Приложение Г:

Некоторые упражнения для гуманитариев

Введение

В параграфе 3.1 мы говорили о том, почему Платон так высоко оценивает пользу математики для философского образования: только она «побуждает к созерцанию бытия». Только она? По словам Д. К. Бурлаки, «философская трансценденция отрывает разум от твердой почвы имманентного»43, и из них можно было бы сделать вывод, что сама философия открывает, расчищает и подготавливает «путь вверх». Но Платон, видимо, сомневался, что такая философская трансценденция способна выполнить эту задачу, обходясь исключительно своими собственными силами — в этом ей необходима помощь от другой сферы знания. Вспомним сравнение философии с иудеями в пустыне: мы сказали, что без божественного «огня» и «облака» последние не нашли бы путь!44

Но если математика должна и может «побуждать к созерцанию бытия», то это не происходит автоматически. На пути к этой цели находятся некоторые помехи и неправильные представления; их надо устранить и преодолеть, иначе математические уроки останут­ ся для философов бесплодными. Назовем самые главные пункты.

Математикой в смысле Платона надо заниматься в «фило­ софском духе», т. е. отличать ее от обыденной, «школьной» мате­ матики, направленной на практические нужды (сколько литров сока, какова длина забора и т. д.). В школьной математике пред­ меты наглядны, «телесны»: десять яблок, начерченная с помощью циркуля и линейки кривая, деревянная пирамида... Довольно осязаем даже сам ее язык: мы «добавляем», «конструируем», «передвигаем»... Такая математика, скажет Платон, пригодна «для

Бурлака. Мышление и Откровение. С. 39. 44 См.: с. 399 наст. изд.

522 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ

45

земледелия, мореплавания, руководства военными действиями» , но новая «духовная», «философская» математика, которую мы ищем, полностью противоположна практической , она есть «наука, которой занимаются ради познания венного бытия, а не того, что возникает и гибнет»47. И Платон не устает снова и снова подчеркивать этот пункт: надо заниматься математикой не «как попало, а до тех пор, пока [изучающие ее] не придут с помощью самого мышления к созерцанию природы чисел»48, другими сло­ вами, пока не проникнут в саму ее суть.

Хочется спросить: возможно ли такое математическое образо­ вание? По мнению Платона, оно возможно, если только мы сможем увлечь свои мысли в правильную сторону:

...у каждого в душе есть такая способность; есть у души и орудие, помогающее каждому обучиться. Но как глазу невозможно повернуться от мрака к свету иначе чем вместе со всем телом, так же нужно отвратиться всей душой ото всего становящегося: тогда способность человека к поз­ нанию сможет выдержать созерцание бытия и того, что в нем всего ярче, а это, как мы утверждаем, и есть благо. Не правда ли? — Да. — Как раз здесь и могло бы проявиться искусство обращения — каким образом всего легче и действеннее можно обратить человека: это вовсе не значит вложить в него способность видеть — она у него уже имеется, но неверно направлена, и он смотрит не туда, куда

49

надо. Вот здесь-то и надо приложить силы .

В другой области, при исследовании русской религиозной философии, Д. К. Бурлака требует «обращаться не к "букве", а к

45Государство. 527с.

46«Кто хоть немного знает толк в геометрии, не будет оспаривать, что наука эта полностью противоположна тем словесным выражениям, которые в ходу у занимающихся ею» (Там же. 527а).

47Там же. 527Ь.

48Там же. 525с.

49Там же. 518c-d.

Введение 523

"духу"» . Эту удачную формулировку можно перенести и на изучение математики. Но что означает в математике «обращаться не к букве, а к духу»? Разумеется, какие-то фундаментальные математические «буквы» являются необходимыми и для фило­ софов, и было бы желательно включить в виде обязательного предмета в их учебный план хотя бы один курс, посвященный элементарным математическим правилам, терминам и методам — без этого вряд ли возможно почувствовать «математический дух». Но он не исчерпывается сухими правилами и формулами, он скры­ вается под ними. По словам Платона, он скорее состоит в пости­ жении сущности математических вещей, правил, формул и методов. Поэтому мы можем просто заменить слово «философия» на слово «математика» в высказывании Бурлаки, чтобы получить верное утверждение: «Философия [Математика] в значении твор­ ческой работы, совершаемой мыслящим духом, действительно не должна быть "школьной"»51. Можно сказать и так: она должна превосходить школьный образ математических уроков. Значит, речь не идет о тренировке в сложении, умножении чисел или в конструировании треугольников; дело также не в том, что философ должен вникать в абстрактную сферу высшей математики. Скорее учащиеся, по Платону, должны будут «рассуждать о числах самих по себе» . Не высокая математика, а математика на «высшем уровне»... Метко сформулировал эту мысль Р. Штайнер: «Когда у человека исчезают представления, вызванные внешними явле­ ниями, тогда он понимает, что подразумевал греческий философ Платон, когда писал над воротами своей школы: "Негеометр да не войдет!" Смысл таков: не должен входить тот, кто не может подняться до свободного от чувственности мышления» .

«Подняться до свободного от чувственности мышления» — как же это возможно? Мы видели мнение, что чувственное познание не

Бурлака. Афтореферат. С. 5.

Бурлака. Мышление и Откровение. С. 30. Государство. 525d.

Steiner. Mythen und Sagen. S. 244.

Введение 525

пространству, далее к трехмерному и, наконец, к четерехмерному пространству: точка —• отрезок —* квадрат —• куб —• тессаракт55. Если мы исполняем эти шаги вполне сознательно, то избавляемся от оков обычных наглядных представлений. В этом ничего «мистического», мы просто развиваем геометрическое вообра­ жение, не теряя при этом наглядность представлений, а развивая ее на новом, «высшем» уровне.

Такие упражнения — как простые, так и более сложные — требуют от человека готовности мысленно проделать каждый шаг самому, и в начале это совсем нелегко. Но они являются необхо­ димой ступенью на пути к формированию «сверхчувственных органов». Такие «органы» можно — и нужно — развивать, чтобы не утратить человеческие чувства, не стать холодным мыслящим роботом. Штайнер формулирует: «В высшем мире мы всегда будем лишаться чувств, если здесь, в мире обычного сознания, не приобретем способностей созерцания в высшем мире. Как в материнском теле человек формирует глаза для созерцания в физически-чувственном мире, так же в материнском теле Земли он должен формировать сверхчувственные органы — тогда он родится в высшем мире»56. Вспомним здесь, что русский математик Мордухай-Болтовской, знаменитый благодаря академическому изданию «Начал» Евклида и «Математических трудов» Ньютона, писал: сущность важных проблем можно охватить, лишь «переходя из сферы науки в сферу гипернауки...» .

Многие сомневаются, что такие «философские» или «духовные» математические упражнения имеют смысл и пользу. Но Платон не сомневался в этом и подчеркнул:

«Это у тебя приятная черта: ты, видно, боишься, как бы большинству не показалось, будто ты предписываешь бес-

Обычно Штайнер просто давал импульсы (в медицине, образовании, сельском хозяйстве, математике), разработанные позже другими авторами, особенно математиками. См. примеч. 308 на с. 182.

Штайнер. Четвертое измерение. Математика и действительность. С. 108. Мордухай-Болтовской. Философия — Психология — Математика. С. 401.

526 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ

полезные науки. Между тем вот что очень важно, хотя поверить этому трудно: в науках очищается и вновь оживает некое орудие души каждого человека, которое другие занятия губят и делают слепым, а между тем сохранить его в целости более ценно, чем иметь тысячу глаз, — ведь только при его помощи можно увидеть истину»58.

Как мы сказали, такие «духовно-математические занятия» не получаются легко, они требуют полной отдачи. «Я думаю, — говорит платоновский Сократ, — ты нелегко и немного найдешь таких предметов, которые представляли бы для обучающегося, даже усердного, больше трудностей, чем этот»5 . Надо учиться долго и серьезно, «нужна привычка, раз ему предстоит увидеть все то, что там, наверху» . И Платон подчеркивает: «Только если кто постоянно занимается этим делом и слил с ним всю свою жизнь, у него внезапно, как свет, засиявший от искры огня, возникает в душе это сознание...»61 Поэтому Ренатус Циглер прав, когда он пишет: «Как знал уже Платон, интенсивное погружение в процессы мышления, в особенности математического мышления, — дело не только формальное. Речь идет о сознательном упорном труде в области самостоятельного мышления. При ближайшем рассмот­ рении, в этом процессе раскрываются новые источники опыта, которые ведут к нечувственным областям действительности» .

Правда, многие студенты не привыкли сосредотачиваться в течение длительного периода времени на математических задачах. Поэтому упражнения, подобные тем, что приведены в п. Г2, могут показаться невозможными, слишком утомительными, страшными. Но это значит, что студентам нужен хороший проводник по горным маршрутам, готовый помочь и в то же время достаточно строгий, чтобы заставлять их делать над собой усилие...

58Государство. 527d.

59Там же. 526с.

60Там же. 516а.

61VII Письмо. 34Id.

62Ziegler. Mathematik und Geisteswissenschaft. S. 20. (Курсив мой.)

Введение 527

Упорный труд — это одно, направление этого труда — совсем другое. Надо не только трудиться, надо отвернуться от обычной формы математических уроков, и это оказывается довольно сложно,

ведь это не то же самое, что перевернуть черепок; тут надо душу повернуть от некоего сумеречного дня к истинному дню бытия: такое восхождение мы, верно, назовем стрем­ лением к мудрости63.

Было бы интересно узнать, какими средствами и методами

пользовались в платоновской Академии, чтобы обучить студентов понимать математику в этом новом смысле. К сожалению, мы практически ничего не знаем об этом. Мы лишь слышали от Платона, что

никто не пользуется арифметикой действительно как нау­ кой, увлекающей нас к бытию64,

и это значит, что Платону и его сотрудникам приходилось искать новые формы, методы и содержание для таких математических уроков. Поэтому нам самим необходимо придумывать специальные «философско-математические» курсы для гуманитариев (и желательно также для самих математиков — ведь им тоже было бы полезно узнать немножко о пути вверх...).

Опытный преподаватель, возможно скажет, что на практике только часть (и иногда очень малая) гуманитариев готова и способна следить за ходом таких упражнений. Но так, вероятно, было и в самой Академии. «Негеометр да не войдет!» — означал ли этот лозунг, что лишь хорошо знающие математику принимались в ее ряды? Вряд ли, говорит И. Н. Мочалова: «Если бы не полу­ чившие математического образования не принимались в Ака­ демию, то Аристотель вряд ли мог стать учеником Платона». Но, добавляет она, «для тех, кто выбрал Академию, изучение, в той или иной степени, математического квадривиума становилось обяза-

63Государство. 521b-d.

64Там же. 523а.

528 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ

тельным» . Несомненно, многие из ее членов не имели специ­ фического «математического устройства ума», и охотно под­ писались бы под словами одного швейцарского поэта: «Я люблю тыкву и картофель, но круг пугает меня!» Но все же то, что пишет Жмудь о пифагорейской школе, имело вес не только для Академии Платона, но и для нас: «Неизвестно, насколько было рас­ пространено преподавание математических дисциплин в пифаго­ рейской школе. Но даже если оно затрагивало лишь небольшое число учеников, в условиях крайней малочисленности как научных сочинений, так и самих ученых это имело далеко идущие послед­ ствия. Постоянные занятия математикой позволяли накапливать и сохранять новые знания, а вместе с тем приобщать к ней именно в том возрасте, который благоприятен и для изучения, и для само­ стоятельного творчества. Эта традиция, поддержанная впоследст­ вии софистами и закрепленная авторитетом Платона, пережила и Античность, и Средневековье, она сохраняет свою ценность и в наши дни»67.

Как мне кажется, есть многочисленные упражнения, ведущие «человека к размышлению»6*. При их выборе необходимо учиты­ вать мнения опытных авторов69, но также рекомендуется сохранять определенную свободу, так как выбор задач и упражнений должен учитывать знания учащихся и предпочтения самого преподавателя,

Мочалова. Метафизика ранней академии и проблемы творческого насле­ дия Платона и Аристотеля. С. 244.

Eggimann. Jesus-Texte. S. 69. Некоторые проблемы математического образования для гуманитариев и их неготовность или неспособность к нему обсуждаются в параграфе 4.7, раздел 5.

Жмудь. Наука, философия и религия в раннем пифагореизме. С. 200-201. Государство. 523а.

Важные аспекты были представлены в 5-й секции («Современные проб­ лемы математического образования») Третьей всероссийской научной конференции, проходившей 27-28 сентября 2013 г. в Москве; см.: Фило­ софия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность/ В. А. Бажанов и другие. М.: Центр стратегической конъюнктуры, 2013. С. 233-263.

Введение 529

ведь успех зависит от интереса и энтузиазма двух сторон. Важно при этом — мы повторяемся, — что все это должно происходить не «школьно», а в духе платоновских требований: нельзя довольствоваться полученными результатами и отворачиваться от задачи сразу по ее решению, как это обычно делают школьники. Только дополнительный шаг приводит нас к тому, что было для Платона самым важным: к тому, чтобы быть способным улавливать «суть дела», находить «руководящие идеи под поверхностью».

Например: допустим, в какой-то задаче мы использовали формулу

2 2 1

(а + Ь) = а + lab + Ъ . Спросим себя: что мы имеем в виду, когда говорим, что левая сторона равна правой? Далее: что есть равенство? Откуда у нас это понятие, это представление? Является ли оно просто «абстракцией» многообразного опыта в духе Аристотеля, или «руководящей идеей» в духе Платона?70

Вспомним убеждение Платона: хорошо, когда туго соображаю­ щие ученики становятся с помощью математических упражнений «более восприимчивыми, чем были раньше», но «для этого было бы достаточно какой-то незначительной части геометрии и счета» . Намного важнее вот что:

рассмотреть преобладающую ее [математики] часть, имею­ щую более широкое применение: направлена ли она к нашей цели, помогает ли она нам созерцать идею блага?12

Ср.: Федон. 75Ь — «Прежде чем начать видеть, слышать и вообще чувствовать, мы должны были каким-то образом узнать о равном самом по себе — что это такое, раз нам предстояло соотносить с ним равенства, постигаемые чувствами: ведь мы понимаем, что все они желают быть такими же, как оно, но уступают ему».

71Государство. 526Ь.

72Там же. Раздел Г12, например, просто требует дополнительных этических размышлений. Сам Эйнштейн страдал от последствий открытия своей формулы; ср. также высказывания легендарного британского астрофизика Стивена Хокинга: в январе 2016 г., в интервью британским СМИ, он назвал главные факторы, угрожающие развитию жизни на Земле. Неконтролируемое технологическое развитие, сказал Хокинг, может привести к глобальной ядерной войне или распространению генетически