§ 6.2. Измерительные шкалы

Измерение – это алгоритмическая операция, которая данному наблюдаемому состоянию объекта, процесса, явления ставит в соответствие определенное обозначение: число, номер или символ. Такое соответствие обеспечивает то, что результаты измерений содержат информацию о наблюдавшемся объекте, количество же информации зависит от степени полноты этого соответствия и разнообразия вариантов (см. § 5.7) . Нужная нам информация получается из результатов измерения с помощью их преобразований, или, как еще говорят, с помощью обработки экспериментальных данных.

Совершенно ясно, что чем теснее соответствие между состояниями и их обозначениями, тем больше информации можно извлечь в результате обработки данных. Менее очевидно, что степень этого соответствия зависит не только от организации измерений (т.е. от экспериментатора), но и от природы исследуемого явления, и что сама степень соответствия в свою очередь определяет допустимые (и недопустимые) способы обработки данных.

В данном параграфе мы будем рассматривать только такие объекты, про любые два состояния которых можно сказать, различимы они или нет, и только такие алгоритмы измерения, которые различным состояниям ставят в соответствие разные обозначения, а неразличимым состояниям – одинаковые обозначения^*. Это означает, что как состояния объекта, так и их обозначения удовлетворяют следующим аксиомам эквивалентности:

1⁰. А = A (рефлексивность).

2⁰. Если А = В, то В = А (симметричность).

3⁰. Если А = В и В = С, то А = С (транзитивность).

Здесь символ = обозначает отношение эквивалентности; в том случае, когда А и В – числа, он означает их равенство.

ШКАЛЫ НАИМЕНОВАНИЙ

Предположим, что число различимых состояний (математический термин – число классов эквивалентности) конечно. Каждому классу эквивалентности поставим в соответствие обозначение, отличное от обозначений других классов. Теперь измерение будет состоять в том, чтобы, проведя эксперимент над объектом, определить принадлежность результата к тому или иному классу эквивалентности и записать это с помощью символа, обозначающего данный класс. Такое измерение называется измерением в шкале наименований (иногда эту шкалу называ- ют также номинальной или классификационной); указанное множество символов и образует шкалу.

Особенности шкалы наименований рассмотрим на примерах. Естественнее всего использовать шкалу наименований в тех случаях, когда классифицируются дискретные по своей природе явления (например, различные объекты). Для обозначения классов могут быть использованы как слова естественного языка (например, географические названия, собственные имена людей и т.д.), произвольные символы (гербы и флаги государств, эмблемы родов войск, всевозможные значки и т.д.), номера (регистрационные номера автомобилей, официальных документов, номера на майках спортсменов), так и их различные комбинации (например, почтовые адреса, экслибрисы личных библиотек, печати и пр.) Все эти обозначения эквивалентны простой нумерации (в некоторых странах человек при рождении получает номер, под которым он фигурирует в государственных информационных системах всю жизнь), но на практике часто предпочитают другие обозначения (вообразите, что вместо имен и фамилий ваших друзей и знакомых вы должны будете использовать номера!).

Поскольку присваиваемое классу объектов обозначение в принципе произвольно (хотя после присвоения и однозначно), эту свободу в выборе можно использовать для удобства. Так, при большом и/или нефиксированном числе классов их конкретизация упрощается и облегчается, если обозначения вводятся иерархически. Примером могут служить почтовые адреса: страна – территориальная административная единица (республика, штат, кантон, графство, область) – населенный пункт – улица – дом – квартира – адресат. Другой пример – автомо­бильные номера: в их символике есть обозначение как территории, так и принадлежности машины (государственная или личная).

Необходимость классификации возникает и в тех случаях, когда классифицируемые состояния образуют непрерывное множество. Задача сводится к предыдущей, если все множество разбить на конечное число подмножеств, искусственно образуя тем самым классы эквивалентности. Теперь принадлежность состояния к какому-либо классу снова можно регистрировать в шкале наименований. Однако условность введенных классов (не их шкальных обозначений, а самих классов) рано или поздно проявится на практике. Например, возникают трудности точного перевода с одного языка на другой при описании цветовых оттенков: в английском языке голубой, лазоревый и синий цвета не различаются; не исключено, что англичане иначе видят мир (например, в одном английском толковом словаре слово “синий” объясняется как “цвет чистого неба, древесного дыма, снятого молока, свинца”, а в другом – как “цвет неба или моря, а также вещей намного бледнее или темнее, как дым, удаленные холмы, лунный свет, синяк”).

Аналогичная ситуация имеет место в профессиональных языках. Вспомним примеры с наименованиями коров у африканского племени масаев, различных состояний снега у эвенков (см. § 2.3).

Названия болезней также образуют шкалу наименований. Психиатр, ставя больному диагноз “шизофрения”, “паранойя”, “мани­акаль­ная депрессия” или “психоневроз”, использует номинальную шкалу; и все же иногда врачи не зря вспоминают, что “нужно лечить больного, а не болезнь”: название болезни лишь обозначает класс, внутри которого на самом деле имеются различия, так как эквивалентность внутри класса носит условный характер.

Перейдем теперь к вопросу о допустимых операциях над данными, выраженными в номинальной шкале. Подчеркнем еще раз, что обозначения классов – это только символы, даже если для этого использованы номера. Номера лишь внешне выглядят как числа, но на самом деле числами не являются. Если у одного спортсмена на спине номер 4, а другого – 8, то никаких других выводов, кроме того, что это разные участники соревнований, делать нельзя: так, нельзя сказать, что второй “в два раза лучше” или что у одного из них форма новее. С номерами нельзя обращаться как с числами, за исключением определения их равенства или неравенства: только эти отношения определены между элементами номинальной шкалы (см. приведенные выше аксиомы 1⁰ – 3⁰).

Поэтому при обработке экспериментальных данных, зафиксированных в номинальной шкале, непосредственно с самими данными можно выполнять только операцию проверки их совпадения или несовпадения. Изобразим эту операцию с помощью символа Кронекера: ?_ij = {1: х_i = х_j; 0: х_i ? х_j}, где х_i и х_j – записи разных измерений.

С результатами этой операции можно выполнять более сложные преобразования: считать количества совпадений (например, число наблюдений k-го класса равно ,n – общее число наблюдений), вычислять относительные частоты классов (например, частота k-го класса есть р_k = n_k/n), сравнивать эти частоты между собой (находя, например, моду – номер наиболее часто встречающегося класса ), выполнять различные статистические процедуры, строго следя, однако, чтобы в этих процедурах с исходными данными не выполнялось ничего, кроме операции проверки их на совпадение (например, можно использовать² -тест, другие тесты на относительных частотах, коэффициент согласия и т.д.).

В тех случаях, когда наблюдаемый (измеряемый) признак состояния имеет природу, не только позволяющую отождествить состояния с одним из классов эквивалентности, но и дающую возможность в каком-то отношении сравнивать разные классы, для измерений можно выбрать более сильную шкалу, чем номинальная. Если же не воспользоваться этим, то мы откажемся от части полезной информации. Однако усиление измерительной шкалы зависит от того, какие именно отношения между классами существуют в действительности. Это и явилось причиной появления измерительных шкал разной силы.

ПОРЯДКОВЫЕ ШКАЛЫ

Следующей по силе за номинальной шкалой является порядковая шкала (используется также название ранговая шкала). Этот класс шкал появляется, если кроме аксиом тождества 1⁰ – 3⁰ классы удовлетворяют следующим аксиомам упорядоченности:

4⁰. Если А  В, то либо A > B, либо В > А.

5⁰. Если А > В и В > С, то А > С.

Обозначив такие классы символами и установив между этими символами те же отношения порядка, мы получим шкалу совершенного порядка. Примерами применения такой шкалы яв­ляются нумерация очередности, воинские звания, призовые места в конкурсе.