Пропорции 203

смысле. В Приложении Г (особенно Г11 и Г12) мы предпринимаем попытку предложить несколько подходящих упражнений, зная, что эта важная область пока почти не исследована.

3.2. Пропорции

Пропорциям отведена в трудах Платона весьма обширная роль, а исследованию этой темы посвящена целая докторская диссерта­ ция . Ее автор различает пять областей, в которых Платон использует пропорции: математика, физика, искусство, политика и теория идей, и показывает, «каким образом Платон видит теорию пропорций как часть математики и как он применяет математи­ ческие пропорции в других областях»34.

Знакомство Платона с чисто математическими пропорциями доказывает отрывок из «Тимея», в котором говорится:

Когда из трех чисел... при любом среднем числе первое так относится к среднему, как среднее к последнему, и, соот­ ветственно, последнее к среднему как среднее к первому, тогда при перемещении средних чисел на первое и последнее место, а последнего и первого, напротив, на средние места, выяснится, что отношение необходимо остается прежним35.

То есть пропорция обладает таким свойством, что при соответст­ вующей перестановке ее членов математическое выражение не изменяется:

а : b = Ъ : с <=> Ъ : а = с : Ъ.

Для Платона это означает, что члены пропорции «образуют между собой единство»36, и он использует эту идею при объяснении зарождения Вселенной. Дело в следующем: для Творца проблема состояла в соединении несовместимых элементов (огня, земли,

33Berger. Proportion bei Platon.

34Ibid. S. 61.

35Тимей. 31c-32a.

36Тимей. 32a.

204 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

воды и воздуха) таким образом, чтобы из них возникло унифици­ рованное, устойчивое произведение. Именно это требование и выполняет пропорция, на основании следующего ее качества:

Однако два члена сами по себе не могут быть хорошо сопряжены без третьего, ибо необходимо, чтобы между одним и другим родилась некая объединяющая их связь. Прекраснейшая же из связей такая, которая в наибольшей степени единит себя и связуемое, и задачу эту наилучшим образом выполняет пропорция37.

При этом рассматриваемой выше трехчленной пропорции хватило бы, если бы Вселенная была плоскостью, но поскольку она является телом, то возникает необходимость в пропорции с 4 членами: огонь, воздух, вода, земля.

огонь : воздух : вода = воздух : вода : земля.

Это значит, что отношения между парами этих элементов соответ­ ствуют друг другу:

огонь : воздух = воздух : вода = вода : земля.

Платон заканчивает свое размышление словами:

На таких основаниях и из таких составных частей числом четыре родилось тело космоса, упорядоченное благодаря пропорции, и благодаря этому в нем возникла дружба, так что разрушить его самотождественность не может никто, кроме лишь того, кто сам его сплотил38.

Понятно, что Платон использует математическую пропорцию в ограниченном смысле. Так пишет и Бергер: «При описании струк­ туры элементов понятие "среднего пропорционального" лишается

Там же. 31Ь.

Тимей. 32с. Диоген Лаэртский описывает цель этой конструкции таким образом: «Мир состоит из огня, воды, воздуха, земли; из огня — чтобы быть видимым, из земли — чтобы быть твердым, из воды и воздуха — чтобы быть связным (ибо твердые силы связуются двумя промежуточными, чтобы из Всего возникло Единое), и, наконец, из всех вместе — чтобы быть завершенным и безущербным» (DL. III, 73).

Пропорции 205

своего количественного аспекта, принятого в математике. Речь идет не об определении размера или числа; количество не имеет зна­ чения. На элементы переносится только качественный аспект мате­ матического высказывания. Именно такого чисто качественного среднего пропорционального — что математически невозможно — ищет Платон, когда представляет структуру 4 элементов в виде математической модели. Я исключаю вероятность того, что Платон намеревался впоследствии представить с количественной, арифме­ тической точки зрения при расчете круговорота элементов такое качественное соотношение элементов, существование которого предполагается в этом отрезке. Да и как можно было бы определить соотношение двух типов треугольников между собой? Высказы­ вание вида "огонь : вода = 24 треугольника типа А : 24 треугольника типа В" малопоказательно» .

Однако можно задать вопрос, не имел ли Платон в виду спе­ циальную формулу золотого сечения, а вовсе не любую пропорцию а : Ь = Ь : с ? В этом случае с = а - Ъ, и пропорция выглядит как

а:Ь = Ь:(а-Ь).

В геометрической интерпретации: «Данный отрезок поделен на две части таким образом, что отношение большей части к меньшей равно отношению всего отрезка к его большей части». Или в обыч­ ной формулировке, с величинами а = 1 и Ъ = х:

согласно золотому сечению, то одна его сторона должна составлять 0,618... от другой стороны. Это особое отношение воспринимается не только как красивое и гармоничное и, следовательно, играет значительную роль в искусстве и архитектуре, но и встречается во

Berger. Proportion bei Platon, S. 144-145.

Этот вопрос поставил M. В. Быстрое в своем докладе «Знал ли Платон о "золотой пропорции"?» на XXI Всероссийской конференции «Универсум платоновской мысли», проходившей в Санкт-Петербурге 26-27 июня 2013 г.

206 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

многих природных явлениях. Математически же интересно сле­ дующее: если мы возьмем за исходный отрезок не 1, a JC, а за большую часть возьмем (1 - JC), ТО меньшая часть получится равной

пропорция принимает следующий вид:

J C : ( 1 - JC) = ( 1 - J C ) : ( 2 J C - 1 ) .

Из этого мы опять получаем квадратное уравнение JC + JC - 1 = 0 и JC = 0,618..., т. е. мы вновь имеем золотое сечение, только в уменьшенном масштабе. И это можно повторить сколько угодно раз

— перед нами классический пример фрактала. Поэтому, если Платон в своей пропорции имел в виду особую формулу золотого сечения, тогда в ней выражались бы качественные аспекты (такие, как красота, гармония), а не количественные и эти аспекты нахо­ дились бы в уменьшенном масштабе везде во Вселенной.

Бергер проанализировала большое количество примеров того, как Платон применял пропорции; мы приведем по крайней мере еще один из них, чтобы увидеть, как Платон берет учение о пропорциях из математики и применяет в своих целях. Он говорит в «Горгии», что в некоторых областях существуют некие «неполно­ ценные» виды деятельности, которые при этом претендуют на более высокий статус, и выражает эту мысль в следующем кратком вы­ сказывании:

Чтобы быть покороче, я хочу воспользоваться языком гео­ метрии, и ты, я надеюсь, сможешь за мною уследить: как украшение тела относится к гимнастике, так софистика относится к искусству законодателя, и как поварское дело — к врачеванию, так красноречие — к правосудию41.

Бергер говорит по этому поводу следующее: «Короткая "формула" с последующим объяснением является стандартным способом рассуждений Платона. Сначала Платон выбирает короткую, резюмирующую формулировку, которая может быть загадочной. Тогда собеседник часто отвечает: "Я не понимаю". За этим выражением непонимания следует подробный комментарий.

41 Горгий. 465Ь-с.