Проблемы логического мышления 127

числами и геометрическими величинами, т. е. если бы он имел в своем распоряжении иррациональные числа, хотя бы не строго обоснованные, но принятые на веру. Но в это время этого не было, да и не могло быть» . Декарт использует буквы, но мыслит их не

как числа, а как отрезки. Например, величину χ « — он строит геометрически (рисунок приводит Мордухай-Болтовской):

Этот пример еще раз показывает нам разницу между нашими и древнегреческими математическими представлениями и методами.

2.9. Проблемы логического мышления

В параграфах 2.10 и 2.11 мы рассмотрим две математические области с целью показать, как Платон, всегда стремившийся избегать сомнительных соображений, пытался создать методологию правильного научного мышления и какие средства он предлагал для достижения этой цели. Чтобы понять важность этого стремления, мы предварительно остановимся на проблемах логического мышления — как на элейских апориях1 , так и на «софистических

Мордухай-Болтовской. Философия — Психология — Математика. С. 375.

См., напр.: Парменид 127d—128а — «Прослушав все, Сократ попросил прочесть снова первое положение первого рассуждения и после прочтения его сказал: — Как это ты говоришь, Зенон? Если существует многое, то оно должно быть подобным и неподобным, а это, очевидно, невозможно, потому что и неподобное не может быть подобным, и подобное —

128 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

подвохах» . Платон стремился избегать и того и другого , но для этого он должен был обратиться к логическим проблемам, постав­ ленным элейцем Зеноном и софистом Протагором.

Платон иногда говорил о софистах иронически и язвительно170, но хорошо понимал, что этого недостаточно для научного спора. Ведь зачастую было трудно или даже невозможно точно определить

неподобным. Не так ли ты говоришь? — Так, — ответил Зенон. — Значит, если невозможно неподобному быть подобным и подобному — неподобным, то невозможно и существование многого, ибо если бы многое существовало, то оно испытывало бы нечто невозможное? Это хочешь ты сказать своими рассуждениями? Хочешь утверждать вопреки общему мнению, что многое не существует? И каждое из своих рассуждений ты считаешь доказательством этого, так что сколько ты написал рассуждений, столько, по-твоему, представляешь и доказательств того, что многое не существует? Так ли ты говоришь, или я тебя неправильно понимаю? — Нет, — сказал Зенон, — ты хорошо схватил смысл сочинения в целом».

Теэтет. 154d. Софизм — это ложное умозаключение, которое тем не менее при поверхностном рассмотрении кажется правильным. В отличие от этого, апория — это аргумент, который не содержит логической ошибки (по крайней мере, легко обнаруживаемой), но приводит к парадоксальному выводу.

В реальности не всегда легко определить разницу между софизмом и апорией. Парадокс Ахилла, например, носит в себе черты и софизма, и апории. Вспомним, что однажды платоновский Сократ представил Зенона настоящим софистом: «В самом деле, он написал примерно то же, что и ты, но с помощью переделок старается ввести нас в заблуждение» (Парменид. 128а).

«Если бы мы... были великими мудрецами, изведавшими все глубины сердца, и нам от избытка премудрости оставалось бы только ловить друг друга на софистических подвохах, то... мы могли бы отражать одно рас­ суждение другим» (Теэтет. 154d); «Не дай бог, чтобы кто-нибудь из моих родных, домашних или друзей, здешних или иноземных, настолько сошел с ума, чтобы идти к ним себе на погибель. Ведь софисты — это очевидная гибель и порча для тех, кто с ними водится» (Менон. 91с); «Между тем, кто так говорит, они-то и являются величайшими софистами, в совершенстве умеющими перевоспитывать и переделывать людей на свой лад — юношей и стариков, мужчин и женщин» (Государство. 492а); «...искусный чародей, колдун и софист» (Пир. 203d); «Софист оказался у нас обладателем какогото мнимого знания обо всем, а не истинного» (Софист. 233с).

Проблемы логического мышления 129

ошибку в их аргументации171. Что же касается апорий Зенона172, то Платон прекрасно видел всю их сложность и парадоксальность. Неудивительно, что еще молодой Сократ в диалоге «Парменид» восклицает:

Клянусь Зевсом, определить это мне представляется делом совсем не легким173.

Но и сам Парменид и уже опытный Зенон признают трудность некоторых вопросов, как мы видим из следующего разговора:

Тяжкое бремя возлагаешь ты, Сократ, на старика, ответил Парменид... Будем, Сократ, [сказал Зенон] просить самого

«Ведь в действительности то, о чем зашла теперь речь, не так просто, как, может быть, понадеется кто-то, судя по вопросу, но нуждается в длинном рассуждении» (Софист. 217е); «Видишь, как справедливо говорят, что зверь этот [софист. — В. 3.] пестр и что, по пословице, его нельзя поймать одной рукой» (Софист. 226а); «Человек этот поистине удивителен, и его весьма затруднительно наблюдать; он и в настоящее время очень ловко и хитро укрылся в трудный для исследования вид» (Софист. 236d); «Вполне справедливо, чужеземец, было вначале сказано о софисте, что род этот неуловим» (Софист. 261а). См. также рассуждения Платона в «Теэтете» (152-155), в частности, о мысли Протагора, «что ничто не существует само по себе как одно» (Теэтет. 153е). После нескольких попыток проникнуть в суть дела Сократ характеризует каверзное положение следующим образом: «Вот эти три допущения и сталкиваются друг с другом в нашей душе, когда мы толкуем об игральных костях или когда говорим, что я в своем возрасте, когда уже не растут ни вверх, ни вниз, в какой-то год то был выше тебя, то вскоре стал ниже, причем от моего роста ничего не убавилось, просто ты вырос. Ведь получается, что я стал позже тем, чем не был раньше, пропустив становление. А поскольку нельзя стать не становясь, то, не потеряв ничего от своего роста, я не смог бы стать меньше. И с тысячью тысяч прочих вещей дело обстоит так же, коль скоро мы примем эти допущения» (155Ь—с).

См.: Diels. Vorsokratiker, Zenon В 1-2. См. также интерпретацию Уоллеса Мэтсона, согласно которой Зенон «не претендовал на доказательство невозможности движения, а скорее демонстрировал, что оппоненты Парменида оказываются в глупом положении, когда их логично подводят к отрицанию движения» (Matson. Zeno moves! P. 88).

Парменид. 131e.

130 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

Парменида: не так-то просто то, о чем он говорит. Разве ты не видишь, какую задачу задаешь?., ведь большинство не понимает, что без всестороннего и обстоятельного разыс­ кания и даже заблуждения невозможно уразуметь истину174.

Диалог «Парменид», прекрасно показывающий проблематич­

ность логического мышления, завершается следующим высказы-

175

ванием, которое напоминает некую «замысловатую игру» Выскажем же... что существует ли единое или не существует, и оно и иное, как оказывается, по отношению к

самим себе и друг к другу безусловно суть и не суть, кажутся

176

и не кажутся На серьезность зеноновских вопросов и их влияние на Платона

указывала и П. Гайденко: «Зенон Элейский впервые логически проанализировал проблему единого и многого, тем самым поставив в центр внимания проблему бесконечности, имеющую огромное значение не только для логики и философии, но и для математики...

Проблема обоснования математики теперь оказывалась тесно

174Парменид. 136d-e.

175Там же. 137Ь.

176Там же. 166с. См. также высказывание В. Ф. Асмуса: «По учению, развиваемому в "Пармениде", бытие, поскольку оно рассматривается само по себе, едино, вечно, тождественно, неизменно, неподвижно, без­ действенно и не подлежит страданию. Напротив, то же самое бытие, поскольку оно рассматривается через свое иное, множественно, возникает, содержит в себе различия, изменчиво, подвижно и подлежит страданию. Поэтому, согласно полному определению своей сущности, бытие одновременно и едино и множественно, и вечно и преходяще, и неизменно и изменчиво, и покоится и не покоится, и движется и не движется, и действует и не действует, и страдает и не страдает. В каждой паре этих определений все вторые определения высказываются как определения иного. Но так как иное есть иное по отношению к бытию, или, другими словами, иное бытия, то все эти определения оказываются определениями также и самого бытия. Итак, бытие как по самой своей природе (онтологически), так и по своему понятию (гносеологически и логически) заключает в себе противоположные определения» (Асмус. Платон. С. 86).

Проблемы логического мышления 131

связанной с проблемой обоснования возможности научного знания вообще. Решение обеих и взял на себя Платон»177.

Но, строго говоря, Платон не смог найти решения — и это не удивительно. Здесь кроются проблемы, которые до сих пор вызывают серьезные дискуссии. Известный философ и логик У. Куайн писал: «В этом и состоит старая платоновская загадка небытия. Небытие должно в каком-то смысле быть. Иначе что это, чего нет? Эту запутанную доктрину можно назвать бородой

Платона, и она исторически доказала свою жесткость, часто

178

притупляя лезвие бритвы Оккама» . Сам Куайн в своем довольно пространном трактате попытался найти более-менее однозначный выход из этой дилеммы, но интересно, что это оказывается практически невозможно без некоторых компромиссов179.

Гайденко. Обоснование научного знания в философии Платона. С. 100— 101.

Куайн. С точки зрения логики. С. 22.

Куайн описывает три возможные позиции: номинализм, концептуализм и платонизм. В принципе сам он склонен к номинализму, но при этом хорошо осознает трудности этой позиции, поэтому он не возражает против «смягченного» номинализма: «Номиналист, или тот, кто сохраняет агностицизм в отношении бесконечности сущностей, все еще может, некоторым обходным путем, приспособиться к математике тех, кто вы­ ступает приверженцем бесконечности — концептуалистам или платонистам. Хоть он не может поверить в такую математику, он может сформулировать правила ее выполнения. Но ему хотелось бы также показать, что любая служба, которую классическая математика осущест­ вляет для науки, может в теории, хотя и менее просто, равным образом осуществляться посредством действительно номиналистических методов

— без помощи бессмысленной математики, чей синтаксис просто описы­ вается номиналистически. И здесь номиналист сокращает для себя работу. Здесь он обнаруживает сильнейшее искушение пойти по более легко про­ ходимому пути концептуалиста, который, приняв соответствующим способом значительный кусок классической математики, нуждается только в том, чтобы показать необязательность теории более высоких бесконеч­ ностей и разрядов действительных чисел. Тактически концептуализм, без сомнения, оказывается самой сильной позицией из трех: ибо утомленный номиналист может снизойти до концептуализма и все-таки успокаивать

132 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

Рассмотрим, в качестве примера «запутанной» ситуации, знаме­ нитую апорию Ахилла180, которая опирается на представление, что сумма бесконечного количества слагаемых является всегда бесконечной. Это является очевидным, если слагаемые — либо одинаковые, либо возрастающие величины:

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... = оо

5 +5 +5 + 5 + . . .

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... = оо

Но иногда это справедливо, даже если слагаемые становятся все меньше и меньше:

1 1 1 1 1 1

— + — + — + — + — + — + ... - оо

2 3 4 5 6 7 Поэтому можно легко впасть в соблазн, решив, что это работает и в

случае парадокса Ахилла, где ряд слагаемых выглядит так:

1 1 1 1 1

— + — + — + — + + ... - оо

2 4 8 16 32 Так как сумма этого ряда бесконечна, Ахилл не может догнать

черепаху. Где же здесь ошибка? Сегодняшний математик, считая себя умнее древних греков, уверен, что может легко разрешить этот парадокс — он просто докажет, что

свою пуританскую совесть размышлением, что он еще не вполне разделяет участь лотофагов с платонистом» (Там же. С. 186-187).

Парадокс Ахилла звучит так: древнегреческий герой Ахилл собирается состязаться в беге с черепахой. Если черепаха стартует немного раньше Ахилла, то ему, чтобы ее догнать, сначала нужно добежать до места ее старта. Но к тому моменту, как он туда доберется, черепаха проползет определенное расстояние, которое нужно будет преодолеть Ахиллу, прежде чем догнать черепаху. Но за это время черепаха уползет вперед еще на некоторое расстояние. А поскольку число таких отрезков бесконечно, быстроногий Ахилл никогда не догонит черепаху!

Проблемы логического мышления 133

На одном из интернет-сайтов мы читаем следующее: «Вплоть до XVII века ученые не могли "перехитрить" черепаху, пока Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц не изложили идею дифференциального исчисления. Люди научились обращаться с бесконечно малыми величинами. Время, за которое Ахилл догонит черепаху, представ­ ляется в виде суммы бесконечного ряда. Каждое следующее слагаемое — время, за которое бегун доберется до очередного "старта" черепахи, становится все меньше и меньше. Основная "хитрость" заключается в том, что такая сумма дает конечный результат — то, что не могли понять древние»181. Бедные древние греки! Они не смогли проникнуть в суть дела... Но, может быть, они лучше нас поняли, что за парадоксами лежат настоящие неразрешимые вопросы? И наш современный математик не решил, а просто закрыл, прикрыл, замазал проблему своими формулами?

(с помощью точек ... изображается бесконечное множество слагае­ мых). Разделив левую и правую сторону уравнения (1) на 2, мы получаем уравнение (2). Получается система А:

(2)1/4 + 1/8 + 1/16+1/32 + ... = S/2

URL: http://mathehelp.ru/201 l/02/paradox-zenon/

Данное доказательство представлено в упрощенной, наглядной форме. Современная математика рассчитывает сумму подобного бесконечного ряда с помощью последовательности частичных сумм и анализа конвер­ генции. Но от этого проблема никуда не исчезает, просто она проявляется в другом месте; см. ниже мнения Беркли, Рассела и фон Фрица. Заинтересованный математик найдет детальное изложение в работе: Spalt. Vom Mythos der mathematischen Vernunft. S. 352-370.

134 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

Если мы вычтем уравнение (2) из уравнения (1), результатом будет просто уравнение (2), и это нам ничего не даст. Но у современного математика «сверкает» идея: он сдвигает уравнение (2) на один шаг вправо и получает систему В:

Если из уравнения (1) вычесть уравнение (2'), то получается «чудо»: на левой стороне исчезают все дроби, и в результате мы получаем следующее:

Следовательно: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1, а не оо, что и требовалось доказать.

На первый взгляд все правильно. Однако все не так просто. Правомерен ли сдвиг уравнения (2) на один шаг вправо? Нельзя делать вид, что система В принципиально не отличается от системы А. Если бы уравнение (2) осталось на месте, т. е. если бы не изменилась система А, мы могли бы увидеть, что предлагаемое вычитание происходит по диагонали:

{(2) 1/4 + 1/8 + 1/16+1/32 +... = S/2

Сейчас мы видим, что представленное доказательство «нечестно». В «ложной» системе В, с помощью которой оно было построено, многоточие в уравнении (1) означает — на первый взгляд\ — то же самое, что и многоточие в уравнении (2'), поэтому все дроби исчезают. Но это настоящее «замазывание»: на самом деле, как мы видим в правильной системе А\ многоточие в уравнении (1) означает ряд, начинающийся со слагаемого 1/32, а многоточие в уравнении (2) означает ряд, начинающийся со

Проблемы логического мышления 135

слагаемого 1/64. Поэтому разница этих двух бесконечных рядов всегда будет выше нуля. И вновь перед нами встает парадокс Ахилла, и вновь нам не удается стать умнее древних греков...183

В цитате из Интернета, приведенной нами выше, говорится, что Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц с помощью дифференциального исчисления смогли «перехитрить» черепаху и, следовательно, загадка Зенона разгадана. Но это иллюзия. Уже Джордж Беркли подверг методы Ньютона и Лейбница строгой критике, подробно доказав, что их ход мышления «не будет справедливым или убедительным»184. Такие выражения, как х, х, х, ... {fluxions Ньютона) или dx, ddx, dddx, ... (differentials Лейбница), дейст­ вительно являются ясными и отчетливыми, разум не затрудняется в их восприятии. «Но если мы приподнимем завесу и посмотрим на то, что за ней скрывается, и если, оставив в стороне словесные обороты, мы поставим себе задачу внимательно рассмотреть сами явления, которые, как полагают, должны определяться или обозначаться упомянутыми оборотами, то мы обнаружим огромную

То, что греки ясно видели суть проблемы, подчеркивает Раик: «Греки обошлись без иррациональных чисел, нашли обходный путь. И понятно почему. На пути построения иррациональных чисел греческие математики встретились с непреодолимым для них препятствием. Понятие несоиз­ меримости, иррациональности связано с понятием бесконечности и непрерывности. Для того чтобы избрать путь развития математики через расширения понятия числа, надо было прежде всего справиться с противоречиями, которые заключены в понятиях бесконечности и непрерывности. Греки прекрасно понимали эти трудности» (Раик. Очерки по истории математики в древности. С. 158). Иногда до сих пор не до конца решенный парадокс — если мне позволено будет привести здесь «математическую шутку» — может оказаться «полезным»; он может служить «оправданием» при невыполненном домашнем задании: «Я смог подойти к моей тетради на бесконечно малое расстояние, но так и не смог до нее дотянуться» (Федин. Математики тоже шутят. С. 209).

Беркли. Аналитик. 13. С. 406. В § 23, например, Беркли покажет, «что итог получается правильным не потому, что отброшенная площадь dy была бесконечно мала, а потому, что эта ошибка была компенсирована другой, противоположной по своему характеру, но равной ошибкой» (Там же. С. 413).

136 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

пустоту, тьму и путаницу и даже, если я не ошибаюсь, — прямые

185

противоречия и нечто невозможное» . Карл Маркс также говорил о ложности и мистифицированности этих методов дифферен­ циального исчисления, которые достигают своих результатов «с помощью фокуса»186.

Критическую точку зрения, показывающую, что проблема Зенона до сих пор так и не решена, поддерживал и Бертран Рассел: «В этом капризном мире нет ничего более капризного, чем посмертная слава. Одной из наиболее заметных жертв превратного мнения потомков является элейский философ Зенон. Его, изобре­ тателя четырех неизмеримо тонких и глубоких аргументов, грубая

Беркли. Аналитик. 8. С. 402.

«Итак, экспериментальным путем — уже на втором шагу — неизбежно при­ шли к выводу о необходимости отбросить dx2, чтобы получить не только правильный, но вообще какой-нибудь результат. Но, с другой стороны, имели перед собой в Ixdx + dx2 правильное математическое выражение (вторые и третьи члены) бинома (х + dx)2. Что этот математически правиль­ ный результат основывается на столь же математически ложном в самом основании предположении, будто бы х\-х = ах с самого начала есть не что иное, как *I-JC = dx, — этого не знали. Иначе тот же результат был бы получен и предложен математическому миру не с помощью фокуса, а по­ средством алгебраической операции простейшего типа. Итак, сами верили в таинственный характер новооткрытого исчисления, которое давало пра­ вильные (и притом в геометрическом применении прямо поразительные) результаты математически положительно неправильным путем. Таким образом, сами себя мистифицировали и тем более ценили новое открытие, тем более бесили толпу старых ортодоксальных математиков и вызывали с их стороны враждебные вопли, будившие отклик даже в мире неспециа­ листов и необходимые для прокладывания пути новому» (Маркс. Матема­ тические рукописи. С. 169). Или: «Утешение, за которое крепко держатся некоторые рационализирующие математики, что якобы количественно dy и

dx в действительности являются лишь бесконечно малыми, лишь близко к 0/0, есть химера...» (с. 33). Или «Мистическое дифференциальное исчис­ ление X] = χ + Ах сразу превращается в xj = χ + dx, где dx предпосылается с помощью метафизического разъяснения. Сперва существует, а затем разъясняется» (с. 165). Или же: «Здесь, как и всюду, важно сорвать с науки покров тайны» (с. 193). О «диалектической» интерпретации dx/dy Марксом см.: Там же. С. 289-293.

Проблемы логического мышления 137

манера мышления последующих философов провозгласила не более чем искусным жонглером, а все его аргументы — лишь софизмами. После двух тысяч лет непрерывного отвержения эти софизмы были восстановлены в правах и легли в основу математического возрождения...»1

Похожую идею высказывает Курт фон Фриц: «Хотя они [аргументы Зенона] часто отбрасывались как логическая бессмыс­ лица, было предпринято множество попыток, чтобы избавиться от них с помощью математических теорем, таких как теория сходя­ щихся рядов или теория множеств. Однако в конечном итоге трудности, вытекающие из его аргументов, всегда возвращались с удвоенной силой, поскольку человеческий разум построен таким

образом, что может смотреть на континуум двумя способами,

188

которые не полностью совместимы друг с другом» Д. Гилберт и П. Бернайс обращают внимание на то, что в пара­

доксе Ахилла скрыта еще одна сложность: «Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов все-таки сходится и таким образом дает конечный промежуток времени. Однако это рассуж­ дение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бес­ конечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе

даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на

189

самом деле все-таки должна завершиться» . В. Хайч подтверждает

Russell. The Principles of Mathematics. P. 352. (См. также P. 328-336 и 340343, где представлены решения Зеноновых парадоксов Расселом).

Fritz К. von. Western philosophy — Ancient Greek and Roman Philosophy — Epistemology of Appearance // Encyclopaedia Britannica.

Гилберт, Бернайс. Основания математики. С. 40. В связи с этим см. также следующую цитату: «Математика — это интеллектуальное приключение, и было бы разочарованием, если бы ее прозрения могли быть оправданы в понятиях или процедурах, которые мы могли бы в полной мере описать. Каково ее отношение к поэзии? Только то, что как математика, так и

13 8 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

это рассуждение с точки зрения марксистско-ленинской фило­ софии: математически можно доказать, что заключение Ахилла

является ошибочным, «но настоящее логическое затруднение таким

190

образом еще не устранено» Платон — в отличие от упомянутых Расселом современных

философов с их «грубой» манерой мышления — хорошо осознавал серьезность элейских, так же как и софистических проблем. И он четко видел суть зеноновских парадоксов, т. е. фундаментальные различия между сферой дискретных чисел и континуумом, между

сферой «покоя» и сферой «движения», и проблему перехода из

191

одной сферы в другую . Здесь скрываются вопросы такого рода:

поэзия представляются отчасти творениями, а отчасти открытием чего-то фундаментального в самих себе и окружающем мире. Элегантность, плодо­ витость и глубина — это важные качества в обеих дисциплинах, а за ними обеими скрывается неполнота и непостижимая странность» (Holcombe. Truth in mathematics. URL: http://www.textetc.com/theory/truth-in-mathematics.html).

190Heitsch. Mathematik und Weltanschauung. S. 296. Другой автор марксистсколенинского направления видит те же проблемы в другом знаменитом парадоксе: «Сложной для философской интерпретации является и апория "покоящаяся стрела", так как основной вывод, который в виде парадокса получается из ее анализа, — "тело и находится в этой точке, и не находится в ней" — вступает как бы в противоречие с формально-логическим законом недопустимости противоречия. Впрочем, как нами уже отмечалось, любой логический парадокс в конце концов не согласуется с упомянутым законом. Потому-то он и является парадоксом, который (в отличие от софизма и паралогизма) не связан с логической ошибкой» (Жуков. Философские основания математики. С. 73). Проблема, очевидно, глубока: невозможно свести непрерывное (изменяемое) к дискретному (устойчивому), как это, кстати, замечал и сам Маркс: «Этот скачок из обыкновенной алгебры, и притом с помощью обыкновенной алгебры, в алгебру переменных принимается за совершившийся факт, он не доказывается и, первым делом, противоречит всем законам обыкновенной алгебры...» (Маркс. Математические рукописи. С. 207).

191См. Парменид. 156c-d: «А когда оно [единое], находясь в движении, останавливается или из покоя переходит в движение, то, полагаю я, оно не должно пребывать ни в каком времени... Прежде покоясь, а затем двигаясь и прежде двигаясь, затем покоясь, оно не будет в состоянии испытывать это, не подвергаясь изменению... Ведь не существует времени, в течение

Проблемы логического мышления 139

как можно представить себе отрезок в виде совокупности точек? Ведь точка имеет «длину», равную 0, и, следовательно, сколько угодно точек никогда не смогут в совокупности составить какойлибо длины — сумма даже бесконечно многих слагаемых, равных О, будет всегда составлять 0. Так же в вопросе о времени: как можно представить себе настоящее «границей» между прошедшим и будущим? Ведь «граница» не имеет времени. Или — как соотносятся между собой мир чисел и геометрия, если в геометрии сторона и диагональ «точно» предстают перед нами в виде конечных отрезков, а в виде чисел они дают нам бесконечную дробь192.

которого что-либо могло бы сразу и не двигаться, и не покоиться... Но оно ведь и не изменяется, не подвергаясь изменению... Так когда же оно изменяется? Ведь и не покоясь, и не двигаясь, и не находясь во времени, оно не изменяется... В таком случае не странно ли то, в чем оно будет находиться в тот момент, когда оно изменяется?... "Вдруг", ибо это "вдруг", видимо, означает нечто такое, начиная с чего происходит изменение в ту или другую сторону». Любопытно привести здесь похожие размышления Ф. Энгельса: «Пока мы рассматриваем вещи как покоящиеся и безжизненные, каждую в отдельности, одну рядом с другой и одну вслед за другой, мы действительно не наталкиваемся ни на какие противоречия в них. Мы находим здесь определенные свойства, которые частью общи, частью различны или даже противоречат друг другу, но в этом последнем случае они распределены между различными вещами и, следовательно, не содержат в себе никакого противоречия. В пределах такого рода рассмо­ трения вещей мы и обходимся обычным, метафизическим способом мыш­ ления. Но совсем иначе обстоит дело, когда мы начинаем рассматривать вещи в их движении, в их изменении, в их жизни, в их взаимном воздействии друг на друга. Здесь мы сразу наталкиваемся на противоречия. Движение само есть противоречие; уже простое механическое переме­ щение может осуществиться лишь в силу того, что тело в один и тот же момент времени находится в данном месте и одновременно — в другом, что оно находится в одном и том же месте и не находится в нем. А постоянное возникновение и одновременное разрешение этого противо­ речия — и есть именно движение» (Энгельс. Анти-Дюринг. С. 123).

См. подробные рассуждения в книге: Jonath. Quantik. В принципе, совре­ менные размышления не очень отличаются от рассуждений древних — это детально видно из работы: Sorabji. Atoms and Time Atoms. P. 37-86; см.

140 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

Видя подобные проблемы, Платон искал своего рода предохранитель, дабы «избежать ситуаций, когда считались бы

доказанными самые странные вещи» . А где можно найти его, если не в математике? Благодаря общению со своими друзьями математиками Платон мог видеть, как смутные догадки и мнения превращаются в стройные теории и законы, или, выражаясь другими словами, как «движущаяся волна жизни» сгущается в «кристаллический шар»194 ясных и вечно неизменных идей.

Правда, как мы видели выше, человеческое мышление — не простая вещь, и даже математики сталкиваются с неразрешимыми проблемами . Тем не менее математическая форма мышления с ее тщательным использованием дефиниций, дедукций и доказательств служит необходимым образцом для философов — это реальная форма мудрости, которая «необходимо заставляет правильно действовать и преуспевать»196.

также рассуждения Секста Эмпирика (Против ученых. III—IV). Кажется, что дискретное и континуум — это несовместимые, но взаимодополняю­ щие («комплементарные») аспекты (как корпускулярная и волновая при­ рода света в физике).

Froese N. Pythagoras & Co. — Griechische Mathematik vor Euklid. S. 29.

Tumarkin. Die Methoden der psychologischen Forschung. S. 22. Тумаркин пишет: «Возникает вопрос, являлось бы с самого начала математическое мышление столь привлекательным для человека, не будь он наполнен осознанием зыбкости окружающей действительности и скован ощущением убегающей жизни, которые находили своего рода противовес в неподвижности математической формы. Возникшая из стремления древнего Востока к вечности, возрожденная из духа мистики в начале Нового времени, математика оказывается и для нас неопреодолимо привлекательной, поскольку дает надежду, что благодаря ей "движущаяся волна жизни" может сгуститься в "кристаллический шар"».

Вопрос, до какой степени математика может служить таким «пре­ дохранителем», т. е. гарантом безупречности мышления, и, в частности, до какой степени математический язык может служить образцом для философии, мы обсудим в параграфе 4.4. См. также параграф 4.7, где излагаются более подробно недостатки и преимущества математики.

Евтидем. 280а.