§ 5.3. Случайный процесс – математическая модель сигналов

Казалось бы, после того как мы установили, что сигналами служат состо­яния физических объектов, никаких проблем с их математическим опи­санием не должно быть: ведь физика имеет богатый опыт построения ма­тематических моделей физических процессов и объектов. Например, мож­но зафиксировать звуковые колебания, соответствующие конкретно­му сигналу, в виде зависимости давления x от времени t и изобразить этот сигнал функцией x(t); такой же функцией можно изобразить и стати­ческий сигнал, например запись этого звука на магнитной ленте или на грампластинке, поставив параметру t в соответствие протяженность (длину) записи.

НЕПРЕДСКАЗУЕМОСТЬ – ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО СИГНАЛОВ

Однако имеется существенное различие между просто состоянием x(t) объекта и сигналом x(t). Оно состоит в том, что единственная функция x(t) не исчерпывает всех важных свойств сигналов. Ведь понятие функции предполагает, что нам известно значение x (либо правило его вычисления) для каждого t. Если же это известно получателю сигнала, то отпадает необходимость в передаче: функция x(t) может быть и без этого воспроизведена на приемном конце.

Следовательно, единственная однозначная функция вещественного ар­гумента не может служить моделью сигнала. Такая функция приобрета­ет сигнальные свойства только тогда, когда она является одной из возмож­ных функций. Другими словами, моделью сигнала может быть набор (или, как еще говорят, ансамбль) функций па­раметра t, причем до передачи неизвестно, ка­кая из них будет отправлена; это становится из­вест­ным получателю только после передачи. Каж­дая такая конкретная функция называется ре­ализацией. Если теперь еще ввести вероятност­ную меру на множество реализаций, то мы по­лучим математическую модель, называемую слу­чайным процессом*.

RANDOM

случайный

NOISE

шум

OSCILLATION

колебание

ENVELOPE

огибающая

Случайный процесс хорошо отображает главное свойство реальных сигналов – их неизвестность до момента приема. Однако некоторые модели обладают и “лишними”, не присущими реальным сигналам свойствами. Напри- мер, описание реализаций случайного процесса аналитическими функциями предполагает бесконечную точность, чего в реальности не бывает.

——————————

* Изложение будет вестись в предположении, что читателю знакомы элементы теории вероятностей.

Прежде чем перейти к некоторым подробностям этой модели, отметим, что у нее все-таки имеются качества, которых нет у реальных сигналов (еще раз обратим внимание на нетождественность модели и оригинала). Дело в том, что реальные системы всегда оперируют только с конечным объемом данных, а понятие аналитической функции предполагает ее точное значение для каждого значения аргумента, т.е. такое, которое может быть представлено только с помощью бесконечного ряда цифр. Иначе говоря, в “более правильной” модели сигнала любая реализация не должна определяться с бесконечной точностью. Но пока не существует подходящего математического аппарата, столь же удобного, как математический анализ, и мы вынуждены пользоваться традиционным понятием функции. Это сопряжено с тем, что в выводах теории могут появиться (и на самом деле появляются [6]) парадоксы, природа которых связана не с реальными сигналами, а с их моделью. Во всяком случае, там, где конечная точность реальных сигналов существенна для самой постановки задачи, ее вводят в модель либо как добавочный “шум”, либо как “квантование” непрерывного сигнала (наподобие шкалы с делениями у измерительных приборов).

Вернемся к рассмотрению случайных процессов как моделей сигна­лов. Имеется несколько различных подходов к тому, как вводить вероят­ностную меру на множестве реализаций. Для инженерных приложений ока­зывается удобным определение случайного процесса как такой функ­ции времени x(t), значение которой в каждый данный момент является случайной величиной. Случайная величина полностью характеризуется распределением вероятностей, например плотностью P₁(x₁ | t₁); однако, чтобы охарактеризовать случайный процесс, нужно описать, связаны ли (и если да, то как) значения реализации, разделенные некоторыми интервалами времени. Так как связь только двух таких значений, описываемая распределением второго порядка P₂(x₁, x₂ | t₁, t₂), может неполно характеризовать процесс в целом, вводят распределения третьего, четвертого, ..., n-го порядков: Р_n (x₁, ..., x_n | t₁, ..., t_n). В конкретных задачах обычно ясно, до какого порядка следует доходить в описании процесса.

КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Необходимость моделирования самых разнообразных сигналов приводит к построению частных моделей случайных процессов, т.е. наложению дополнительных ограничений на параметры распределений и на сами распределения. Перечислим наиболее важные классы случайных процессов.

Непрерывные и дискретные по времени процессы. Случайный процесс с непрерывным временем характеризуется тем, что его реализации определяются для всех моментов из некоторого (конечного или бесконечного) интервала T параметра t. Дискретный по времени процесс^* задается на дискретном ряде точек временной оси (обычно равноотстоящих).

Непрерывные и дискретные по информативному параметру процессы. Эти процессы различаются в зависимости от того, из какого (непрерывного или дискретного) множества принимает значение реализация x случайной величины X.

Стационарные и нестационарные процессы. Так называются процессы в зависимости от постоянства или изменчивости их статистических характеристик. Случайный процесс называется стационарным в узком смысле, если для любого n конечномерные распределения вероятностей не изменяются со временем, т.е. при любом ? выполняется условие

P_n(x₁, ..., x_n | t₁ + ? , t₂ + ?, ..., t_n + ?) = P_n(x₁, ..., x_n | t₁, t₂, ..., t_n) .

Если же условие независимости от времени выполняется только для первых двух моментов (среднего и функции автокорреляции), то процесс называется стационарным в широком смысле (или в смысле Хинчина).

Эргодические и неэргодические процессы. На практике при описании случайных величин вместо рассмотрения их распределений часто ограничиваются только их числовыми характеристиками, обычно моментами. В тех случаях, когда распределение неизвестно, моменты (и другие числовые характеристики) можно оценить статистически.

Перенос такой практики на произвольные случайные процессы требует не только учета зависимости отстоящих друг от друга (“разнесенных”) во времени значений, но и наложения дополнительных требований. Требование совпадения величин, получающихся при усреднении по ансамблю (т.е. при фиксированном времени) и при усреднении по времени (точнее, по одной реализации), и называется условием эргодичности. Это требование можно толковать и как совпадение результатов усреднения по любой реализации^*. Как и для стационарности, можно различать эргодичность в узком и широком смысле.

Можно продолжать классификацию случайных процессов и дальше, но мы будем делать это при рассмотрении конкретных вопросов.

Подведем итог Основной результат данного параграфа состоит в том, что случайный процесс может служить математической моделью сигнала. Необходимо только следить за тем, чтобы конкретные особенности изучаемых сигналов были корректно отображены в свойствах случайного процесса.

Summary The gist of this section is the conclusion that a random process can be used as a mathematical model of a signal. But it is necessary to pay special attention to the correctness of mapping characteristics of the studied signals onto properties of the random process.