Сущность математики и ее функции

50 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

Чтобы лучше понять, как возможно «обретение знания», вспомним о том, что греки различали пять видов познания . Первые четыре происходят из непосредственного жизненного опыта, а именно: σοφία — практическое мастерство (от σοφός — «знаток»); γνώμη — распознавание глазом; σύνεσις — распознавание ухом; ιστορία — узнавание с помощью очевидцев. Посредством этих четырех способов знание и приобретается — либо самостоятельно, либо в процессе наглядного обучения при участии мастера или преподавателя. Однако имеется еще и пятый вид, μανθάνειν — он применим лишь к чему-то такому, что не зависит от индивидуального жизненного опыта, существуя отдельно от него. Тот факт, что нечто в этом роде поистине существует и при этом его возможно познать, является для нас загадкой, так как совершенно неясно, какой из органов чувств должен быть для этого задействован. Платон первым описал и истолковал эту загадку, придя к выводу, что отсутствующий орган познания — это воспоминание о том, что «прежде душе было известно»:

А раз душа бессмертна, часто рождается и видела все и здесь, и в Аиде, то нет ничего такого, чего бы она не познала; поэтому ничего удивительного нет в том, что и насчет добродетели, и насчет всего прочего она способна вспомнить то, что прежде ей было известно. И раз все в природе друг другу родственно, а душа все познала, ничто не мешает тому, кто вспомнил что-нибудь одно, — люди называют это познанием — самому найти и все остальное, если только он будет мужествен и неутомим в поисках: ведь искать и познавать — это как раз и значит припоминать .

Применительно к математике это означает следующее: матема­ тические истины известны нам еще до того, как преподаватель нам

Ср. Becker. Mathematische Existenz. S. 677.

«Мы ничего не познаем, а то, что мы называем познанием, есть припоми­ нание» (Менон. 8le).

4 Там же. 81c-d.

Как достичь математического знания? 51

о них расскажет. Наша душа познакомилась с ними во время своего пребывания в идеальном мире, и теперь это знание дремлет в ней, обитающей в земном теле. Например, такое математическое понятие, как «тождественность», мы не узнали из практического опыта: оно стало известно нам раньше, еще при нашем рождении. Мы не знаем, откуда и как, но оно пребывает в нас:

Мы признаем, что существует нечто, называемое равным, — я говорю не о том, что бревно бывает равно бревну, камень камню и тому подобное, но о чем-то ином, отличном от всего этого, — о равенстве самом по себе... Ну, стало быть, мы непременно должны знать равное само по себе еще до того, как впервые увидим равные предметы... Но отсюда следует, что, прежде чем начать видеть, слышать и вообще чувствовать, мы должны были каким-то образом узнать о равном самом по себе — что это такое, раз нам предстояло соотносить с ним равенства, постигаемые чувствами: ведь мы понимаем, что все они желают быть такими же, как оно, но уступают ему5.

Поэтому задача преподавателя состоит лишь в том, чтобы ученик ясно осознал уже имеющиеся у него знания: «Теперь, когда это сказано, мне так кажется»6. То, что дело действительно обстоит таким образом, Платон пытается показать в диалоге «Менон» (8285): Сократ беседует с мальчиком, который, как всем было из­ вестно, никогда не посещал школу, и ведет его к пониманию того, что удвоение площади квадрата может быть достигнуто с помощью построения диагонали. После проведенного урока Сократ обра­ щается к своим собеседникам:

Сократ: Если [это знание] всегда у [мальчика] было, значит, он всегда был знающим, а если он его когда-то приобрел, то уж никак не в нынешней жизни. Не приобщил же его ктонибудь к геометрии? Ведь тогда его обучили бы всей

52 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

геометрии, да и прочим наукам. Но разве его кто-нибудь обучал всему? Тебе это следует знать хотя бы потому, что он родился и воспитывался у тебя в доме. — Менон: Да я отлично знаю, что никто его ничему не учил .

Таким образом, в процессе обучения мы вспоминаем то, что наша душа созерцала в мире чистых идей задолго до нашего рождения. Учение, по Платону, — это припоминание того, что мы однажды знали, но забыли при рождении8. Когда мы знакомимся с соответст­ вующими чувственными предметами, забытое знание вновь

7Менон. 85d-e.

Федон. 75е. Было бы интересно исследовать, как современные математики относятся к вопросу о предсознательном знании. Подойдет ли пример с сократовским рабом, если мы попробуем рассмотреть процесс преподавания и обучения в области математики в наше время? Вот что пишет по этому поводу Л. Б. Султанова: «Согласно теории неявного знания, такие идеи невозможно чисто механически "пересадить" из одной головы в другую. Эта операция является просто механической вербали­ зацией и ничего общего с подлинным пониманием не имеет. В свете теории неявного знания очевидно, что подлинное наше понимание невозможно без наведения связей с нашим личностным знанием, быть может, через какие-то ключевые термины, имеющие значение в рамках нашего личностного знания. Т. е. все чужие идеи или чужое знание должны укорениться в почве нашего личностного знания, стать частью нашего познавательного опыта. Относительно математики это значит, что новое математическое знание должно стать частью нашего личного опыта математического мышления. Однако, поскольку математика отличается строгой общезначимостью символов и терминов, а также предельным дедуктивизмом, по крайней мере в плане теоретического обоснования, понимание в области математики предполагает сведение личностного фактора к минимуму и не допускает интерпретативных отклонений от общезначимой теории. Следствием недопустимости личностной интерпретативности математической теории является необходимость серьезных личностных затрат на практическое освоение теории в целях решения задач. Наверное, каждый человек, имеющий хотя бы школьный опыт практического освоения математики, согласится, что математика - особый предмет, требующий углубленного изучения и дающийся не всем» (Султанова. Роль интуиции и неявного знания в формировании стиля мате­ матического мышления. С. 73).

Как достичь математического знания? 53

актуализируется (άνάμνησις). Другими словами, Платон открывает

априорный характер знания .

Безусловно, эту формулировку можно назвать несколько смутной. Высказывание «априорный характер знания» вряд ли про­ ясняет больше, чем наглядное выражение: «то, что душа видела раньше». Оба они просто пробуют объяснить тайну этого процесса. Гегель, наверное, был прав в том, что не воспринимал картину, нарисованную Платоном, буквально, но его толкование тоже является лишь попыткой понять, что же происходит на самом деле: «Если Платон говорит о науке как о вспоминании, то он опреде­ ленно сознает, что он говорит это лишь в притчах и уподоблениях;

9Математические положения, по Канту, являются «априорными синтети­ ческими суждениями». Синтетическое суждение происходит из опыта, априорное суждение — нет. Обе формы суждения одинаково необходимы в математике. «На первый взгляд может показаться, что положение 7 + 5 = 12 чисто аналитическое [суждение], вытекающее по закону противоречия из понятия суммы семи и пяти. Однако, присматриваясь ближе, мы находим, что понятие суммы 7 и 5 содержит в себе только соединение этих двух чисел в одно и от этого вовсе не мыслится, каково то число, которое охватывает оба слагаемых. Понятие двенадцати отнюдь еще не мыслится от того, что я мыслю соединение семи и пяти; и сколько бы я ни расчленял свое понятие такой возможной суммы, я не найду в нем числа 12. Для этого необходимо выйти за пределы этих понятий, прибегая к помощи созерцания, соответствующего одному из них, например своих пяти пальцев или (как это делает Зегнер в своей арифметике) пяти точек, и присоединять постепенно единицы числа 5, данного в созерцании, к понятию семи. В самом деле, я беру сначала число семь и затем, для получения понятия пяти, прибегая к помощи созерцания пальцев своей руки, присоединяю постепенно к числу 7 с помощью этого образа единицы, ранее взятые для составления числа 5, и таким образом вижу, как возникает число 12. То, что 5 должно было быть присоединено к 7, я, правда, мыслил в понятии суммы = 7 + 5, но не мыслил того, что эта сумма равна двенадцати. Следовательно, приведенное арифметическое суждение всегда синтетическое. Это становится еще очевиднее, если взять несколько большие числа, так как в этом случае ясно, что, сколько бы мы ни манипулировали своими понятиями, мы никогда не могли бы найти сумму посредством одного лишь расчленения понятий, без помощи созерцаний» (Кант. Критика чистого разума. Введение. V).

54 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

он не спрашивает, как это обыкновенно и серьезно делают теологи, существовала ли душа до своего рождения, причем теологи даже задаются вопросом, где именно она пребывала в то время. Мы не имеем никакого права говорить о Платоне, что у него была такая вера, и у него нет об* этом и речи в том смысле, в каком об этом идет речь у теологов. Так же мало у него идет речь о падении, о переходе из совершенного состояния в несовершенное, так что человек должен рассматривать эту жизнь как пребывание в темнице и т. п. Платон высказывает как истину лишь то положение, что сознание в самом человеке есть в разуме божественная сущность и жизнь, что человек созерцает и познает эту божественную сущность в чистой мысли и что само это познание и есть небесная обитель и движение»10.

Но как бы то ни было, надо отметить, что концепция знания как воспоминания (или как раскрытия чего-то априорного, или как процесса чистого мышления) ни в коем случае не означает, что получить его можно легко, «автоматически». По Платону, душа бессмертна, много раз рождается, а значит, видела все «и здесь, и в

Гегель. Лекции по истории философии. С. 157. Ср. также: «Он [Платон], таким образом, представляет себе это в-себе-бытие духа в форме предсуществования во времени, представляет дело так, как будто истина уже существовала для нас в былое время. Но мы должны вместе с тем заметить, что он это дает не как философское учение, а в форме сказания, которое он якобы получил от жрецов и жриц, знающих толк в божественном. Подобного же рода мифы сообщают, говорит он, также и Пиндар, и другие божественные мужи. Согласно этим сказаниям душа человека бессмертна; это она лишь перестает теперь существовать, что мы называем смертью, снова возвращается к существованию, но отнюдь не погибает. "Если же душа бессмертна и часто снова появляется" (переселение душ), "и есть то, что находится как здесь, так и в Гадесе" (в бессознательном), "и все видело, то нет больше места учению: душа лишь вспоминает то, что она некогда уже созерцала". Этот намек на египетские воззрения, который ведь, в сущности, отсылает к некоторому чувст­ венному представлению, подхватывается историками философии, и они говорят: Платон утверждал, что и т. д. Но Платон ничего такого не утверждал; это — вовсе не философское утверждение, и, сверх того, это — также и не его утверждение» (Там же. С. 152-153).

Как достичь математического знания? 55

Аиде» и способна вспомнить то, что прежде ей было известно. Но это «припоминание» происходит только в случае, если человек «мужествен и неутомим в поисках: ведь искать и познавать — это как раз и значит припоминать»12. Душа не получает знание даром, ей приходится активно использовать свой рассудок, чтобы сводить различные чувственные восприятия к идее13 — припоминание «того, что там», т. е. в Аиде, происходит «на основании того, что есть здесь» . В этом смысле душа не пассивна: она неизбежно играет свою роль в процессе приобретения знания, как помо­ гающую, так и препятствующую. Некоторые души

«лишь короткое время созерцали... то, что там; другие, упав сюда, обратились под чужим воздействием к неправде и на свое несчастье забыли все священное, виденное ими раньше. Мало остается таких душ, у которых достаточно сильна память. Они всякий раз, как увидят что-нибудь, подобное тому, что было там, бывают поражены и уже не владеют

11Менон. 81с.

12Менон. 81c-d. «Мужество в поисках» — это важное, хотя довольно редко упоминаемое качество мыслителя. Здесь вспоминается знаменитое вы­ сказывание Кеплера: «Отсутствие мужества — это смерть философии!» (Kepler. Weltharmonik. S. 265).

«Ведь человек должен постигать [истину] в соответствии с идеей, исходящей от многих чувственных восприятий, но сводимой рассудком воедино» (Федр. 249Ь). См. также размышления А. Родина:' «Когда мы переводим у Платона "αΐσθησις" как "чувственное восприятие", то здесь нужно сделать акцент не на "чувственном", а на "восприятии": мнение определяется восприятием чего-то "иного", аффектом; "восприятие" это не активное, а пассивное подчинение внешнему аффикатору. Наоборот, логос связан с некоторой собственной активностью, собственной деятельностью, которую Платон называет мышлением (νόησις)» (Родин. Математика Ев­ клида в свете философии Платона и Аристотеля. С. 16).

Федр. 250а.

56 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

собой, а что это за состояние, они не знают, потому что недостаточно в нем разбираются»15.

Если же речь идет о сложнейшем математическом познании, то тем более без серьезного мыслительного труда не обойтись. Здесь необходим долгий путь возрастания в мудрости: «Зрение рассудка становится острым тогда, когда глаза начинают уже терять свою зоркость»1 . Сам Платон, как мы видели, не всегда с легкостью осваивал теории в этой сфере. Поэтому, когда платоновский Сократ говорит:

О сын Гиппоника Гермоген! Стара пословица: прекрасное дело трудно, когда ему нужно учиться. Так вот, оказывается, и об именах немалая есть наука. Конечно, если бы я успел прослушать у Продика пятидесятидрахмовый урок, после чего, по его словам, можно и самому стать учителем, ничто не помешало бы тебе тотчас досконально узнать всю истину о правильности имен. Да вот такого-то урока я не слыхал, а прослушал всего лишь драхмовый. Поэтому я и не знаю, что будет истинным в делах такого рода17, —

эти слова являются ироническим примечанием к широко распространенному мнению, будто достаточно найти хорошего (а лучше — высокооплачиваемого!) преподавателя, и знания будут легко получены и усвоены.

Федр. 250а. Есть, конечно, и другие требования, например «философский характер», описываемый Платоном в «Государстве» (486). Можно вспомнить и слова Диотимы, указывающие на необходимость любви к исследуемому предмету: «Кто, наставляемый на пути любви, будет в правильном порядке созерцать прекрасное, тот, достигнув конца этого пути, вдруг увидит нечто удивительно прекрасное по природе, то самое, Сократ, ради чего и были предприняты все предшествующие труды, — нечто... вечное» (Пир. 210е). Хорошим примером людей, имеющих подобные черты характера, являются те математики в Академии, которые не только занимались своим предметом и учили других, но и интенсивно участвовали в философских лекциях и беседах с Платоном.

16Пир. 219а.

17Кратил. З84а-Ь.

Как достичь математического знания? 57

Что касается именно математического познания, можно вспом­ нить историю, рассказанную неоплатоником Проклом: царь Египта Птолемей I однажды спросил Евклида, «есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели "Начала"; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии»18. Можно вспомнить о «короле мате­ матиков» Гауссе — многие думали, что решения приходят к нему легко и практически без усилий, но однажды он написал: «Определение радикала долго мучило меня. Его отсутствие портило мне все остальное, что я находил; за последние 4 года редко бывала неделя, когда я не делал ту или иную напрасную попытку развязать этот узел, — и особенно деятельно в последнее время. Но все раз­ мышления, весь поиск оказались совершенно напрасными, каждый раз я в печали должен был отложить перо. Наконец, несколько дней назад, я преуспел...»19

С другой стороны, без хорошего учителя, играющего роль «повитухи» в сократовском смысле, также вряд ли можно полу­ чить настоящее знание. «Если бы мальчик, — пишет А. В. Родин, — с которым беседует Сократ, оказался вундеркиндом и без лишних

слов сразу "по наитию" правильно удвоил квадрат, это тоже не было

21

бы знанием» . «Задавая свои вопросы, Сократ не просто создает условие для того, чтобы душа собеседника "проснулась" и "вспомнила", что она уже знает, но знание само предполагает беседу, в которой собеседники находятся друг к другу в отношении свободного теоретического касания: то же самое умение удвоить

квадрат... которым прекрасно владели и вавилонские математики-

22

практики... вне такой беседы имеет статус мнения, а не знания» .

Прокл Диадох. Комментарий к первой книге «Начал» Евклида. Введение. Ч. II. Гл. 8.

19Письмо Гаусса к Олберсу от 3 сентября 1805 г. (Gauss. Werke Х/1. S. 25).

20Теэтет. 150b.

21Родин. Математика Евклида в свете философии Платона и Аристотеля. С.21.

22Там же. При этом Родин подчеркивает, что Платон, в противоположность софистам, настаивал на свободной дискуссии (что ограничивает сравнение

5 8 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

Плодотворное отношение между учителем и учеником можно описать следующим образом. Учитель необходим как человек, обладающий большими познаниями. Важна и его личность , но ученик должен не просто верить ему на слово (об этом мы будем говорить ниже), но удостовериться, что действительно понял объясняемое. В определенном смысле, критическое отношение ученика к учителю — единственный путь, на котором ученик и учитель могут стать «собеседниками», которые «находятся друг к другу в отношении свободного теоретического касания» . Поэтому задача учителя состоит в том, чтобы поощрять самостоятельное, критическое мышление ученика. Вот как поступает платоновский Сократ: во время беседы с Гермогеном тот слишком доверчиво и слишком быстро выражает согласие. Поэтому Сократ спрашивает с

с акушеркой). «Единственной речевой формой, в которой может высказы­ ваться знание, служит непринужденная беседа, тогда как завораживающая речь софиста способна только внушить то или иное мнение» (Там же. С. 20). «Когда последователи Поппера противопоставляют "гуманистический релятивизм" софистов "тоталитарному абсолютизму" Платона, то забывают, что софистический релятивизм связан с практикой убеждения, которую, как мы только что сказали, лишь весьма условно можно назвать либеральной, а платоновский "абсолютизм" — с его концепцией знания, достигаемого в свободной дискуссии» (Там же. С. 20).

23Так полагает, например, Паже: «Философия начинается тогда, когда студент поражен голосом преподавателя, его словами» (Pages. Frühstück bei

Sokrates. S. 162).

24«Свободное теоретическое касание» — удачная формулировка А. В. Родина, который ссылается на несколько отрывков из диалогов Платона, например на «Софиста» (229е-230с), где Платон противопоставляет обучение «убеждением» обучению «касанием». Последнее является «теоретическим» в том смысле, что оно направлено на получение не практического, а научного знания, и «свободным» в том смысле, что оно не принуждает ученика к чему-то, а позволяет ему, с помощью учителя, идти своим путем, на котором ум ученика постепенно прикасается к изучаемой области знания: «Именно в свете проблематики теоретического "касания" следует, как представляется, понимать известное учение Платона о "припоминании" знания, которым душа человека, согласно излагаемому Платоном мифу, уже обладает с самого его рождения» (Родин. Указ. соч. С. 19).

Как достичь математического знания? 59

наигранным удивлением: «Так в чем же тут дело? Ведь сам-то я здесь ничего не пойму, Гермоген. А ты понимаешь?» На этот вопрос Гермоген вынужден честно ответить: «Клянусь Зевсом, тоже нет» .

В то же время важно и критическое отношение учеников к самим себе. Дело в том, что человек легко переоценивает себя и делает ложные выводы. Об этом остроумно говорит платоновский Сократ: тот, кто всегда крутит головой, рано или поздно приходит к выводу, что мир вращается вокруг него:

Сократ: И правда, клянусь собакой, я, кажется, неплохой гадатель, а пришло мне в голову вот что: самые древние люди, присваивавшие имена, как и теперь большинство мудрецов, от непрерывного вращения головой в поисках объяснений вещам всегда испытывали головокружение, и поэтому им казалось, что вещи вращаются и несутся в какомто вихре. И разумеется, и те и другие считают, что причина такого мнения не внутренний их недуг, но таковы уж вещи от природы: в них нет ничего устойчивого и надежного, но все течет и несется, все в порыве и вечном становлении26.

И наконец, последнее требование: необходимо иметь достаточно свободного времени для учебы. Вспомним, что ни Платон, ни его помощники не были вынуждены зарабатывать на жизнь физическим трудом. Аристотель сказал по этому поводу, что математические знания были приобретены «прежде всего в тех местностях, где люди имели досуг»27.

25Кратил. 392е.

26Там же. 41 lb—с.

27Аристотель. Метафизика. 981Ь22. Правда, Нейгебауэр подвергает сом­ нению правильность этого тезиса Аристотеля. «Наши фактические знания о развитии научной мысли и социальном положении людей, ответственных за него, настолько фрагментарны, что мне кажется совершенно невоз­ можным проверить любую такую гипотезу, однако она может показаться правдоподобной современному человеку» (Neugebauer. The exact sciences in antiquity, 1951. P. 145).