Приложение А: Характеристики математического платонизма

470 ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА

также занимался основаниями математики и создал неформальную теорию множеств, о которой мы будем говорить в дальнейшем. В 1926 г. он написал свою основную работу2, в которой предугадал открытия Геделя, сделанные в 1931 г.3

О его личности профессор математики Герберт Гросс писал: «Финслер в одинаковой степени обладал безупречно острой логи­ кой, вычислительными способностями и тонким юмором. Слушать его лекции было важным опытом для меня, как студента-мате­ матика... Самым ценным, что Финслер передал многим из своих учеников, были сильная вера в способности человеческого разума и недоверие по отношению к любому математическому формализму, претендующему на нечто большее, чем быть просто стенографией, в которой могут выражаться математические мысли и пред-

4

ставления» .

Было бы интересно сравнить характер Финслера с характером Платона, — вероятно, здесь нашлись бы схожие черты, особенно учитывая слова Гросса: «Финслер был озабочен ходом всемирной истории и нашим недостаточным осознанием того, что мы сами определяем свою судьбу». Кроме того, «Финслер был прони­ цательным философом, математическое мышление было для него естественной основой жизни. Счастье для него состояло не в поиске истины; только через нахождение истины он рассчитывал обрести счастье и свободу» . Наконец, Финслер, так же как и Платон, интересовался астрономией: в 1924 г. он обнаружил свою первую комету, а в 1937 г., в Цюрихе, — вторую, названную его именем. Астрономия была его любимым занятием до самой смерти.

Finsler. Formale Beweise und die Entscheidbarkeit. S. 676-682.

3Gödel. Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. S. 173-198.

4Gross. Nachruf auf Paul Finsler. S. 19-20.

5Ibid.

Характеристики математического платонизма 471

Свои философские убеждения сам Финслер изложил в несколь­ ких статьях , коротко же их можно представить в десяти пунктах:

1.Существует абсолютная истина.

2.Существует абсолютная логика.

3.Существует идеальный мир.

4.Предметы математики принадлежат идеальному миру и, следо­ вательно, не зависят ни от времени, ни от человека.

5.Из непротиворечивости математических предметов следует их существование.

6.Существует актуально бесконечное множество чисел.

7.В математике нет антиномий.

8.Все математические проблемы в идеальном мире уже решены.

9.Формальные методы не могут заменить настоящее мышление.

10.Классическую математику можно и нужно спасать.

Эти убеждения выражают главным образом мировоззрение Платона, и Финслер, зная это, и сам называл свою точку зрения математическим платонизмом — две его статьи называются «Платоновская точка зрения в математике» и «Все же платонизм». При этом Финслер отличал «разумный платонизм» от «наивного»; наивный платонизм предполагает, что соединение множеств всегда образует новое множество, и это предположение приводит к проблемам, таким как, например, антиномия Рассела. — Кратко объясним эти десять пунктов.

1925: Gibt es Widersprüche in der Mathematik?; 1926: Formale Beweise und die Entscheidbarkeit; 1926: Über die Grundlegung der Mengenlehre I; 1927/28: Über die Lösung von Paradoxien; 1933: Die Existenz der Zahlenreihe und des Kontinuums; 1938: Diskussionsvotum; 1938: A propos de la discussion sur les fondements de mathématiques; 1943/44: Gibt es unentscheidbare Sätze?; 1954: Die Unendlichkeit der Zahlenreihe; 1956: Der platonische Standpunkt in der Mathematik; 1956: Und doch Piatonismus; 1956: Briefwechsel mit Paul Lorenzen; 1958: Vom Leben nach dem Tode; 1963/64: Über die Grundlegung

der Mengenlehre II; 1969: Über die Unabhängigkeit der Kontinuumhypothese.

Подробности см. в списке литературы.

472 ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА

7. Существует абсолютная истина

Бернайс выразил мнение, что финслеровская теория множеств осно­ вана на определенной философской позиции. Финслер согласился, но не расценил это суждение как возражение, так как его философс­ кие предпосылки не были взяты с потолка — скорее он считал их обязательной предпосылкой каждой науки, и математики в особен­ ности. К этим предпосылкам принадлежит прежде всего убеждение, что можно абсолютно четко провести различие между «истинным» и «ложным». На самом деле, как сказал Финслер, эта позиция «состоит в следующем: мы знаем в принципе, что подразумевается под истинным и под ложным; а также в том, что мы требуем...

чтобы ответ на любой однозначный вопрос был также однознач­ ным. Без этого философского положения возможно, наверное, со­ стояться в профессии, но вряд ли получится заниматься наукой» . Другими словами: по Финслеру, существует абсолютная истина, «по крайней мере в математике» . На ее основании мы можем не

только выражать какие-то мнения, но и объективно различать

о

истинное и ложное . Выступая против любого релятивизма в этой сфере, Финслер однажды почти торжественно воскликнул: «Есть лишь одна наука, в которой царствует только чистая истина»10.

Finsler. A propos de la discussion... S. 174.

Finsler. Vom Leben nach dem Tode. S. 32. Финслер, кажется, склонен пред­ полагать, что существует «абсолютная истина» и вне математики. Этим во­ просом задавались и многие другие мыслители, например стоит вспомнить размышления Ленина: «Существует ли объективная истина?» Там мы читаем следующее: «Если существует объективная истина (как думают материалисты), если естествознание, отражая внешний мир в "опыте" человека, одно только способно давать нам объективную истину, то всякий фидеизм отвергается безусловно. Если же объективной истины нет, истина (в том числе и научная) есть лишь организующая форма человеческого опыта, то этим самым признается основная посылка поповщины, откры­ вается дверь для нее, очищается место для "организующих форм" рели­ гиозного опыта» (Ленин. Материализм и эмпириокритицизм. С. 127).

Finsler. Der platonische Standpunkt in der Mathematik. S. 252; Он же. Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 172.

Finsler. Gibt es Widersprüche in der Mathematik? S. 155.

Характеристики математического платонизма 473

То, что можно назвать эту позицию «платонической», видно из схожих выражений у Платона. «Истину вообще нельзя опроверг­ нуть» . Если нет одинаковой Истины для всех, то нет и воз­ можности для объективной науки. «Рассматривать и пытаться взаимно опровергать наши впечатления и мнения — все это пустой и громкий вздор»12.

2. Существует абсолютная логика

Чтобы обосновать точную науку, нужно признать, согласно Финслеру, существование абсолютной логики, на которую можно опираться и без которой не прийти к благоразумным резуль­ татам14. «Логика, т. е. правильные умозаключения, должна при­ меняться для обоснования математики. Можно, конечно, исследо­ вать логику в деталях; однако сама по себе она должна рассматриваться как неопровержимая и не зависеть от людей и от нашего мышления. Скорее наше мышление должно руководст­ воваться логикой, чтобы быть "правильным". Логика так же неизменна, как числа и чистая математика; изменяться может только наше знание о ней. То, что "истинно" в условиях логичного мышления или логичного умозаключения, основывается не на соглашениях, а установлено абсолютным способом; это абсолютное отличие Истинного от Ложного. В этом смысле может существовать только одна логика»15.

Вместе с логикой как таковой в абсолютном смысле надо применять и отдельные логические понятия, такие как «все», «бесконечно», «нециркульно» («zirkelfrei»), «несчетно», «система», «непротиворечиво»1 . Их правильность и пригодность никак не

Горгий. 473с.

12Теэтет. 162а.

13Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre I. S. 685-701.

14Finsler. Vom Leben nach dem Tode. S. 19.

15Finsler. Ober die Grundlegung der Mengenlehre IL S. 178.

16Эти понятия появляются у Финслера в разных местах, см.: Über die Grundlegung der Mengenlehre I. S. 684-701; Über die Grundlegung der Mengenlehre

474 ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА

страдают от того, что есть люди, которые их не понимают или не хотят понимать17. Эти понятия приводят к совершенно однознач­ ным результатам, если только мы применяем их аккуратно, т. е. если мы действуем «строго логически»18.

Соответственно, преобразование чистой, абсолютной логики не предполагается, так как она — именно та логика, которой должно подчиняться любое мыслящее существо1 . Лишь записанную или формализованную логику можно перестраивать; она действительно может оказаться ошибочной или слишком узкой и, следовательно, нуждающейся в исправлении20.

Но нельзя путать «логистику» с логикой, «современную логику» с логичным мышлением!21 Формальная логика может быть только вспомогательной дисциплиной; она ни в коем случае не «острее», чем логическое мышление22, и на самом деле на ней даже нельзя построить теорию множеств23. Для этого нужна мысль, которая возвышается, — опираясь на чистую логику, — над логическими формулами; нужны «содержательные» умозаключения, «содержа­ тельное» мышление . Такое мышление позволяет нам находить

II. S. 213; A propos de la discussion... S. 171; Über die Unabhängigkeit der Kontinuumhypothese. S. 71.

17Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 214.

18Finsler. Gibt es Widersprüche in der Mathematik? S. 150-153; A propos de la discussion... S. 174.

19Finsler. Gibt es Widersprüche in der Mathematik? S. 149.

20Ibid. S. 149.

21Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 179: «Логическое мышление не идентично "логическим вычислениям", "формальной логике" или "логистике". Формальная логика может представлять собой не более чем одну часть логического мышления, причем всегда нужно проверять, соответствует ли она действительно требованиям логики, является она "правильной", не только с формальной точки зрения, но и по смыслу».

22Finsler. Die Existenz der Zahlenreihe. S. 88.

23Burckhardt. Zur Neubegründung der Mengenlehre. S. 148-149.

24Ibid.; Finsler. Die Existenz der Zahlenreihe. S. 88; Он же. Über die Unabhängigkeit der Kontinuumhypothese. S. 78. К чему это может привести,

Характеристики математического платонизма 475

сущности, недоступные ни опыту, ни логистике ; и только оно может разрешить противоречия. Применяя содержательные умо­ заключения, чистую логику, в математике можно охватить такие

вещи, которые невозможно выразить полностью фиксируемым языком26.

Финслера упрекали в том, что он, применяя «содержательные умозаключения», не дает доказательств, а лишь приводит «правдо­ подобные соображения». Финслер отвергал этот упрек и утверждал, что «о правдоподобном соображении можно говорить, когда мы

думаем, что результат может быть разным; но надо говорить о

27

доказательстве, когда этот результат не может быть понят иначе» . Он хотел понимать доказуемость как можно более широко, т. е. допускать не только формальные, но и любые «идеальные» доказательства, если только они безупречны по содержанию. Ведь в противном случае всегда предполагалось бы, что предложение, которое нельзя доказать с использованием ограниченных методов,

если «содержательное» мышление либо исключается, либо допускается, Скулем продемонстрировал на простых примерах (см.: Skolem. The Logical Nature of Arithmetic. P. 375-384). См. также Упражнение Г9, где мы ознакомимся с примерами «содержательного мышления» или «абсолютной логики».

25Finsler. Vom Leben nach dem Tode. S. 34.

26Мышление, по Финслеру, не полностью зависит от зафиксированного языка. «Упомянутое выше число нельзя зафиксировать языком, но можно с помощью мысли; оно существует тем же способом, что и число 4. Этот способ мышления не ведет в тупик, так как из него можно делать выводы, конечный результат которых может быть представлен в языке. Введение мнимых чисел в анализ порождала когда-то угрызения совести, но мы учились проводить с ними вычисления, и, как это часто бывает, после "путешествие через мнимое" мы смогли получить важные и реальные результаты. Аналогично мы научились работать с вещами, которые могут быть выражены через язык в их совокупности, но не индивидуально, и все же мы сможем получить важные результаты, которые могут быть, после "путешествия через молчание", выражены языком. Математик, особенно если ему покажут путь, безусловно способен и сам пройти его часть» (Finsler. A propos de la discussion. S. 179-180).

27Finsler. A propos de la discussion, S. 177.

476 ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА

«было бы доказуемо без этого ограничения, и другим способом, а

28

именно этой ситуации и надо избежать» .

Ниже в пункте 9 мы вернемся к этим вопросам; сейчас же мы можем сформулировать, что логика для Финслера — это не чело­ веческое изобретение, не результат соглашения каких-то мысли­ телей или продукт культурного развития, — нет, она дана нам, можно сказать, «от богов». Бывает, что мы не понимаем логику или используем ее ошибочно, но тогда проблема заключается не в логике, а в нас самих.

Такое представление о логике мы находим и у Платона. Воз­ можность ошибочного использования логики (но это наша проб­ лема, а не проблема логики!) отражается, к примеру, в таком само­ критичном высказывании Сократа:

Добрый мой Кратил, я и сам давно дивлюсь своей мудрости и не доверяю ей. Видимо, мне еще самому нужно разобраться в том, что я, собственно, говорю. Ибо тяжелее всего быть обманутым самим собой. Ведь тогда обманщик неотступно следует за тобой и всегда находится рядом, разве это не ужасно?29

Но людские недостатки не «встают на пути» у притязаний вечной логики, так же как употребление не вполне честной, «ораторской» логики:

Милый мой, ты пытаешься опровергать меня по-ораторски, по образцу тех, кто держит речи в судах. Ведь и там одна сторона считает, что одолела другую, если в подтверждение своих слов представила многих и вдобавок почтенных свидетелей, а противник — одного какого-нибудь или же вовсе никого. Но для выяснения истины такое опровержение не дает ровно ничего30.

Finsler. Gibt es unentscheidbare Sätze? S. 314. Кратил. 428d.

Горгий. 471e. Похоже, и даже еще хуже, действуют софисты: они при­ меняют не настоящую логику, а искусство убеждения, обман; их искусство

478 ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА

Мы можем продвигаться в их познании, изменяя наши формули­ ровки, однако «законы как таковые остаются»37.

Особенно важно, что числа — это не произвольно изобретенные человеком сущности (как мог бы человек, сказал Финслер, сотворить бесконечное количество существ? ), они на самом деле существуют независимо от нас, мы лишь можем их исследовать 9. Они, будучи идеальными вещами, неощутимы, но все же образуют

40

четко определенные системы, неизменные и вечные , которые остаются, «безразлично, занимаемся ли мы ними или нет»41; поэтому для существования натурального числа не является необходимым, чтобы мы могли до него досчитать .

Так же, конечно, обстоит дело и с другими математическими предметами: множествами, линиями в геометрии и т. п. Все это вещи идеальные, существующие вне времени и никогда не изменяющиеся . Это именно то, что сказал Аристотель о матема­ тических предметах у Платона: они отличаются от чувственно воспринимаемых тем, что «они вечны и неподвижны»44.

5.Из непротиворечивости математических предметов следует их существование

Что означает «существование» в математике? Можно было бы ска­ зать, что противоречивая вещь никогда не существует. Не сущест­ вует рационального числа, квадрат которого был бы равен 2, и не

37Finsler. Vom Leben nach dem Tode. S. 47. См. также: Über die Grundlegung der Mengenlehre I. S. 701: «Математические объекты и их свойства не должны зависеть от того ограниченного вида, в котором мы можем их представить».

38Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 173.

39Ibid. S. 173.

40Ibid. S. 177.

41Finsler. Vom Leben nach dem Tode. S. 6.

42Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 202.

43Ibid. S. 181.

44Аристотель. Метафизика. A6 987b 14-17.

Характеристики математического платонизма 479

существует множества, элементы которого — все порядковые числительные, и только они45. Но непротиворечивая вещь сущест­ вует в идеальном смысле всегда46. В чистой математике, как сказал Финслер, «существование» есть не что иное, как непротиворечи­

вость . Естествознание основано на наблюдениях, а в математике

48

все принципиально решает только непротиворечивость . Разумеется, мы не можем требовать существования идеальной

вещи; если мы, например, определяем какой-то математический предмет, то это определение не гарантирует, что он действительно идеально существует, ведь наше определение могло бы содержать в себе логическое противоречие, и тогда эта вещь просто не существовала бы, и мы не смогли бы создать ее, даже приложив максимум усилий4 .

6. Существует актуально бесконечное множество чисел

Акцент здесь поставлен на «актуальность», в противоположность учению Аристотеля и следующим ему современным конструкти­ вистским направлениям, признающим лишь потенциальную бес­ конечность50.

Finsler. Und doch Platonismus. S. 267; Burckhardt. Zur Neubegründung der Mengenlehre. S. 148.

Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre I. S. 690; Der platonische

Standpunkt in der Mathematik. S. 252; Briefwechsel mit Paul Lorenzen. S. 275.

Буркхардт сформулировал так: «Мы считаем существующими все множества, для которых предположение их существования не ведет к противоречию ни с одной из наших трех аксиом» (Burckhardt. Op. cit. S. 148, 153).

Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 179.

Finsler. Und doch Platonismus. S. 266.

Finsler. Die Existenz der Zahlenreihe. S. 90.

По Аристотелю, математика — это продукт абстрагирования и идеали­ зации, которые происходят в нашей душе, т. е. она является результатом деятельности человека. Таким же образом, как плотник смотрит на ствол дерева как на стройматериал и закрывает глаза на другие его качества, так и математик воспринимает каменную колонну как цилиндр, а мяч как шар.

480 ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА

Мы уже цитировали высказывание Кронеккера: «Господь сотворил натуральные числа; остальное — дело рук человека». Финслер соглашается с первым утверждением , но добавляет: вопрос о том, сколько натуральных чисел сотворил Господь, Он оставил для нас. Конечно ли их число, или же их бесконечно много? Финслер указал на то, что этот вопрос не так прост, как кажется. В «Пармениде» Платона дается обоснование актуальной бесконеч­ ности ряда чисел , и Финслер соглашается с этим, но, скажет он, это лишь убеждение, правоту которого надо доказать . Такое доказательство должно объяснить, почему ряд натуральных чисел не ограничен. Это не нечто само по себе разумеющееся , так как в

А что касается отрезка, то, по Аристотелю, он не состоит из точек; точки появляются в отрезке тогда, когда человек производит деление, т. е. перед делением точки существуют только потенциально, а не актуально. (Подробное изложение этой темы см. у Беккера: Becker. Mathematische Existenz. S. 630, 683-687.)

Финслер не согласен с тем, что остальные числа являются «делом рук человека». В классической математике, скажет он, «реальные и ком­ плексные числа — это также не произвольно изобретенные человеком сущности» (Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 173).

Парменид. 144a: «Если существует одно, то необходимо, чтобы сущест­ вовало и число. Но при существовании числа должно быть многое и бесконечная множественность существующего. В самом деле, разве число не оказывается бесконечным по количеству и причастным бытию?»

Чтобы показать важность определения количества натуральных чисел, Финслер приводит следующий небольшой пример. В школе, сказал он, «ставят вопрос, сколько простых чисел существует, и отвечают: бесконеч­ но много, ведь уже Евклид доказал это. Но доказательство Евклида имеет смысл только тогда, когда мы уже знаем, что существует бесконечно много натуральных чисел. Известно ли это? Нет, большинство студентов не знает, они просто думают так. Но если это неизвестно, то неизвестно, существует ли бесконечно много простых чисел — доказательство Евклида напрасно» (Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 175).

Дедекинд строил свою систему оперирования натуральными числами на условии, что существует бесконечно много вещей, и чтобы прояснить это условие, он рассматривал сначала себя, потом мысль о себе, потом мысль о мысли о себе, и т. д., и кажущийся бесконечным на этом пути ряд мыслей. Но на самом деле, сказал бы Финслер, это не работает. Если мы

Характеристики математического платонизма 481

ряду порядковых числительных существует самое большое, т. е. последнее, поэтому этот ряд ограничен — почему же у натураль­ ных чисел нет такого предела?

Вопрос этот, кстати, совсем не маргинален, так как именно в нем «лежит корень математического платонизма, который под­ тверждает актуальное существование бесконечных множеств»55. А возможно ли предоставить настоящее математическое доказа­ тельство? Да, скажет Финслер, «найти убедительный результат, т. е. существование бесконечного количества чисел, — нелегко, но возможно»5 .

7. В математике нет антиномий

Антиномии были проблемой для целого поколения выдающихся математиков, и было предпринято много разных попыток пре­ одолеть эти невыносимые противоречия. Но Финслер сказал, что представитель разумного платонизма знает, что здесь нет ничего сложного, надо просто «думать правильно», исследуя и исправляя свой ход мышления, как того требовал Платон. Тогда, утверждал Финслер, никаких принципиальных трудностей или противоречий не возникнет, математика явится «чистой» сферой идеального разумного мира. Если же возникают проблемы, значит, мы сами привели к ним.

действительно попробуем образовать такой ряд, то увидим, что очень скоро мы не сможем идентифицировать различные шаги, особенно если у нас нет еще ряда натуральных чисел, которыми мы могли бы посчитать эти шаги, и рано или поздно мы просто не сможем продолжить этот ряд «мысль о мысли о мысли... о себе». Ряд этих мыслей не бесконечен. (Die Unendlichkeit der Zahlenreihe. S. 29.) Разные аспекты и представления из этой сферы излагаются в сборнике: Бесконечность в математике: фило­ софские и исторические аспекты. М.: Янус-К, 1997.

Neidhart. Unendlichkeit im Schnittpunkt von Mathematik und Theologie, 2. Band. S. 499.

Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 175. Доказательство Финслера находится в его статьях: Die Existenz der Zahlenreihe und des Kontinuums; Die Unendlichkeit der Zahlenreihe; более подробно в: Burckhardt.

Zur Neubegründung der Mengenlehre, 1938. S. 146-165; 1939. S. 146-155.

482 ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА

Если я формирую, например, множество Рассела, т. е. мно­ жество всех множеств, которые не содержат самих себя, тогда, конечно, я провоцирую антиномию. В принципе ситуация такова же, как с антиномией лжеца; если я скажу: «Я лгу», то, конечно, спровоцирую противоречие57. Но зачем вообще образовывать такие выражения? Просто исключим их из математики, и все получится.

Финслер выразился коротко: «Там, где мы не создали антиномию,

58

она и не появляется» . И следовательно: «Тот, кто еще верит в антиномии, верит в привидения»59, он просто не продумал вопрос как следует60.

Взгляд Финслера коротко выражается в следующей цитате: «В математике позволено все, лишь бы только не противоречить самому себе. Это единственная ошибка, которую мы можем совер­ шить, и если мы ее избегаем, антиномии исчезают, и вся теория множеств со всеми своими мощностями, высокими и высочайшими» остается неизменной .

8. Все математические проблемы уже решены

По мнению Финслера, все решения математических задач и про­ блем пребывают в идеальном мире, независимо от того, знаем ли мы о них или нет, и узнаем ли когда-либо. «Чистая математика, — сказал он, — не зависит от нашей человеческой неполноты. Вопрос, правильно ли математическое предложение или ошибочно, не связан с тем, можем ли мы решить его или нет» 2.

Возьмем для иллюстрации теорему Ферма, т. е. утверждение, что уравнение а + Ьп= с" не имеет решений в целых числах а, Ъ, с, если η больше двух. Если η = 2, то существуют решения в целых

См. Приложение ПО.

Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 179. Finsler. Der platonische Standpunkt in der Mathematik. S. 250. Finsler. Und doch Piatonismus. S. 266.

Finsler. A propos de la discussion. S. 170.

Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 177.

484 ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА

ческих схем, как это происходит у компьютера; «благодаря упомя­ нутым результатам мы теперь знаем... чего мы не можем ожидать от электронных вычислительных машин, так как это невозможно по принципиальным причинам»64. Результаты Финслера и Геделя при­ водят нас к выводу, что «истина всегда лежит за пределами пра­ вильного и неправильного» , и, наконец, они представляют собой отход от механистически-материалистического мировоззрения.

Углубленный взгляд на математический платонизм предлагает, наконец, статья Финслера «О независимости континуум-гипо­ тезы»66. Как известно, в 1963 г. П. Коэн доказал, что континуумгипотеза недоказуема на основании системы аксиом ЦермелоФренкеля (ZFC). Этот результат считался — и считается до сих пор — большим математическим успехом: по мнению Мостовского (и, как он считает, по мнению большинства логиков и математиков), доказательства непротиворечивости и независимости общей континуум-гипотезы являются самым важным событием в математике за последние 25 лет67. Но Финслер не разделял его восторгов; по его мнению, результат Коэна опирается на пред­ положение о непротиворечивости ZFC, и если мы не знаем, истинно ли это предположение, то все результаты могут быть лишь гипоте­ тическими. И он с легким сарказмом спрашивает: «Зачем приводить такие сложные доказательства, если в итоге все же неизвестно, истинен ли результат?» Эта некомфортная ситуация типична для формалистического подхода; в то время как математический плато­ ник может коротко и ясно сказать: «Существует бесконечно много

64Fraenkel. Philosophie der Mathematik. S. 355.

Weiss. Gödels UnVollständigkeitssatz... (Курсив мой.)

66Finsler. Über die Unabhängigkeit der Kontinnumhypothese. S. 67-78.

67Mostowski. Widerspruchsfreiheit und Unabhängigkeit der Kontinuumhypothese. S. 121.

68Finsler. Über die Unabhängigkeit der Kontinnumhypothese. S. 77. Интересно, что уже Платон формулировал похожий вопрос: «У кого началом служит то, чего он не знает, а заключение и середина состоят из того, что нельзя сплести воедино, может ли подобного рода несогласованность когда-либо стать знанием?» (Государство. 533с).

Характеристики математического платонизма 485

простых чисел», формалист вынужден выразиться так: «Можно доказать, что, если аксиомы ZFC непротиворечивы, существует бесконечно много простых чисел». И что касается континуумгипотезы, то, по мнению Финслера, она либо истинна, либо нет, мы просто пока не знаем ответа. Да, идя формальным путем, мы не сможем доказать то или другое, но при этом возможно, что на другом пути мы найдем решение.

Интересно посмотреть, как платоновские — и не чисто формальные — взгляды Финслера конкретно воплотились в его собственной теории множеств. Представим сначала формальную систему аксиом множеств — систему Цермело-Френкеля, которая выглядит так:

• VaiVa2 (V6 (6 € αϊ «* b € α2) =» αϊ = α2)

•3α V6 (6 £ α)

•3α: ( 0 € α Λ V6 (&€ α =• 6υ {6} € α))

• VaiVa2 3c V6 (6 € с ^ (6 = α! V b = α2))

• Va3dV6(6<Ed«*Vc(c€6=î>c€a))

. Va 3d Vc (с £ d & 36 (6 € a Λ с € 6))

. Va 3c V6 (6 € с 4* 6 € a Λ Φ[6])

• Vx 3!y 0[i,y] =• Va 3d Vc (c G d ^ 36 (&€ a Λ 0[ft,c)))

• Va (a ^ 0 =* 36 (6 € a Λ Vc (c € 6 => с £ a)))

• Va(a?0 Λ V6 (ft € a => 6 ^ 0) Λ V f t ^ (fti ^ 63 Λ {бьбг} Ç a ^ fti Пба = 0) =* 3dV6 (6 € a-4 3c ( 6 0 d = {c})))

Каждую аксиому можно сформулировать обычными словами; вторая аксиома, например, гласит: «Существует пустое множество», т. е. существует множество без элементов. Использование знаков и выражений формальной логики подчеркивает формальный характер этой системы.

486 ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА

Неформальная система Финслера выглядит по-другому и со­ стоит только из трех аксиом:

1.Для любых множеств M и N всегда однозначно решено, имеет ли M отношение β к N или нет.

2.Изоморфные множества идентичны.

3.Множества образуют систему вещей, которая, при поддержании аксиом I и II, больше не может быть в дальнейшем расширена.

Платоновский взгляд у Финслера выражается здесь в том, что эти аксиомы относятся к объективно существующим математическим предметам, т. е. к чисто идеальной, но в каком-то смысле реальной сфере.

Было бы желательно, если бы можно было — как в случае с натуральными числами — соединить все множества в опре­ деленную систему69. Оказывается, что в финслеровской теории это возможно; в дальнейшем все антиномии устраняются, так как существования противоречивых по определению множеств не требуется («Если мы не создали антиномию, она и не появится»). При этом Финслер использует как существенное вспомогательное средство распределение множеств на такие, определение которых не является цикличным, и те, определение которых циклично. Для математических построений нециклические множества образуют надежное и достаточное основание; то, что понятие «нецикли­ ческий» само содержит круг, не помеха, так как оно, по Финслеру, принадлежит чистой логике .

Теория множеств Финслера не была признана большинством математиков. Это не очень удивительно, ведь у математиков бы­ вают совершенно различные взгляды в этой сфере; Анри Пуанкаре,

Finsler. Gibt es Widersprüche in der Mathematik? S. 153; Über die Grundlegung der Mengenlehre I. S. 683.

Для дальнейшего изучения финслеровской теории множеств рекомендуем читать: Unger. Vorwort des Herausgebers // Paul Finsler. Aufsätze zur Mengen-

lehre. S. XI-XVI.

Характеристики математического платонизма 487

например, называл теорию множеств Кантора «болезнью разума», а Давид Гильберт называл ту же самую теорию «раем», из которого он не хочет быть изгнанным71. Что касается именно финслеровской теории множеств, то на одной конференции математик Вейль так набросился на нее, что бедный Финслер заработал нервное истощение. Правда, Финслер использовал специфическую, необыч­ ную форму выражения, и многие не были готовы ознакомиться с ней и, следовательно, не поняли сути дела. Финслер часто жало­ вался на то, что его противники, например Рейнхольд Бэр, просто «не хотят видеть истину»72. И к сожалению, такое непонимание продолжается до сих пор. Так, доктор математики Томас Форстер из университета Кэмбриджа презрительно назвал Финслера «геомет­ ром с непрофессиональным интересом к основам математики и тео­ рии множеств», но потом продемонстрировал, что не разбирается в проблеме, когда счел финслеровские выражения и символы просто «внутренним жаргоном для понятий, для которых уже есть отлично подходящие обозначения, понятные другим смертным» ("yßx" вместо "хву"), и что он не видит — или не понимает — финслеровских объяснений особенного смысла термина "yßx".

Ван дер Варден рассудил, что ответ на вопрос «Кто прав?» в таких спорах не может быть бесспорным, так как зависит от фило­ софских убеждений того, кто судит 5. Финслер, однако, настаивал на том, что математика не зависит от личных философских убеж­ дений: «Речь здесь идет не о какой-либо философии, а о чистой математике и логике»76.

Этим различным взглядам очень удивлялся Туралф Скулем (см.: Skolem.

Über die Grundlagendiskussionen in der Mathematik. S. 89).

72И действительно критика Бэра не затрагивает теорию Финслера; см. подробности в: Gut. Inhaltliches Denken und formale Systeme. S. 127-132.

73Forster. Review of "Finsler Set Theory". Р. 3.

74См. подробнее в: Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 183-184.

75Van der Waerden. Stellungnahme zur Auseinandersetzung Finsler — Baer.

76Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 178.

488 ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА

Но, несмотря на все эти трудности, знаменитое немецкое научное издательство «Wissenschaftliche Buchgesellschaft» опубли-

ковало все статьи Финслера , вышли в свет и другие сборники . И профессор математики Герберт Гросс, как мы уже упоминали, выразил мнение, что крайне желательно тщательно изучить идеи Финслера и их платоновскую основу79.

10. Классическую математику можно и нужно спасать

Финслер придерживался позиции классической математики и

81

хотел, — так же, как и Гильберт , — защитить ее, преодолев

82

«кризис» теории множеств . При этом Финслеру пришлось вести борьбу на три фронта: должна была быть решена проблема

антиномий и, вследствие этого, необходимо было оправдать теорию

83

множеств со всеми ее мощностями (что удалось!) ; нужно было защитить закон исключенного третьего и отвергнуть ненужные и произвольные ограничения конструктивного понятия интуиционистов ; и в-третьих, свирепствующему формализму нужно было

77Unger. Paul Finsler — Aufsätze zur Mengenlehre.

78Finsler Set Theory: Platonism and Circularity. Translation of Paul Finsler's

Papers on Set Theory. Ed. by David Booth and Renatus Ziegler. Basel; Boston; Berlin: Birkhäuser, 1996 / Bakker Α., Ziegler R. Finsler Mengenlehre. Universiteit Amsterdam: Rapport, 1997. Понятное, доступное представление финслеровской теории множеств дал Буркхардт: Burckhardt. Zur Neubegründung der Mengenlehre, 1938. S. 146-165; 1939, S. 146-155.

«Аксиоматическая теория множеств, которая относится к объективным математическим предметам, понятийно очаровывающая идея нецикли­ ческих множеств, все финслеровское собрание оснований математики заслуживают подробного изучения» (Gross. Nachruf auf Paul Finsler. S. 20).

Über die Unabhängigkeit der Kontinuumhypothese. S. 67; Briefwechsel mit Paul Lorenzen. S. 277. И свою статью «Der platonische Standpunkt» Финслер посвятил Ролфу Неванлинне, «последователю классической математики»!

81Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre I. S. 684.

82Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 173.

83Finsler. A propos de la discussion... S. 170; Diskussionsvotum. S. 157.

84Finsler. Über die Grundlegung der Mengenlehre II. S. 177.

490 ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА

мального, а осмысленного мышления. Это — мышление в лучшем платоновском смысле, мышление, которое сохраняет себе полную свободу, не ограничивается какими-либо формальностями или догмами; это — мышление, которое тем не менее не является беспорядочным, оно, напротив, полностью предано прозрачности, логике и истине.