174 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

утверждение истинным или ложным. Возможность его доказать или

опровергнуть не имеет ничего общего с его истинностью или

285

ложностью. Таково же отношение платоника к СН . СН либо действительно истинно, либо действительно ложно, даже если мы не можем доказать ни того ни другого» 86.

2.12. Высшая польза математики

Платон был, без сомнения, очарован математикой и с оживленным интересом следил за ее развитием, особенно тогда, когда она не была связана с непосредственным «практическим применением». Тем не менее самые глубокие устремления Платона были не математическими — и в принципе даже не философскими, — а гуманистически-просветительскими. Это отчетливо видно из сле­ дующей цитаты, в которой Платон описывает состояние невежест­ венного человека:

Кто не в силах с помощью доказательства определить идею блага, выделив ее из всего остального; кто не идет... сквозь все препятствия, стремясь к опровержению, основанному не на мнении, а на понимании сущности; кто не продвигается через все это вперед... — про того, раз он таков, ты скажешь, что ему неведомо ни самое благо, ни какое бы то ни было благо вообще, а если он и прикоснется каким-то путем к призраку блага, то лишь при помощи мнения, а не знания.

СН означает «континуум-гипотеза» — знаменитая проблема теории множеств. Она предполагает, что «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет. Доказать эту гипотезу не удалось, и наконец Гедель и Коэн показали, что на основе аксиом теории множеств можно принимать эту гипотезу или не принимать, и это не приведет к противоречиям. В этом смысле гипотеза «неразрешима». При этом платоник все равно уверен, что «в реальности» гипотеза либо истинна, либо нет, несмотря на то что мы не можем узнать, какая возможность действительна (по крайней мере пока...).

Brown. Philosophy of Mathematics. P. 182. Более подробно мы обсудим эти убеждения платоников в Приложении А.

Высшая польза математики 175

Такой человек проводит нынешнюю свою жизнь в спячке и сновидениях, и, прежде чем он здесь пробудится, он, придя в

Математика особенно помогает в том, чтобы очнуться от сонного состояния невежества88 и приблизиться к истинному знанию и самопониманию. Дело в том, что математик продвигается в поле абстрактности с помощью разума. При этом надо заметить, что слово «абстрактность» не имеет здесь оттенок «нереальности», поэтому Р. Штайнер по праву предпочитал выражение «свободное от чувственности мышление» и настаивал на том, что это «не

абстрактное мышление, а очень, очень настоящее, реальное мыш-

289

ление» . Это мышление возникает тогда, когда исчезают пред­ ставления, вызванные внешними явлениями. Поэтому Штайнер считает, что лозунг «Негеометр да не войдет!» призывает не к ценности обычной школьной геометрии (которая, конечно, необхо­ дима как основание), а к успешному достижению «свободного от чувственности мышления» ***. Такая математика, в которой истин­ ное познание приобретается не с помощью чувств, а с применением чистого разума, является примером для философии. Таким обра-

287Государство. 534с. Ср. 484с, где Платон различает «слепых» и людей, имеющих «острое зрение».

Ср. слова Лапласа: «Сохраним же тщательно и умножим сокровищницу этих возвышенных знаний, отраду мыслящих существ. Эти знания сослу­ жили важную службу мореплаванию и географии. Но их гораздо большее значение состоит в том, что они рассеяли страхи, вызываемые некогда небесными явлениями, и уничтожили заблуждения, рождавшиеся от не­ знания наших истинных отношений с природой. Заблуждения и страхи, которые очень скоро возродились бы, если бы светоч науки погас» (Лаплас. Изложение системы мира. С. 318).

289Steiner. Mythen und Sagen. S. 246.

290«Когда [у человека] исчезают представления, вызванные внешними явле­ ниями, тогда он понимает, что подразумевал греческий философ Платон, когда писал над воротами своей школы: "Негеометр да не войдет!" Смысл таков: не должен входить тот, кто не может подняться до свободного от чувственности мышления» (Ibid. S. 244).

176 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

зом, она учит нас направлять взгляд не вниз, а наверх2 \ не к тому, что возникает и исчезает снова и снова, а к истинному, бессмерт­ ному существующему:

Это наука, которой занимаются ради познания вечного бытия, а не того, что возникает и гибнет. — Хорошая оговорка: действительно, геометрия — это познание вечного бытия. — Значит, она влечет душу к истине и воздействует на философскую мысль, стремя ее ввысь, между тем как теперь она у нас низменна вопреки должному292.

Однако Главкон, собеседник Сократа, все еще понимает математику с обычной точки зрения, задумываясь прежде всего о ее практической пользе — для военного искусства, земледелия, корабельного дела и т. д. Такая польза не оспаривается Сократом293, но обозначается как в лучшем случае второстепенная:

Это не означает, конечно же, «смотреть вверх на небо» в буквальном смысле, как это саркастически описывает Сократ: «Ты великолепно, помоему, сам про себя решил, что такое наука о вышнем. Пожалуй, ты еще скажешь, будто если кто-нибудь, запрокинув голову, разглядывает узоры на потолке и при этом кое-что распознает, то он видит это при помощи мышления, а не глазами. Возможно, ты думаешь правильно, — я-то ведь простоват и потому не могу считать, что взирать ввысь нашу душу заставляет какая-либо иная наука, кроме той, что изучает бытие и незримое. Глядит ли кто, разинув рот, вверх или же, прищурившись, вниз, когда пытается с помощью ощущений что-либо распознать, все равно, утверждаю я, он никогда этого не постигнет, потому что для подобного рода вещей не существует познания и человек при этом смотрит не вверх, а вниз, хотя бы он и лежал ничком на земле или умел плавать на спине в море» (Государство. 529Ь-с).

292Государство. 527с.

293См. также: Алкивиад I. 126с — «А благодаря какому искусству государства приходят к согласию относительно числа? — Благодаря искусству арифметики. — Ну а частные лица? Разве не благодаря тому же искусству? — Да, так. — И каждый с самим собой согласен относительно числа благодаря этому же искусству? — Да. — Ну а благодаря какому искусству каждый согласен с самим собой относительно пяди и локтя — какая из этих мер больше? Разве не благодаря измерительному?»

Высшая польза математики 177

Главной: Поскольку геометрия применяется в военном деле, ясно, что подходит. При устройстве лагерей... и разных других военных построениях, как во время сражения, так и в походах, конечно, скажется разница между знатоком гео­ метрии и тем, кто ее не знает. — Сократ: Но для этого было бы достаточно какой-то незначительной части геометрии и счета. Надо, однако, рассмотреть преобладающую ее часть, имеющую более широкое применение: направлена ли она к нашей цели, помогает ли она нам созерцать идею блага?294

Подлинная польза математики состоит в том, что душа, которая занимается математикой, очищается и делается «видящей»:

Между тем вот что очень важно, хотя поверить этому трудно: в [математических] науках очищается и вновь оживает некое орудие души каждого человека, которое другие занятия губят и делают слепым, а между тем сохранить его в целости более ценно, чем иметь тысячу глаз, — ведь только при его помощи можно увидеть истину295.

На эту «более высокую пользу» надо обращать внимание также при занятии другими науками, например, астрономией:

Как, по-твоему, следует изучать астрономию в отличие от того, что делают теперь? В чем польза ее изучения для нашей цели? — А вот как. Эти узоры на небе, украшающие область видимого, надо признать самыми прекрасными и совер­ шенными из подобного рода вещей, но все же они сильно уступают вещам истинным с их перемещениями друг отно­ сительно друга, происходящими с подлинной быстротой и медленностью, в истинном количестве и всевозможных истинных формах, причем перемещается все содержимое. Это постигается разумом и рассудком, но не зрением. Или, по-твоему, именно им? — Ни в коем случае. — Значит, небесным узором надо пользоваться как пособием для изучения подлинного бытия, подобно тому как если бы нам

Государство. 527d. Государство. 527d-e.

178 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

подвернулись чертежи Дедала или какого-нибудь иного мастера либо художника, отлично и старательно вычер­ ченные. Кто сведущ в геометрии, тот, взглянув на них, нашел бы прекрасным их выполнение, но было бы смешно их всерьез рассматривать как источник истинного познания равенства, удвоения или каких-либо иных отношений296.

На важность для Платона этого аспекта математики также указывает следующее место из беседы Сократа с Главконом:

Но конечно, сказал он, не меньше это наблюдается и в том случае, когда мы созерцаем тождественное: одно и то же мы видим и как единое, и как бесконечное множество. — Раз так бывает с единицей, сказал я, не то же ли самое и со всяким числом вообще? — Как же иначе? — Но ведь арифметика и счет целиком касаются числа?... — И оказывается, что как раз они-то и ведут к истине... Значит, они принадлежат к тем познаниям, которые мы искали. Воину необходимо их усвоить для войскового строя, а философу — для постижения сущности, всякий раз, как он вынырнет из области становящегося, иначе ему никогда не стать мыслителем297.

Способность математики к достижению «более высоких»

знаний хорошо иллюстрируется также платоновским мифом о

298

пещере . Воспитание математического мышления приводит к освобождению человека от оков, и его ослепленные вначале глаза направляются от силуэтов к настоящим вещам. Однако, если такой просвещенный возвратится в пещеру, он будет принят враждебно, так как те, кто не насладились математическим образованием, ничего не понимают в истинном мире вне пещеры. Это, конечно, досадно, но выхода нет: Extra matematikam nulla salus .

296Там же. 529с-е.

297Государство. 525а-Ь.

298Там же. 514-518.

299Это относится, впрочем, не только к философии, но и к политике, что, по мнению Рассела, является некоторым преувеличением: «Нам представ-

Высшая польза математики 179

Изначально для Платона было важно, чтобы люди, облеченные властью, не оставались в пещере, а вышли из нее и позволили «открыть себе глаза». Такое «просвещение», к сожалению, не про­ исходит легко и автоматически, так как некомпетентный человек в

общем вполне доволен своим незнанием, которое он не осознает в

300

качестве такового . Поэтому нужны законы, которые предписы­ вают занятия математикой. Платон в «Государстве» вменяет в обязанность такие занятия стражам, в то время как соответст­ вующее образование не предусмотрено для третьего класса и даже рассматривается как нежелательное:

Тамошним правителям, я полагаю, просто невыгодно, чтобы у их подданных рождались высокие помыслы...301

Однако в написанном под конец жизни произведении «Законы» Платон изменил этот элитарный подход: теперь он требует обу­ чения всего населения, причем такого обучения, которое устраняет не только незнание, но и гораздо более опасное неполное знание:

Афинянин: Да, я опасаюсь и того, о чем ты сейчас говоришь, но еще более боюсь я людей, прикоснувшихся к этим наукам, но прикоснувшихся плохо. Полное невежество вовсе не так страшно и не является самым великим из зол, а вот много­ опытность и многознание, дурно направленные, — это гораздо более тяжелое наказание302.

ляется неразумным настойчивое требование Платона об обучении младшего Дионисия, тирана Сиракуз, геометрии, чтобы сделать из него хорошего царя, но, с точки зрения Платона, это было необходимо. Он был в достаточной степени пифагорейцем, чтобы считать, что без математики невозможно достичь подлинной мудрости» (Рассел. История западной философии. С. 151).

300«Не занимаются философией и не желают стать мудрыми опять-таки и невежды. Ведь тем-то и скверно невежество, что человек и не прекрасный, и не совершенный, и не умный вполне доволен собой» (Пир. 204а).

301Пир. 182с.

302Законы. 819а.

Высшая польза математики 181

существуют несоизмеримые отрезки. В ответ на это невежество нужно сказать: «Лучшие из эллинов, это и есть одна из тех вещей, не знать которые, как мы сказали, позорно»305.

Мы видим здесь, что, согласно позднему Платону, математи­ ческие знания важны не только для господствующих классов, но и для всех эллинов. Эти знания, не имеющие практической пользы, которыми невозможно заработать деньги, должны, однако, форми­ ровать дух народа и просвещать его.

Эту цель занятий по математике, заданную Платоном, удачно сформулировал Прокл следующими словами: «Следует заниматься той геометрией, которая с каждой теоремой делает шаг на пути к горнему и подымает душу ввысь, и не позволяет ей опускаться в область чувственно воспринимаемого и применять геометрию к обычным человеческим нуждам, в погоне за которыми забывают о бегстве отсюда»306.

Можно спросить: занимаемся ли мы сегодня «той геометрией», той математикой? Тот, кто изучал математику в наших универси­ тетах, вполне может в этом усомниться. Тамошние преподаватели вынуждены готовить будущих научных тружеников, а число математических предметов столь велико, что заниматься «философскими вопросами» у многих профессоров и студентов нет ни времени, ни даже желания. Что же касается самих философов, то Андреас Шпайзер сожалел, что наши университеты допускают обучение философии без математики. Философия как предмет высшей школы, сказал он, «беспрерывно меняет форму и содержание так сильно, что это вызывает удивление. Только одно неизменно в течение последних 100 лет, а именно то, что при этом

307

математика остается чужой на этом празднике жизни»

Там же. 820Ь.

Прокл Диадох. Комментарий к первой книге «Начал» Евклида. Введение. Ч. II. Гл. 20.

Speiser. Elemente der Philosophie und der Mathematik. S. 9-10.

182 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

Интересно, что есть место, где серьезно используют математику в качестве подготовки для высшего философского мышления, но мало кто знает о нем. Это математико-астрономическая секция в Гетеануме в Дорнахе (Швейцария). На ее примере можно увидеть, как основательная математическое подготовка может способство­

вать философскому мышлению и расширять его границы, служа для

308

него подготовительной ступенью . В настоящей книге, к сожале­ нию, невозможно представить подобный курс, но в Приложениях Г11 и Г12 мы предлагаем два таких предварительных упражнения.

И вот еще что: во всех произведениях Платона видно его убеждение, что наука должна служить в конечном счете не только просветительским, но и этическим целям. Гайденко коротко и удачно выразила это таким образом: «Платон прочно связывает теоретическое познание — науку — с жизнедеятельностью человека и общества. Ни одна из наук не является для него частной в том смысле, как это впоследствии понимал Аристотель: все они

См. публикации Гетеанума, напр.: Locher-Ernst L. Mathematik als Vorschule zur Geist-Erkenntnis. Dornach: Philosophisch-Anthroposophischer Verlag,

1973; Locher-Ernst L. Urphänomene der Geometrie. Dornach: Philosophisch-

Geisteswissenschaft. Dornach: Philosophisch-Anthroposophischer Verlag, 1992; Ziegler R. Platonische Körper: Verwandtschaften — Metamorphosen — Umstülpungen. Dürnau: Kooperative Dürnau, 1998; Adam P., Wyss A.

Platonische und Archimedische Körper, ihre Sternformen und polaren Gebilde. Stuttgart: Verlag Freies Geistesleben, 1994; Штайнер Р. Четвертое измерение. Математика и действительность. М.: Титурель, 2007; Рудольф Штайнер и многомерное пространство. М.: Титурель, 2010. — Многие считают, что в антропософском движении есть «чересчур эзотерические» учения. Я не высказываю здесь свое мнение об этом, хочу только сказать, что как минимум математическая часть антропософии заслуживает внимания — Л. Лохер-Эрнст, например, был профессором математики в техническом институте Винтертура (Швейцарии) и серьезным мыслителем, а Р. Циглер

— доктором математических наук.

Гайденко. История греческой философии в ее связи с наукой. С. 179.

Высшая польза математики 183

«средство», «пример», «путь» — можно разными словами описы­ вать роль математики в нахождении правильного и справедливого образа личной и общественной жизни, но важно, что математика играет такую роль. «Если есть общая аналогия существующего, то можно исследовать ее с помощью математики, а затем, с другой стороны, более определенно выводить из нее нормы и законы политического строя» . Можно сформулировать это и более философски: «Путь познания ведет от отдельного математического наблюдения к совокупности математического знания и к обзору раз­ личных математических дисциплин и, наконец, отсюда к единому

— обобщающему все существующее — систематическому и ноэтическому познанию наивысших причин» ] !.

Мы хотели бы завершить данный параграф комментарием, кото­ рый хорошо подходит к «числовым текстам» Платона, к их смыслу, к их возможностям и к их ограниченности. В. А. Карпунин, коммен­ тируя труд Рене де Клере, попробовавшего представить математи­

ческую модель творения вселенной Богом 12, писал, что тот «интер-

д

претировал формулу 7Г = 0° и л и А - О · » таким образом, что фор­ мула "Вселенная = 0·α> = Бог" производит мир "из ничего" = нуль ("ничто"), помноженный (творящая сила Бога) на конкретную

жает: «Разумеется, приведенная цепочка равенств не является ни доказательством бытия Божия... ни доказательством сотворения вселенной Богом. Она представляет собой не более чем некоторую модель, иллюстрацию на языке математики убеждения в том, что

Gaiser. Piatons Menon und die Akademie. S. 245. Ibid. S. 262.

Клере Р. де. Математическое доказательство необходимости Бытия Божия. Сергиев Посад: Издательство А. Трепова, 1915.

Карпунин. Актуальная бесконечность и некоторые традиционные аргу­ менты в пользу бытия Божия. С. 345-346.