Vertex вершина (графа)

ARC дуга (графа)

LINEAR линейный

STATE состояние

FUNCTION функция

Объединив модели “черного ящика”, состава и структуры системы, мы получим самую полную (для наших целей), самую подробную (для нашего уровня знаний) модель системы – ее структурную схему.

Модели, отображающие процессы, происходящие в системе с течением времени. называются динамическими моделями. Динамические модели включают те же типы, что и статические, но с явным выделением, подчеркиванием роли времени.

Всякая реальная динамическая система подчинена принципу причинности: отклик не может появиться раньше стимула. Условия, при которых модель отражает этот принцип, называются условиями физической реализуемости модели; нахождение этих условий часто является нетривиальной задачей.

Если Х, Z и Y – линейные пространства, а  и  – линейные операторы, то и система называется линейной*. Если к линейной системе дополнительно предъявить требования, состоящие в том, чтобы пространства имели топологическую структуру**, а  и  были бы непрерывны в этой топологии, то мы приходим к гладким системам. Этот класс систем имеет большое значение, так как оказалось [2], что для гладких систем переходное отображение  является общим решением дифференциального уравнения

, (4)

а для дискретных систем – общим решением уравнения

, (5)

где х(·) – траектория для моментов времени tt_k.

Интенсивно исследовались стационарные системы, т.е. такие системы, свойства которых со временем не изменяются. Стационарность означает независимость от t функции  и инвариантность функции  к сдвигу во времени:

,

гдеx(·) есть х(·), сдвинутое на время .

——————————

* Основным свойством линейных систем является выполнение принципа суперпозиции, т. е. условия [х(t)=х₁(t) + +х₂(t)]  [у(t)=у₁(t)+у₂(t)], где х₁(t) и х₂(t) – некоторые входные воздействия, а у₁(t) и у₂(t) – выходные отклики на каждый из них в отдельности.

**  Не вдаваясь в математические подробности, отметим, что задание топологической структуры множества позволяет строго определить основные понятия анализа на этом множестве, например сходимость последовательностей на нем, а также вводить метрику (меру близости между элементами пространства).

Конкретизация моделей динамических систем на этом, конечно, не заканчивается; приведенные модели скорее всего являются просто примерами, которые можно рассматривать отдельно. Но на одном свойстве реальных динамических систем следует остановиться. Речь идет о подчиненности реальных систем принципу причинности. Согласно этому принципу, отклик системы на некоторое воздействие не может начаться раньше самого воздействия. Это условие, очевидное для реальных систем, совсем не автоматически выполняется в рамках их математических моделей. При этом модель, в которой нарушается принцип причинности, не обязательно является “плохой”, бесполезной. Примером служит модель фильтра с конечной полосой пропускания: отклик такой системы на короткий импульс имеет вид sin₀t/(₀t), т.е. начинается в минус бесконечности. Несмотря на явное нарушение принципа причинности, такую модель широко используют в радиотехнике. Однако, как только возникает вопрос о практической реализации такого фильтра, становится ясно, что она невозможна в точном смысле, хотя допустимы различные приближения. В связи с этим одна из проблем теории динамических систем состоит в выяснении условий физической реализуемости теоретических моделей, т.е. конкретных ограничений, которые приходится накладывать на модель при соблюдении принципа причинности.

Подведем итог Отображение процессов, происходящих в системе и в окружающей ее среде, осуществляется с помощью динамических моделей. Все, что говорилось о моделях вообще (см. гл. 2), конечно, относится и к динамическим моделям. В частности, динамические модели систем делятся на те же типы, что и статические модели (см. § 3.3-3.5). Интересным и важным примером различия между моделью и оригиналом служит то, что динамическая модель может не удовлетворять принципу причинности, но тем не менее обладать полезными свойствами.

Summary The processes taking place inside a system and in its environs are represented by dynamic models. Everything that has been said about models (cf. Chapter 2) is, of course, valid for dynamic models as well. In particular, dynamic models are of the same three types as the static ones (cf. Sections 3.3 – 3.5). The fact that a dynamic model cannot satisfy the causality principle but at the same time can possess some useful properties is an interesting and important example of the difference between a model and its origin.