236 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
небольшой раскоп на ее месте превратился в забросанную мусором яму в одном из городских парков Афин, пригодную разве что для детских игр или ночевки бомжей»117.
3.10. Формы логического мышления
У Платона было довольно ясное представление о сущности и роли логики как в математике, так и в философских дискуссиях. Вот что об этом писал Ф. Кессиди: «Платон выявил громадное значение логических определений, понятий и категорий в познании, их роль в философском и научном мышлении, их необходимость в исследо вании вопросов о происхождении общества и государства, в анализе правовых и нравственных норм, в решении этических, эстетических и иных проблем»
Особенно часто Платон применяет так называемый метод «эленхус». По мнению Харриса, «такой вид аргументации был заимствован из развивающейся логики математического мышления, которая была чем-то новым, захватывающим и, вероятно, не вполне понятным в начале IV в. до нашей эры. Я полагаю, что Платон был заинтригован этим новым способом мышления, широко использо вал его в своих ранних диалогах, постепенно замещая его, особенно после Менона, более существенными способами аргументации. Отрывки, в которых мы находим эленхус в его работах, указывают на такой ход событий. Короче говоря, я утверждаю, что эленхус в момент его зарождения был сознательным переходом от мате матических аргументов к философским, что, вероятно, он имел ошеломляющий успех, что подтверждается сравнением Сократа с электрическим скатом, но что он был довольно сильно "изношен"
119
активным употреблением»
Паршин. Идеальные числа Платона. С. 13-14.
Кессиди. Предисловие к книге «Платон и его эпоха». С. 5. Harris. Plato — Mathematician or Mystic?
Формы логического мышления 237
Этот метод основывается на том, что позже назовут «простым категорическим силлогизмом»: Сократ договаривается со своим собеседником принять «большую посылку», затем они рас сматривают утверждение собеседника («меньшую посылку»), и наконец, Сократ показывает, что следует из этих двух посылок («заключение»). Если заключение является очевидно неправиль ным, глупым, то из этого могут следовать два вывода: либо большая посылка, несмотря на первоначальное соглашение, была ошибочна, либо ошибочна меньшая посылка, т. е. утверждение собеседника. Так, в «Протагоре» мы читаем:
Следовательно, безрассудство противоположно рассудитель ности? — Очевидно. — А помнишь, ведь раньше-то мы согласились, что безрассудство противоположно мудрости?
— Протагор подтвердил. — И что одно бывает противоположно только одному? — Да, я это утверждаю. — От какого же из двух утверждений нам отказаться, Протагор? От того ли, что одному противоположно только одно, или от того, которое гласило, что мудрость есть нечто иное, чем рассудительность?
Ситуация такова: Сократ с Протагором согласились, 1) что муд рость есть нечто иное, чем рассудительность, 2) что чему-то одному противоположно только что-то одно, 3) что безрассудство противо положно мудрости, 4) что безрассудство противоположно рассу дительности.
Сократ берет пункт 2 в качестве большей посылки. Если мы обозначим «противоположно» знаком • , то получим большую посылку в виде: «Если А Т Х и А Т У , тоХ = Y»; в формальном виде:
(А • X ) Л (А • Y) -> X = Y.
Далее, пункты 3 и 4 вместе являются меньшей посылкой. Если мы обозначим «безрассудство» буквой «А», «мудрость» буквой «X» и «рассудительность» буквой «Y», тогда меньшую посылку можно записать в виде (А • X ) Л ( A T Y).
Протагор. 332е-333а.
238 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
Теперь получается следующий силлогизм:
(Α Τ X ) Λ (Α Τ Y) -> Χ = Y (A • Χ ) Λ (A • Y)
Χ= Y
т.е. мудрость = рассудительность. Но в пункте 1 собеседники согла сились, что Χ Φ Y, следовательно, в итоге мы получаем настоящее противоречие: (Χ Φ Υ) Λ (Χ = Y).
Что же делать? Есть три варианта: а) первое предположение, что Χ Φ Y, является ошибочным и от него надо отказаться; б) большая посылка неверна; в) сам силлогизм не работает, т. е. логическое мышление может оказаться недостоверным.
Для нас интересно, что Платон не рассматривал последний вариант — даже поверхностное знакомство с математикой про демонстрировало ему достоверность логических методов. Да, для выступающих «по-ораторски, по образцу тех, кто держит речи в судах» результат будет зависеть от того, представлено ли достаточ
ное количество почтенных свидетелей, «но для выяснения истины
121
такое опровержение не дает ровно ничего» . Дело в том, что истину определяет не человек, она дана Богом. Так, например, в политике надо соблюдать неопровержимые законы, поэтому, когда Платон определяет лучшее государство как «господство наилуч ших», то это не просто его излюбленная идея, «он хочет про возгласить требование, которое соответствует законам природы, и поэтому является абсолютно обязательным» . Так же и с вопросом о логике: не человек, а «вышестоящий орган», т. е. сам Бог123, опре-
Горгий. 47le: «Мудрым-то оказывается бог, и... он желает сказать, что человеческая мудрость стоит немногого или вовсе ничего не стоит».
Jaeger. Paideia. 2. Band. S. 324. Такое убеждение не является само по себе разумеющимся. Йегер напоминает нам о неизвестном софисте (Anonymus Iamblichi. Diels. И, 82), который решал все нравственные, общественные и государственные вопросы на основании экономики (Ibid. S. 274).
Апология Сократа. 23а. Поэтому бывает так, что обе стороны в дискуссии подвергаются проверке математическо-логической истиной: «Может слу читься, что при этом мы исследуем и того, кто спрашивает, то есть меня самого, и того, кто отвечает» (Протагор. 333с).
Формы логического мышления 239
деляет законы правильного мышления, и эти правила верны. Следовательно, в нашем примере вариант в) («сам силлогизм не работает») исключен, и остается только отказаться либо от «одному противоположно только одно», либо от того, что «мудрость есть нечто иное, чем рассудительность».
Приведенный пример доказывает, что Платон сознательно и легко использовал логические размышления в философских дис куссиях. То же самое можно сказать об использовании логики в «Меноне» — В. Йегер говорит о «высокой степени логической сознательности Платона повсюду в "Меноне", что особенно под тверждается множеством технических выражений»124. Такая логика отличается строгостью и неопровержимостью, хотя часто она не вызвала у слушателей одобрения, но порождала неприятные ощущения и даже ярость125.
А сейчас рассмотрим один текст из «Менона», чтобы увидеть особенную роль, которую играли предположения16 как в математи ке, так и в философии. В отличие от разговора Сократа с молодым слугой, который мы обсуждали в параграфе 3.7, пример, который мы рассматриваем здесь, дан в сокращенной форме:
Как видно, придется исследовать, каково то, о чем мы не знаем, что оно такое. Но все же выпусти меня из-под своей власти хоть на самую малость и позволь исследовать, можно ли научиться добродетели или приобрести ее каким-либо еще путем, исходя из некоей предпосылки. Когда я говорю «исходя из предпосылки», я имею в виду то же, что часто
Jaeger. Paideia. 2. S. 234.
О «двойном лице» эленхуса — эленхус как метод сократического лукавства и иронии и как путь, пробуждающий любопытство, см. работу: Robinson. Plato's Earlier Dialectic, особенно главу 2. Иногда кажется, что слушатели тоже чувствовали какую-то неправильность в аргументации, но не могли точно сказать, в чем она состоит. См. об этом: параграф. 4.3 наст, изд., особенно цитату из Ницше.
Греческое слово ύπόθεσις означает в русском переводе «предположение». Можно также сказать «гипотеза» или «предпосылка». Об истории этого слова см.: Gaiser. Piatons Menon und die Akademie. S. 358-365.
Формы логического мышления 241
в 1832 г. смог насчитать уже 22 объяснения, зачастую противо положных друг другу... Однако, несмотря на убеждение некоторых комментаторов, что им удалось пролить свет на слова Платона, на самом деле ни одному из них не удалось сделать свое понимание общепризнанным, и до сих пор есть те, кто согласен со словами Клюгле о геометрической гипотезе: "То, что здесь написано, явля ется совершенно непонятным, и доставило филологам (и матема тикам, можно добавить) сплошные неприятности, и ни малейшего успеха"». Но автор смело продолжает: «Для меня этот отрывок из "Менона" всегда представал как дошедший до нас неиспорченным и неискаженным... и должно быть возможно выявить в нем тот
129
смысл, который имел в виду сам Платон» Тот факт, что данный текст является для некоторых авторов
«совершенно непонятным», видно из их умолчания о нем. Э. Кольман, например, пишет: «Второй математический отрывок в "Меноне" (86е-87Ь) настолько неясен, что опубликовано около полусотни различных его истолкований. По-видимому, здесь гово рится о том, что треугольник данной площади при одних условиях
может быть |
вписан |
в |
данный |
круг, а при других — нет»1 . |
Д. Фаулер, |
давая |
в |
своем |
большом труде множество |
математических разъяснений, также не комментирует этот текст, лишь замечая, что он «вызвал огромное многообразие различных геометрических реконструкций»1 \
Самое простое толкование, по-видимому, предлагает А. Бенеке. Он ссылается на разговор Сократа с рабом и предлагает пред ставить, что на песке осталось то, что Сократ нарисовал палкой. «К этой фигуре, мы полагаем, Сократ возвращается в беседе с Меноном, чтобы проиллюстрировать ему, что он имеет в виду под έξ υποθέσεως σχοπεΐσθαι»13 . Это значит, что Сократ утверждает следующее: «Квадрат ABCD должен быть внесен в круг С как
Benecke. Ueber die geometrische Hypothesis in Piatons Menon. S. 6-7. Кольман. История математики в древности. С. 111.
Fowler. The Mathematics of Plato's Academy. P. 65.
Benecke. Ueber die geometrische Hypothesis in Platons Menon. S. 9.
Формы логического мышления 247
обнаружение внутренних отношений, т. е. путем теоретического познания.
Для Зескина ключевой пункт состоит в том, что математики во времена Платона не смогли решить задачу вписания данной пло щади в круг в форме треугольника, так как она требует решения уравнений четвертой степени. Они только могли сказать: «если...», т. е. сформулировать гипотезу. В этом случае «гипотеза» (или «предположение») является не фундаментом, на котором можно строить убедительное рассуждение и делать выводы, но только «пока нерешенной возможностью». При такой интерпретации геометрический пример используется Платоном не как образец рационального мышления, а как предупреждение «не ожидать от беседы больше, чем она на самом деле может дать» . Зескин пишет: «Метод гипотез в "Меноне" приводит, в связи с учением о добродетели, к апории. Чувство недоумения усиливается ссылкой на геометрическую задачу, решение которой выходило за рамки возможностей математиков, современных Платону. Если спросить, почему Платон вводит метод, в котором не был уверен, мы ответим, что, приводя нас к апории, он хочет, чтобы мы проследили свои шаги и увидели, где же произошла решающая ошибка. В нашем случае роковая ошибка происходит тогда, когда Сократ "поддается" Менону и соглашается вначале обсудить вопрос, который является производным. Смысл этого ясен: полагание производного вопроса первым приводит к возникновению неприятностей — так же, как это привело к проблемам и для геометров»138.
Применение логики Платоном также ярко продемонстрировано
в «Пармениде», который, по словами Гайденко, является «вершиной
139
логической мысли Платона» . В этом диалоге мы находим вопрос о едином и многом в логической формулировке, которая позволяет исследовать его «научно». При этом Платон «строит свое рассуж дение по тому же принципу, по какому строится косвенное доказа-
Seeskin. Meno 86с-89а. Р. 35. Ibid. Р. 38.
Гайденко. Обоснование научного знания в философии Платона. С. 104.