248 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

тельство в "Началах" Евклида, а именно принимает определенное допущение (гипотезу — υπόθεσις) и показывает, какие выводы из этого допущения следуют»1 . Платон сам говорит об этом141, что доказывает, что он применял этот метод ясно и осознанно.

Несмотря на отдельные «недостатки», о которых будет сказано ниже, и на тот факт, что лишь Аристотель впервые сформулировал законы логики, не будет преувеличением сказать, что Платон был не только «математиком» (по словам Рассела), но и «логиком»: он не просто видел в математике инвентарь примеров и средство на «пути вверх», но и требовал использовать логические размышления не только в математике, но и в философии, насколько это было возможно.

3.11. Косвенный метод

Изучая математику, Платон познакомился с методами исследо­ вания, которые он мог использовать и в философии. В принципе можно выделить два основных метода: «мягкий» и «строгий».

Мягкий — метод «проб и ошибок», а также сходный с ним метод

142

аппроксимации. Они используются довольно часто в математике

Гайденко. Обоснование научного знания в философии Платона. С. 104.

«Пойми также, что вторым разделом умопостигаемого я называю то, чего наш разум достигает с помощью диалектической способности. Свои пред­ положения он не выдает за нечто изначальное, напротив, они для него только предположения, как таковые, то есть некие подступы и устремления к началу всего, которое уже не предположительно. Достигнув его и придерживаясь всего, с чем оно связано, он приходит затем к заключению, вовсе не пользуясь ничем чувственным, но лишь самими идеями в их взаимном отношении, и его выводы относятся только к ним» (Государство. 511Ь-с).

Один примечательный пример: в 1964 г. математик Звонимир Янко нашел в теории групп новую конечную простую группу с 175 560 элементами. Это была сенсация! А как он нашел эту группу? На основании бес­ численных попыток и с помощью опыта, который он получил на этом трудоемком пути! (См.: Held. Die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen. S. 17).

250 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

Но он не дерево и не камень, ибо одушевлен и способен к само­ стоятельному движению; стало быть, он — живое существо. Но если он — живое существо, а собака и бык — тоже живые существа, то и человек, будучи живым существом, есть и собака и бык"» Мы сомневаемся, что Платон действительно использовал настолько

145

«глупые» примеры , в которых читатель сразу находил логические ошибки (к тому же примеры Диогена не очень хорошо подходят к его описанию метода индукции по противоположности). Лучше рас­ смотрим примеры непосредственно из платоновских диалогов.

Косвенный метод используется Платоном при доказательстве несоизмеримости стороны и диагонали квадрата — об этом мы уже говорили. Другой прекрасный пример мы находим в «Протагоре»146. Нужно доказать следующее утверждение А\ мудрость и рассудительность — это одно и то же. Косвенное доказательство происходит таким образом: мы принимаем, что утверждение А ошибочно, а это значит, что мы предполагаем верность утверж­

дения поп-А:

non-Α: Мудрость и рассудительность различаются.

В дальнейшем у нас появляются предложения Б, В и Г, которые принимаются как действительные или обнаруживаются такими:

Б: у безрассудства имеется только одна противоположность, В: мудрость противоположна безрассудству, Г: рассудительность противоположна безрассудству.

Но, согласно утверждению non-Α, мудрость и рассудительность различаются, и, следовательно, из В и Г мы получим противоречие к Б. Поэтому утверждение non-Α неправильно, следовательно, утверждение А правильно — что и требовалось доказать

DL. III, 53-54.

В диалоге «Евтидем» (297-298) Платон приводит подобное размышление на тему «быть и не быть отцом», но в ироническом контексте.

Мы уже обсуждали этот текст в параграфе 3.10, но с точки зрения логики.

Протагор. 332е-ЗЗЗЬ: «А помнишь, ведь раньше-то мы согласились, что безрассудство противоположно мудрости? — Протагор подтвердил. — И

Косвенный метод 251

В «Пармениде» Платон излагает аргументы Зенона, которыми тот хотел опровергнуть доводы противников Парменида: предполо­ жение, что существует многое, приводит к недопустимым выводам, следовательно, оно неверно

Косвенное доказательство применяется Платоном довольно часто. Ван дер Варден пишет: «Рейдемейстер в своей "Mathematik und Logik bei Platon" (Leipzig, 1942) подчеркивает, что этот метод доказательства при помощи приведения к абсурду заимствован из математики. Сам Платон неоднократно приводит доказательство несоизмеримости стороны и диагонали квадрата как типичный пример математического рассуждения и при этом указывает, что как раз при помощи такого приведения к абсурду можно кое-что узнать о вещах самих по себе. Чувственно воспринимаемые вещи изменчивы и противоречивы, но истинное бытие, которое за ними скрывается, напротив, не может обладать двумя взаимно противо­ речивыми свойствами»

Тот факт, что Платон использует косвенный метод и в рас­ суждениях, не связанных с математикой, подтверждает диалог «Лисид», где несколько раз предполагаются гипотезы, которые оказываются затем противоречивыми и должны быть отвергнуты, так как «если бы мы вели рассмотрение правильно, мы не впали бы

что одно бывает противоположно только одному? — Да, я это утверждаю.

— От какого же из двух утверждений нам отказаться, Протагор? От того ли, что одному противоположно только одно, или от того, которое гласило, что мудрость есть нечто иное, чем рассудительность, между тем как и то и другое — части добродетели, хотя и разные; они не похожи друг на друга, и назначение их различно, все равно как частей лица. Так от чего же мы откажемся? Ведь оба этих утверждения, вместе взятые, звучат не слишком складно — они не ладят и не соглашаются между собою. Да и как им ладить, если необходимо, чтобы одному было противоположно только одно, и не больше, а вот оказывается, что одному только безрассудству противоположны и мудрость, и рассудительность. Так ли, Протагор, или нет? — Протагор согласился, хотя и очень неохотно. — Так не получится ли, что рассудительность и мудрость — одно и то же?»

Парменид. 121Q. СМ. об этом статью: Matson. Zeno Moves! P. 87-108. Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. С. 207.

252 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

в такое заблуждение»150. В диалоге «Горгий» мы находим этот метод в немного описательной форме:

А стало быть, повторяю еще раз, либо опровергни ее и докажи... либо, если ты оставишь это неопровергнутым, клянусь собакой, египетским богом, Калликл не согласится с Калликлом и всю жизнь будет петь не в лад с самим собою151.

Критическое примечание: Рейдемейстер сказал, что косвенный метод «заимствован из математики», поэтому можно подумать, будто с ним не связано никаких проблем или сомнений. Тем не менее мы хотим обратить внимание на то, что этот метод, если мы посмотрим более внимательно, вызывает определенное неудобство или даже сомнение. Возьмем, например, знаменитое доказательство Евклида о несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной, с которым мы уже встречались (см. параграф 2.7). Мы, с нашими

150Лисид. 213е.

151Горгий 482Ь. Ван дер Варден описывает применение косвенного метода доказательства в диалогах Платона следующими словами: «Истина не может быть в противоречии с самой собой. Таким образом, если, исходя из некоторой предварительной гипотезы, мы приходим к противоречию, то эта гипотеза должна быть отброшена. И так, диалектически переходя от одной гипотезы к другой, преодолевают заблуждения, в которые мы впадаем, а это позволяет, наконец, свободно взглянуть на истину. Таков метод, который постоянно применяется в подлинно диалектических диа­ логах, в которых не обучают, но ведут философские беседы. Собеседник ставит на обсуждение какое-нибудь мнение; Сократ опровергает его. После этого изменяется точка зрения, формулировка делается более точной, и снова Сократ показывает, что эта формулировка также приводит к противоречию и поэтому не может быть сохранена. Так дело идет и далее. Достигнуть положительного результата невозможно, но дискуссия все время подымается на более высокую ступень, все больше заблуждений отбрасывается и, наконец, иногда заходят так далеко, что истина может быть высказана в форме мифа. Но это теперь уже не диалектика: по собственным словам Платона, диалектика есть точный метод доказа­ тельства, и в диалогах Платона никогда не встречается иного метода доказательства, кроме опровержения принятых гипотез» (Ван дер Варден. Пробуждающаяся Наука. С. 206-207).