Аксиоматический метод 253

современными математическими выражениями, можем перечислить некоторые проблемы: (1) Мы хотим доказать, что V2 не рационален. Но прямое доказательство этому до сих пор не найдено. (2) Мы исходим из ложного предположения, что V2 рационален, и демонстрируем, что это предположение действительно ложно. Значит, мы доказали противоположность того, что мы должны были доказать. (3) Мы доказали не то, что V2 существует, но только то, что он не рационален, если существует. (4) Так как рацио­ нальные числа идентичны дробям целых чисел, и дроби целых чисел являются либо конечными, либо бесконечными, но периоди­ ческими десятичными дробями, то получается, что V2, если он не рационален, является бесконечной непериодической дробью, — но, разумеется, только при условии, что такое «число» вообще сущест­ вует. (5) Наше доказательство не дает возможности полностью записать V2 в форме десятичной дроби. То, что мы видим или можем записать, это всегда лишь рациональные приближение.

(6) Наше доказательство основано на действительности логического принципа tertium non datur, но этот принцип не применяется повсюду в математике, по крайней мере не в представлениях интуиционистов.

3.12. Аксиоматический метод

Греки довольно скоро пришли к выводу, что достигнуть несом­ ненных результатов в математике можно только при условии совер­ шенно четкого прояснения для самих себя предпосылок и значений используемых понятий. Поэтому Евклид начинает свои «Начала» списком определений, постулатов и общих понятий (аксиом).

В философии гениальным создателем аксиоматического метода был Аристотель152. Но уже Платон знал суть этого метода153.

См.: Scholz. Die Axiomatik der Alten. S. 27-44.

«Наиболее важным вкладом древних греков в разработку основ мате­ матики были, вероятно, аксиоматический метод и понятие доказательства. На них настаивали еще в Академии Платона, а навысшего развития эти

254 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

В диалоге «Протагор» он показывает, как запутанна и бесплодна философская беседа о возможности научить добродетели, если заранее точно не договориться о том, что нужно понимать под добродетелью. Поэтому мы находим в конце диалога требование начать все сначала, однако в этот раз предварительно определить аксиоматическую основу . Если это требование выполнено, можно относительно легко решить поставленную задачу155.

Платон постоянно требует предварительных разъяснений исход­ ного положения и уточнения используемых понятий и в философс­ ких диспутах:

Во всяком деле, юноша, надо для правильного его обсуж­ дения начинать с одного и того же: требуется знать, что же именно подвергается обсуждению, иначе неизбежны сплош­ ные ошибки. Большинство людей и не замечает, что не знает сущности того или иного предмета: словно она им уже известна, они не уславливаются о ней в начале рассмотрения; в дальнейшем же его ходе это, естественно, сказывается: они противоречат и сами себе, и друг другу. Пусть же с нами не случится то, в чем мы упрекаем других156.

идеи достигли в Александрии около 300 г. до н. э. в Началах Евклида. Эти понятия дошли до наших дней, подвергшись лишь некоторым космети­ ческим изменениям» (Foundations of Mathematics // Encyclopaedia Britannica Online).

Протагор. 361c: «Меня же, Протагор, когда я вижу, как все тут перевернуто вверх дном, охватывает сильное желание все это выяснить, и хотелось бы мне, после того как мы это разберем, разобраться и в том, что такое добродетель, и снова рассмотреть, можно ей научить или нет». См. также: Менон. 86d — «Если бы я мог повелевать не только собою, но и тобою, Менон, мы бы ни за что не стали исследовать, можно ли научиться добродетели или нельзя, прежде чем мы не нашли бы, что же такое сама добродетель».

Протагор. 360е-361а: «Да ведь я спрашиваю обо всем этом... только ради того, чтобы рассмотреть, как обстоит дело с добродетелью и что это такое

— добродетель. Я знаю, если это будет раскрыто, тогда лучше всего выяснится и то, о чем каждый из нас держал столь длинную речь».

Федр. 237с.

Аксиоматический метод 255

В целом Платон придает большое значение строгости и ясности изложения как в математике, так и в философии. В «Федре», например, он различает два вида риторики: риторика как искусство и риторика как простое изготавливание. Только первой подобает имя науки, так как

кто не учтет природные качества своих будущих слушателей, кто не сумеет различать существующее по видам и охваты­ вать одной идеей все единичное, тот никогда не овладеет искусством красноречия настолько, насколько это возможно для человека. Достичь этого без усилий нельзя, и человек рассудительный предпримет такой труд не ради того, чтобы говорить и иметь дело с людьми, а для того, чтобы быть в состоянии говорить угодное богам и по мере сил своих делать все так, чтобы им это было угодно. Ведь те, кто мудрее нас с тобой, Тисий, утверждают, что человек, обла­ дающий умом, должен заботиться о том, как бы угодить не товарищам по рабству — им разве лишь между прочим, — но своим благим владыкам, потомкам благих родителей. Поэтому, если путь долог, не удивляйся: ради великой цели надо его пройти157.

Но крайне интересно, что Платон так же хорошо знал суть аксиоматического метода в математике. В «Государстве» мы находим следующее описание:

Те, кто занимается геометрией, счетом и тому подобным, предполагают в любом своем исследовании, будто им известно, что такое чет и нечет, фигуры, три вида углов и прочее в том же роде. Это они принимают за исходные положения и не считают нужным отдавать в них отчет ни себе, ни другим, словно это всякому и без того ясно. Исходя из этих положений они разбирают уже все остальное и

последовательно доводят до конца то, что было предметом их рассмотрения158.

157Федр. 273е-274а. Государство. 510c-d.

256 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

Говоря другими словами, некоторые понятия и правила безого­ ворочно и без доказательств устанавливаются в начале рассуж­ дения, и из них делаются выводы. Любопытно: если мы прочтем современное определение аксиоматического метода159, то увидим то, что уже давно было проницательно обнаружено и описано Платоном. При этом нельзя забывать, что этот метод не есть вся математика, он лишь один, хотя и важный, ее аспект160.

В параграфе 2.2 мы говорили об убеждении Платона в том, что статус философии выше статуса математики, и об этом мы будем говорить также в параграфе 4.7. Что касается аксиоматического метода и функций философии в этой сфере, обозначим здесь взгляды Платона в трех аспектах:

1)о самом методе;

2)о его сути;

3)о необходимости философского мышления в этом вопросе:

Например: «Аксиоматический метод — один из способов дедуктивного построения научных теорий, при котором: 1) выбирается некоторое множество принимаемых без доказательств предложений определенной теории (аксиом); 2) входящие в них понятия явно не определяются в рамках данной теории; 3) фиксируются правила определения и правила выбора данной теории, позволяющие вводить новые термины (понятия) в теорию и логически выводить одни предложения из других; 4) все остальные предложения данной теории (теоремы) выводятся из 1 на основе 3» (URL: http://www.moscow-faq.ru/articles/science/2008/December/3213).

«Математика рассматривается как доказательная наука. Но это лишь один из ее аспектов. Математика, представленная в готовом виде, выглядит как исключительно демонстративная. Она состоит только из доказательств. Но математика, находящаяся в стадии возникновения, равна любой другой форме человеческого знания в процессе становления. Нам приходится до­ гадаться о какой-либо математической теореме, прежде чем ее доказать...» (Polya. Mathematik und plausibles Schliessen. Band 1. S. 10). О принци­ пиальной недостаточности аксиоматического метода при обосновании математики см.: Heitsch. Mathematik und Weltanschauung. S. 133.

Аксиоматический метод 257

1)В каждой точной науке при всех доказательствах необходимо устанавливать все предпосылки, на которых доказательство основывается.

2)Если дело состоит не просто в «формально правильной игре», а в поисках «истины», «правды», то необходимо раскрывать сущность этих предпосылок и объективное значение их бытия.

3)Математик как таковой не в состоянии выявить фундамент аксиоматического метода и «реальность» самих аксиом; это может сделать только философ-диалектик.