуме. Сигнал может принимать одно из двух (известных заранее) значений, S или 0, с вероятностями Р и Q соответственно (это и есть случайность незнания). В любом из этих случаев мы можем наблюдать только аддитивную смесь сигнала с гауссовым шумом, т.е. иметь выборку х₁, ..., х_n либо из распределения N_x(0, ?²), либо из распределения N_x(S, ?²). Здесь шум представляет собой объективную и неустранимую случайность, подчиненную закономерности нормального распределения. Зная априори величины Р, Q, S, 0, функцию N_x(a, ?²) при любых а и ?², а также используя наблюдения х₁, ..., х_N, мы можем уменьшить неопределенность того, какое же из возможных значений, S или 0, имеет место, т.е. уменьшить случайность незнания. Однако объективная случайность шума не позволяет сделать это безошибочно; даже при оптимальных методах обработки измерений х₁, ..., х_N вероятности ошибок отличны от нуля, хотя при неограниченном увеличении N они стремятся к нулю.

Как видим в практических задачах объективные и субъективные случайности неразделимо переплетены. Такое слияние может быть еще более тесным: например, в непараметрической статистике распределения, характеризующие объективную случайность, считаются лишь существующими, но функционально неизвестными, т.е. субъективное незнание распространяется и на описание объективной случайности.

Итак, как и любые эксперименты, измерения случайных величин и процессов выполняются для уточнения их моделей, снятия или уменьшения неопределенности незнания. Обычно достаточно знать не все распределение, а лишь какой-то из его параметров, и тогда задача сводится к оценке этого параметра по наблюдаемой выборке. Хотя это уже “вторичная” обработка данных, измерение выборочных значений и вычисление оценки в совокупности можно трактовать как “измерение параметра”. То же относится и к определению по выборке более сложных характеристик – самих распределений, регрессий, корреляций, спектров и т.д. Такое совместное рассмотрение непосредственных измерений и их обработки оказывается полезным еще и потому, что можно проводить общую оптимизацию этого процесса, и она далеко не всегда совпадает с оптимизацией компонент в отдельности.

Все эти соображения и дают основания ввести понятие статисти­ческих измерений, рассматривать эту проблематику как самостоятельный раздел метрологии со своей теорией и измерительной техникой [2; 12].

В заключение подчеркнем еще раз, что статистический, вероятностный подход относится к неопределенности, описываемой распределениями вероятностей. На то, что методы статистики надо применять ос­торожно, что многие экспериментальные ситуации могут быть хотя и ха­отическими, но не иметь вероятностного характера, обращали внимание многие исследователи. В учебной и популярной литературе этот мо­мент настойчиво и очень эмоционально подчеркивает В.Н. Тутубалин [9].

Еще один важный момент состоит в том, чтобы по возможности ослабить или хотя бы учесть влияние измерений на наблюдаемый объект. Особенно это существенно при социальных исследованиях, наблюдениях за людьми: сам факт осознания, что они являются объектом внимания, заметно меняет их поведение. Воздействие измерительного устройства на измеряемый объект должно также учитываться при физических и химических экспериментах.

Подведем итог Случайная неопределенность характеризуется предположением о том, что распределение вероятностей существует, хотя и неизвестно. После наблюдений над случайной величиной требуется снять неопределенность ее распределения (или его заданной характеристики). Чем больше произведено наблюдений, тем больше имеется возможностей снять неопределенность. Как именно это сделать и от чего зависит оставшаяся неопределенность – на эти вопросы отвечает математическая статистика (см. § 7.7).

Summary Under stochastic uncertainty we are able to suppose that there exists a probability distribution, even if it is unknown. Having observed a random variable we must remove the uncertainty of the distribution (or of its characteristic). The larger the size of a sample, the more possibilities there are for doing this. How to do this, and what the remaining uncertainty depends on – these questions are answered by mathematical statistics (sf. § 7.7).