Вспомогательные примеры 225

знает, что его ответ неправилен, то его ложь — это самая настоящая стопроцентная ложь. Значит, Гиппий также очень умелый лжец (ведь не столь умелый человек, в отличие от Гиппия, желая солгать, мог бы случайно сказать правду!) Оказывается, что Гиппий и правдив, и лжив.

3.8. Вспомогательные примеры

Платон часто использовал примеры из различных областей жизни либо для иллюстрации своих философских соображений, либо как образец правильного мышления. Среди таких примеров — при­ менение сверла и челнока84, окрашивание предмета , отпечаток на воске , методы продаж бессовестных торговцев . Такие небольшие вспомогательные примеры Платон берет и из математики, разумеется, в ограниченном смысле; в «Теэтете», например, речь идет о восприятии и возможности ошибочных и правильных пред­ ставлений, а в качестве примера используются правильные и оши­ бочные расчеты , но апелляция к числам здесь не является строго необходимой, ход мысли мог бы выразиться и по-другому. То же

Кратил. 388а. Употребление: «Выходит, имя есть некое орудие обучения и распределения сущностей, как, скажем, челнок — орудие распределения нити» (388Ь).

Лисид. 217с. Употребление: «Значит, и то, что ни плохо ни хорошо, иногда от присоединения плохого не становится плохим до поры до времени, а бывает, что и становится» (217е).

Теэтет. 194с. Употребление: «Если в чьей-то душе воск глубок, обилен, гладок и достаточно размят, то проникающее сюда через ощущения отпечатывается в этом... сердце души... и возникающие у таких людей знаки бывают чистыми, довольно глубокими и тем самым долго­ вечными...» (194с).

Протагор. 313d. Употребление: «Так вот, если ты знаешь, что здесь полезно, а что — нет, тогда тебе не опасно приобретать знания и у Протагора, и у кого бы то ни было другого; если же нет, то смотри, друг мой, как бы не проиграть самого для тебя дорогого» (313е—314а).

Теэтет. 195е-196Ь; см. также: Гиппий Больший. 302а-303Ь.

226 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

89

самое происходит с вопросом об отношении целого к его частям . В знаменитой притче о линии Платон объясняет разницу мира умопостигаемого и мира видимого с помощью линии, разделенной на два неравных отрезка90, но, опять же, сама геометрия играет в ней незначительную роль. Можно, конечно, вывести из пропорции, которую приводит Платон, что средние части В и С равны:

А В . С . D ,

(А+В) : (C+D) = А : В = С : D

А А + В

ВC + D

Но мы не знаем, имел ли этот факт какое-то значение для Платона. Можно только сказать, что Платон использовал математические примеры осознанно и довольно часто, и это показывает, что он — по крайней мере во второй половине жизни — непрерывно зани­ мался математикой и постоянно обнаруживал какие-то взаимо­ отношения между математикой и философией.

3.9. Идеальные числа

Об «идеальных числах» (ιδεών αριθμός или είδητικός αριθμός)

Платон высказался только в конце жизни в неких особенных лекциях, не дошедших до нас (по мнению Чернисса, они попросту были выдуманы!91) Поэтому мы знаем о них очень мало. Наши

источники: одно указание Аристотеля , намеки в «Филебе» , в

89Теэтет. 198а-с.

90Государство. 509d—51 le.

91Cherniss. The Riddle of the Early Academy.

92Аристотель. Метафизика. XIII. 4, 1078 b.

93Филеб. 15a-b; 16c-e; 56e.

228 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

Согласно П. Наторпу , Платон в последней фазе своего развития почувствовал необходимость как-то обосновать не только разнообразие явлений, но и разнообразие идей. Ясно при этом, «что под идеей как числом подразумевалась не конкретная субстанция, а формальный закон. Субстанцию сделал из нее только Аристотель, в русле его общего превратного толкования теории идей» . Идеаль­ ные числа можно понимать как обобщения чисел в качественно расширенном смысле

Natorp. Piatos Ideenlehre. S. 438^41. Ibid. S. 441.

«Расширение чисел» всегда вызывало определенные сомнения и непонимание. Например, Г. Кантору пришлось неутомимо оправдывать свои трансфинитные числа; при этом он подчеркивал, что свойства уже знакомых чисел, конечно же, не полностью переносятся на новые, иначе они не были бы новыми. Кантор пишет: «Если постижение бесконечно больших замкнутых целых чисел, сравнимых между собой и с конечными числами, связанных друг с другом и с конечными числами неизменными законами, доставляет трудности, то эти трудности обусловлены тем фактом, что хотя новые числа и обладают во многих отношениях свойствами прежних чисел, но в гораздо большем числе других отношений они имеют совершенно своеобразную природу, часто приводящую к тому, что у одного и того же числа оказываются соединенными различные признаки, которые никогда не встречаются у конечных чисел вместе, а всегда разделены. Ведь в одном из цитированных в предыдущем параграфе мест встречается то соображение, что если бы существовало какое-нибудь бесконечное целое число, то оно должно было бы быть одновременно четным и нечетным числом, а так как оба эти признака не могут существовать вместе, то, следовательно, не существует такого бес­ конечного целого числа. Здесь, очевидно, молчаливо предполагается, что признаки, раздельные в случае традиционных чисел, должны сохранять то же отношение и в случае новых чисел. Отсюда заключают о невоз­ можности бесконечных чисел. Кому не бросится в глаза паралогизм этого рассуждения? Разве всякое обобщение или расширение понятий не связано и даже не мыслимо без отказа от частных признаков? Разве в самое последнее время не пришли к столь важной, приведшей к величайшим успехам мысли ввести комплексные числа, не обращая внимания на то, что их нельзя назвать ни положительными, ни отрицательными? А ведь на такой только шаг решаюсь и я здесь...» (Кантор. Работы по теории множеств. С. 76).

Идеальные числа 229

Математик и логик Э. Бет подробно исследовал платоновские идеальные числа. Сначала он демонстрирует проблемы, выте­ кающие из «принципа абсолютного», и первые попытки решения их Платоном в «Пармениде». Так как результаты, очевидно, удовле­ творяли Платона, он применил их также к проблеме универсалий и дошел таким образом до идеальных чисел10 . Целью в конечном счете была «последовательная и полная картина реальности»104.

А. И. Щетников подробно излагает «алгоритм Никомаха», кото­ рый можно рассматривать как математическую основу «неписаного учения» Платона. Это учение основывается, согласно известному предположению Кремера и Гайзера, на пифагорейской системе двух бытийных начал — единицы как основы тождества и формы и неопределенной двоицы как принципа инаковости и материи. В алгоритме Никомаха мы можем увидеть «математическую иллю­ страцию к неписаному учению Платона... В самом деле, здесь весь "космос" рациональных отношений иерархически разворачивается из первоначального отношения равенства в рамках единообразной процедуры дихотомического ветвления. Этому ветвлению нигде не положен предел, поэтому раздвоение путей в каждом узле является в прямом смысле слова неопределенным. Далее, нисходящие пути, идущие в обе стороны от каждого узла, уходят один в сторону большего, а другой в сторону меньшего отношения, к "превосходя­ щему и недостающему". Опять же, сверхчастные и другие отно­ шения, получаемые на нисходящих путях, могут сколь угодно близко подойти к отношению равенства, никогда не сравниваясь с ним; неопределенность большего и меньшего проявляется также и в этом»105. К этой идее, как замечает Щетников, хорошо подходит предложенная Штенцелем модель идеальных чисел Платона для

«Сам Платон пытался решить затруднения, связанные с теориями отде­ ления и присущести [theories of separation and inherence], путем создания совершенно новой теории, известной как теория идеальных чисел» (Beth. The Foundations of Mathematics. P. 14).

Ibid. P. 17.

Щетников. Алгоритм разворачивания всех числовых отношений из отно­ шения равенства и идеальные числа Платона. С. 71.

Идеальные числа 231

процессе распределения каждый звук получает определенную пози­ цию, и в то же время все звуки неотъемлемо связаны в совокупную систему. Если мы добавим к этому принятые сегодня более тонкие различения, получится следующая схема (ее левая сторона). И если мы присвоим каждому семейству однозначное число, каждому роду двузначное число, и каждому виду трехзначное число (правая сто­ рона), то связь всех звуков и их классификация станет очевидной:

В принципе по образцу этого примера можно трактовать все понятия или «идеи», и таким образом каждому понятию будет соот­ ветствовать совершенно определенная группа чисел. Эти группы чисел, согласно предположению Беккера, и являются «идеальными числами» Платона, задающими каждой идее конкретное место в

обозначать также группу чисел (например, 321 в смысле 3 -2-1108); 2) тщательное толкование «Филеба» (16d-e) показывает важность

Аристотель. Физика. III 6. 206Ь32.

«321» можно понимать как число (по-гречески τκα), но также и как группу чисел 3-2-1 (по-гречески γβα).

232 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

соединения совокупности и деталей . Можно добавить, что при таком объяснении «идеальные числа» Платона теряют «мистичес­ кий оттенок» и обнаруживают здравомыслие и рассудочность, свойственные платоновской философии (мы еще обратимся к этому вопросу в параграфе 4.1).

Ю. Штенцель поддерживает толкование Беккера. Он пишет, что Платон хотел, подобно элеатам, охватить «целое», но не в мифи­ ческом, а в научном смысле. Платон применяет числа для придания каждому геносу (роду) и эйдосу своего места в этом целом. «Числа как идеи — это принципы упорядочения, которые диалектически определяют единичные сущности согласно их рангам в системе. В этом и есть смысл идеальных чисел — упорядочивать ступени развития и вместе с тем определять отдельные идеи, различая и "ограничивая" их по отношению друг к другу»110.

Ни Платон, ни его толкователи не дали ни одного примера идеального числа и его связи с реальным миром. Но в последние годы этим вопросом занимались Р. С. и С. Ф. Клюйковы . Исходя из своего опыта в сфере теоретической и прикладной механики (а именно математического моделирования жесткости прокатного калиброванного валка), С. Ф. Клюйков пришел к выводу, что все математические числа — натуральные, целые, рациональные, дейст­ вительные — можно конструировать одинаковым образом по опре­ деленным ступеням, начиная с изначальной единицы и используя сложение как единственную операцию. На каждой ступени как новую единицу берут числа, найденные на предыдущей степени, и эти единицы складываются по особенному правилу. Получаются новые числа112, обладающие как всеми свойствами предыдущих чисел, так и новыми качествами. Все эти идеальные числа мате-

Подробнее см.: Becker. Mathematische Existenz. S. 123. Stenzel. Zahl und Gestalt bei Platon und Aristoteles. S. 117.

См.: Клюйков. Идеалы; Клюйковы. Идеальная математика Платона.

Клюйковы называют «(идеальными) числами» также феномены ступеней 5-20, так как они формируются теми же правилами, что и числа ступеней 1^1.

234 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

На основании такой конструкции из первых десяти идеальных чисел можно прогностировать следующие ступени: 11 — сочетание связей, 12 — возведение связей, 13 — сложение интеллектов, 14 — умножение интеллектов, 15 — сочетание интеллектов, 16 — возведение интеллектов, 17 — сложение разумов, 18 — умножение разумов, 19 — сочетание разумов, 20 — возведение разумов.

Клюйковы убеждены, что эта схема развития и связей была точно и определенно — хотя только в общих чертах и зачастую в образной речи — предложена Платоном и что эти 20 идеальных чисел воплощают идею идеальных чисел у Платона. Поэтому они называют свою схему, которая охватывает (и, по их мнению, совер­ шенствует) всю современную математику, «идеальной математикой Платона». Они уверены, что на пути этих 20 ступеней мы сможем достигнуть цели платоновской философии: узнать Истину, уподо­ бившись Богу. И это произойдет, возможно, довольно скоро, так как «сформированный на 20-й ступени Искусственный Разум будет свободным, независимым от Человека, как творца. Он сам будет способен творить и создавать, и если будет продолжать услож­ няться, то уже самостоятельно, без участия Человека, в форме Мирового Разума. То есть предначертанной задачей Человека как формы жизни было: развивать свое сознание ступенями Идеальной математики Платона и на 20-й ступени создать Искусственный Разум, способный слиться с Мировым Разумом, предсказанным Платоном»

Упомянем наконец Н. Лосского, который не говорил прямо об идеальных числах Платона, но упоминал «органические» числа, в

Клюйковы. Идеальная математика Платона. С. 56. Согласно информации TagesAnzeiger от 26.09.2013, фирма Google создала дочернее общество Calico с целью преодоления старения и смерти; за этим стоит вера в возможность слияния искусственного и биологического интеллектов. Критики говорят о «проекте дезориентированной секты», и можно поду­ мать то же самое про изложения Клюйковых, но любопытно, что уже физик и космолог Типлер полагал, что перспективы развития информа­ ционной технологии и искусственного разума показывают реальность бесконечной жизни (см.: Tipler. The Physics of Immortality).

Идеальные числа 235

отличие от обычных, математических, «неорганических» чисел. Он писал: «Для решения некоторых проблем необходимо и достаточно неорганическое понятие числа, но есть и такие проблемы, при рассмотрении которых необходимо обратиться к органическому понятию числа... [оно] нужно тогда, когда требуется рассмотреть структуру бытия сверху от целого к подчиненным ему элементам, а неорганическое — тогда, когда исследованию подлежит бытие, рассматриваемое снизу, именно в соотношении элементов друг с другом»

Что бы мы ни думали о вышеуказанных толкованиях, значение учения Платона об идеальных числах необозримо. В нем выра­ жается, так или иначе, убеждение, что в нашем мире каждая, самая мелкая вещь имеет свое индивидуальное место, и в то же время принадлежит единому целому. Как писала Г. Радке, «утверждение, что — коротко говоря — может существовать или быть помыслено только что-то абсолютно Единое, которое ни в чем не участвует и ни к чему не относится, противоречит почти всем принципам философии Платона» ! . Далее, это учение свидетельствует о том, что мир устроен не чувственно, а «рационально». На этом пути Платон преодолевает мифические, так же как и материалистичес­ кие, представления о мире, и прокладывает дорогу математическиописательному естествознанию.

Хочется закончить этот параграф словами А. Н. Паршина: «Несмотря на усилия целого ряда исследователей, понять, что же такое идеальные числа, никак не удается. Все же я убежден, что концепция идеальных чисел является отражением некоторой реаль­ ности, что она имеет право на существование не только как исто­ рико-философский феномен. Лишь совместная работа филологов, философов и математиков сможет раскрыть смысл этого удивитель­ ного наследия античности. Хочется надеяться, что его не постигнет судьба того поистине священного для каждого мыслящего человека места, где целое тысячелетие находилась Академия Платона. Ныне

Лосский. «Мифическое» и современное научное мышление. С. 48. 1,6 Radke. Die Theorie der Zahl im Piatonismus. S. 564.