§ 6.3. Расплывчатое описание ситуаций

Обратим внимание на то, что все измерительные шкалы, рассмотренные в § 6.2, имеют одно общее свойство: они основаны на справедливости отношения эквивалентности (см. табл. 6.1) . Это отношение имеет силу как отдельно на множестве состояний наблюдаемого объекта и множестве наблюдений, зафиксированных в любой из шкал (два состояния или два измерения либо тождественны, либо различны), так и на их совокупности (состояния и соответствующие им измерения находятся во взаимно однозначном соответствии). Использование рассогласованной (т.е. более слабой, чем можно) шкалы приводит к образованию на множестве состояний новых классов эквивалентности, внутри которых состояния неразличимы в данной шкале (хотя их и можно различить в более сильной шкале). Однако и в этом случае отношение эквивалентности соблюдается.

ПОНЯТИЕ РАСПЛЫВЧАТОСТИ

В действительности встречаются (и гораздо чаще, чем кажется) случаи, когда тождество или различие двух состояний и/или наблюдений нельзя утверждать с полной уверенностью. Наиболее явно это видно на примере шкал, в которых классы обозначаются конструкциями естественного языка. “В комнату вошел высокий молодой человек” – класс, к которому принадлежит человек, назван (т.е. измерение состоялось), но какого он роста и сколько ему лет? “В руках он держал довольно тяжелый сверток” – какого веса была его ноша? Если разобраться, то почти каждое наше слово обозначает некоторое не вполне определенное множество. (“Почти” – какой процент? “Наше” – чье именно? “Не­ко­торое” – какое же? “Не вполне” – насколько? “Определенное” – кем и как? и т.д.) Это свойство естественного языка, природное и неотъемлемое, безусловно, полезное (иначе бы оно не закрепилось в процессе развития языка), но приводящее к затруднениям, когда сопровождающая его неопределенность мешает. Древние логики дискутировали вопрос о том, сколько песчинок должно быть собрано вместе, чтобы получилась куча песка; сегодня мы просто говорим, что слово “куча” – это лишь метка нечетко определенного множества. Спор о том, сколько песчинок в “куче”, эквивалентен спору о том, в каком возрасте человек становится “старым” или сколько волосинок должно у него выпасть, чтобы он был “лысым”.

Эта неопределенность смысла языковых конструкций является одной из основных трудностей автоматизации анализа и синтеза речи, ав­то­матического (и не только автоматического) перевода с одного языка на другой. Например, одному английскому предложению, состоящему из пяти слов, можно дать пять разных (!) смысловых интерпретаций [7]:

TIME FLIES LIKE AN ARROW

ВРЕМЯ ЛЕТИТ СТРЕЛОЙ

ВРЕМЯ ЛЕТИТ В НАПРАВЛЕНИИ СТРЕЛЫ

МУХАМ ВРЕМЕНИ НРАВИТСЯ СТРЕЛА^*

ИЗМЕРЯЙ СКОРОСТЬ МУХ ТАК ЖЕ, КАК СКОРОСТЬ СТРЕЛЫ^**

ИЗМЕРЯЙ СКОРОСТЬ МУХ, ПОХОЖИХ НА СТРЕЛУ

Неизвестно, действительный ли это факт или научно-фольклорная история, основанная на потенциальной возможности, но в литературе по автоматизации перевода приводится рассказ о кольцевой работе программ, переводящих с одного языка на другой: фраза “плоть слаба, а дух силен” после нескольких переводов превратилась в “мясо тухлое, но водка крепкая”.

Все сказанное выше мотивирует введение понятия лингвистической переменной как переменной, значение которой расплывчато по своей природе, как метки размытого, расплывчатого множества^* . Хотя теория размытых множеств, построенная Л. Задэ, прекрасно иллюстрируется языковыми примерами и имеет интересные приложения в области искусственного интеллекта, размытость оказывается свойством не только естественного языка. Например, в математике с успехом применяются понятия “значительно больше” (символ ») и “приблизительно равно” (символ  или ), являющиеся типично расплывчатыми.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАСПЛЫВЧАТЫХ МНОЖЕСТВ

Изложим основные понятия теории расплывчатых множеств [1]. Расплывчатое множество А состоит из неопределенного числа элементов х: признаки, по которым элементы включаются в расплывчатое множество, не позволяют однозначно отделить все элементы, входящие в него, от элементов, ему не принадлежащих; по крайней мере некоторые элементы можно считать как относящимися к множеству, так и не входящими в него.

Важным является понятие функции принадлежности ?_А(х). Счи­та­ет­ся, что для каждого элемента х можно задать число ?_А(х), 0  ?_А(х)  1, выражающее степень принадлежности этого элемента к расплывчатому множеству А. Если ?_А(х) = 0, то элемент х определенно не принадлежит мно­жеству А, если ?_А(х) = 1 – определенно входит в него. Величина ?_А(х), рассматриваемая как функция аргумента х, и называется функцией принадлежности. Если ?_А(х) принимает значения только либо 0, либо 1, то множество А является нерасплывчатым (на­пример, множеству А чисел, не превосходящих 5, соответствует функция ?_А(х) = {1: х  5; 0: х > 5}). Характерным признаком расплывчатости множества является наличие хотя бы одного элемента с функцией при­надлежности, отличной от 0 и 1 (например, множество R⁺ положительных чисел становится размытым, если положить ?_R+(0) = 1/2, так как есть основания считать нуль “отчасти положительным, а в чем-то отрицательным” числом) .

Итак, расплывчатое множество А в Х определяется как сово­куп­ность упорядоченных пар вида

А = {x, ?_А(х)}, x  Х.

Пустое расплывчатое множество  определяется как такое, для которого _(х):  0.

Иногда удобно использовать понятие носителя S(А) расплывчатого множества А, который определяется как такое множество, для которого

[х  S(А)  Х]  [?_А(х) > 0].

Расплывчатое множество А называется номинальным тогда и только тогда, когда sup_x?_А(х) = 1, в противном случае – суб­нор­маль­ным. Непустое субнормальное множество можно нормализовать, разделив ?_А(х) на sup_x?_А(х). В связи с возможностью субнормальности следует дополнить определение нерасплывчатого мно­жества случаем, когда ?_А(х) = const < 1 для всех х  S(А).

Равенство двух расплывчатых множеств А и В определяется условием

(А = В)  (?_А(х) = ?_?(х))  х  Х.

Включение расплывчатого множества А в множество В определяется следующим образом:

(А  B)  [?_А(х)  ?_?(х)]  х  Х.

Например, множество очень больших чисел является подмножеством больших чисел.

SUPPLEMENT, COMPLEMENT дополнение

LABEL метка

SET множество

MEMBERSHIP принадлежность (множеству)

FUZZINESS расплывчатость

Расплывчатость – это такое свойство явлений, при котором не выполняется отношение эквивалентности: явление одновременно может принадлежать данному классу и не принадлежать ему. Неопределенность такого типа описывается с помощью функции принадлежности; значение этой функции выражает степень уверенности, с которой мы относим данный объект к указанному классу. Сам класс в итоге становится не определяемым однозначно и называется расплывчатым множеством.

Расплывчатое множество А' называется дополнением к расплывчатому множеству А тогда и только тогда, когда ?_А’(х) = 1 – ?_А(х). Например, множества “высокие люди” и “невысокие люди” могут быть как дополнительными друг к другу, если их функции принадлежности в сумме тождественно равны единице, так и не являться дополнительными при другом задании этих функций.

Пересечение размытых множеств А и В оп­ре­деляется соотношением

А  В  ?_АB(х) = min[?_А(х), ?_?(х)], х  Х.

Объединением размытых множеств А и В называется расплывчатое множество А  В, удовлетворяющее условию

А  В  ?_АB(х) = max [?_А(х), ?_?(х)], х  Х.

В некоторых приложениях удобно определить такие составные множества, которые соответствуют конкретным арифметическим операциям над функциями принадлежности составляющих множеств.

Так, алгебраическое произведение расплывчатых множеств А и В обозначается через АВ и определяется равенством

?_АB(х) = ?_А(х)·?_B(х), х  Х;

алгебраическая сумма А  В соответствует равенству

?_АB(х) = ?_А(х) + ?_B(х) –??_А(х)·?_B(х), x  Х.

Говорят, что имеет место расплывчатое отношение R между элементами х и у множеств Х и Y, если множество пар (х, у), удовлетворяющих этому отношению хRу, образует расплывчатое множество в Х  Y, т.е. можно задать ?_R(х, у) – функцию принадлежности (х, у) к R.

Например, пусть отношение R есть х » у:

?_R(х,у) = { 0: х  у; [1 + (х – у)^-2 ]^-1: х > у } .

Пусть С – расплывчатое множество в пространстве Х  Y с функцией принадлежности ?_C(х, y). Множество С называется разложимым по Х и Y в том и только в том случае, если С допускает представление С = А  В, или, что то же самое,

?_C(х, y) = min [?_А(х), ?_B(у)].

Мы привели основные (не все) понятия, с помощью которых строится теория размытых множеств и решаются соответствующие задачи (некоторые из таких задач будут рассмотрены в гл. 7). Цель данного параграфа – дать представление о том, как можно построить математическую модель наблюдений, не удовлетворяющих аксиомам тождества. Иными словами, каждая измерительная шкала может быть “размыта”. Для размытия шкал наименований и порядка достаточно тех понятий, которые приведены выше; количественные шкалы требуют некоторых дополнительных определений.

Самым “узким” местом теории (и практики) размытых множеств является задание функций принадлежности. Существует несколько подходов к определению функции ?_А(х):

1) эвристический подход, когда субъект сам определяет, как он понимает степень принадлежности (например, числа n к множеству “не­сколь­ко”); функции, задаваемые разными людьми для одного множества, могут различаться, что отражает разницу в понимании расплывчатого термина;

2) статистически подход, при котором ?_А(х) определяется усреднением функций, задаваемых разными экспертами;

3) частичное задание ?_А(х) поясняющими примерами (например, для нескольких значений х) и последующее доопределение всей функции подходящим методом;

4) интервальное определение типа задания пессимистической и оптимистической границ для функции ?_А(х);

5) кратная расплывчатость, т.е. задание ?_А(х) как размытого множества с помощью функции принадлежности второго порядка ?_А2(?_А(х)).

Подведем итог Расплывчатость является специфическим видом неопределенности. Ее главная особенность состоит в том, что в результате наблюдения конкретизируется лишь сам наблюдаемый объект, а неопределенность его принадлежности к расплывчатому множеству, известная заранее, сохраняется. Это описывается с помощью функции принадлежности. Другие особенности расплывчатых ситуаций моделируются аксиомами теории расплывчатых множеств.

Summary Fuzziness is a specific type of uncertainty. Its main feature is that observation concretely defines merely the object itself, but uncertainty of its membership in a fuzzy set remains the same as before. This is represented by introducing the concept of the membership function. The other characteristics of fuzzy situations are modeled by the axioms of fuzzy set theory.