556 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ

утверждение («4т — иррациональное число»), которое невоз­ можно подтвердить формальными средствами, но можно с помощью «абсолютной логики».83

3

«Вопрос о том, содержится ли в определенной двойственной дроби бесконечное количество нулей или нет, решается для опре­ деленных двойственных дробей формально. Связанные доказа­ тельства (и, следовательно, эти сами двойственные дроби) можно в рамках точного формализма представить в виде счетного ряда. Диагональный процесс дает двойственную дробь δ, таким образом, что предложение: "δ не содержит бесконечно много нулей" формально не решаемо, и таким образом формально непротиво­ речиво. Но оно точно ошибочно, так как можно решить вопрос для дроби 0,111111... бесконечно многими формальными доказа­ тельствами, и им соответствует в δ каждый раз один ноль. Это доказательство абсолютной логики нельзя представить формально;

созерцание позволяет сделать первые шаги на пути к философскому созерцанию бытия. Мы мало знаем о конкретных арифметических упражнениях, бытовавших в Академии для дости­ жения этой цели, но вероятно, стоит обратить внимание на нату­ ральные и особенно на простые числа, так как у них существуют

Этот пример взят из: Finsler. Formale Beweise und die Entscheidbarkeit. S. 681-682.

Finsler. Über die Grundlegung der Mathematik. S. 18. Если понадобится, то можно найти подробное изложение в статье: Finsler. Formale Beweise und die Entscheidbarkeit. S. 678-680.

Государство. 525c.

Платоновская арифметика 557

некоторые удивительные, а иногда даже странные или загадочные свойства. В конце параграфа 3.1 мы уже упоминали о некоторых из них; здесь же мы сначала поставим для обсуждения ряд вопросов о числах в целом, необходимых, чтобы не просто использовать их «по-торгашески», а подумать об их природе; а потом мы более подробно займемся простыми числами.

(1) Числа мы делим на положительные и отрицательные, и кажется, что они являются зеркальным отражением друг друга:

На самом деле это не совсем так. Если мы применяем прямые операции (сложение, умножение, возведение в степень) к поло­ жительным числам, мы всегда будем оставаться в плюсе, а отри­ цательная зона будет для нас недостижима. Но из отрицательной зоны можно перешагнуть в положительную:

(-5) + (+8)-+3, (-5)-(-8) = +40, (-5)2=(+25).

Положительная и отрицательная зоны как-то отличаются в самой их сути. И если нам захочется помедитировать об этом, следует просто заменить «положительное» на «доброе», а «отрицательное» на «злое»... Похожим образом можно задуматься и над сле­ дующими вопросами:

(2)Нас учат, как можно перешагнуть от одной числовой области к другой: натуральные —» целые —• рациональные —• действительные —• комплексные числа. Вопрос: можно ли перешагнуть и дальше? И если да, то что мы выиграем и что потеряем от этого?

(3)Нас учат, что деление на ноль «запрещено». Кто запретил это? Как можно «запретить» что-то в математике? Что произойдет, если мы просто проигнорируем этот запрет?

Платоновская арифметика 559

большие интервалы между двумя простыми числами, и при этом все равно есть всегда новые, еще большие простые числа...

Возникает вопрос: существует ли закономерность, по которой появляются простые числа? Эта проблема мучила многих великих математиков, что неудивительно, если мы обратим внимание на такие феномены, как следующий: бывает, что почти одинаковые натуральные числа образуются из совсем разных простых множителей, например:

370 273 = 43· 79· 109

370 277 = 17· 23-947

370 279 = 7 -13 · 13 ·313

И все же кое-что в этой связи сказать мы можем. Обозначим, например, количество простых чисел от 1 до η знаком А(п). Тогда, воспользовавшись таблицей, можно найти, допустим, А(\00) = 25, А(200) = 46, Л(300) = 62. Никакой точной закономерности здесь, кажется, нет. Но двадцатилетний Гаусс предполагал, что есть хотя бы аппроксимация, которая тем лучше, чем больше число п.

Аппроксимация такая:

A(")-n:(H+M+-+i)

Это значит: если η растет, то значение выражения

560 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ

Утверждение Гаусса указывает на некую закономерность, хотя она описывает только группы простых чисел. Но существует и закон, описывающий структуру отдельных простых чисел. Это так называемая пентагональная теорема Эйлера, о которой трудно ска­ зать, что в ней больше удивляет: сама теорема или ее находка Эйлером. Важную роль в ней играют «пентагональные числа». Они определяются следующим алгоритмом:

Первые пентагональные числа, соответственно, следующие:

1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77...

А сейчас покажем саму пентагональную теорему Эйлера на конкретных примерах. Мы выберем какое-то натуральное число η и используем его в двух разных вариантах. Допустим, что η = 12.

Первое вычисление:

Шаг Ф: Мы определим все делители числа 12, это: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Шаг ©: Мы образуем сумму этих делителей, она равна 1 + 2 + 3 + + 4 + 6 + 1 2 = 28.

Платоновская арифметика 561

Второе вычисление:

Шаг Ф: Мы образуем разность между η и всеми пентагональными числами не больше п; в нашем примере это разность

Шаг ©: Для каждого результата Ц, Ш, 7, 5, 0 мы определим сумму S его делителей: S (И) = 1 + 11 = 12, S Q0) = 1 + 2 + 5 +

Мы видим, что оба вычисления дают один и тот же результат, хотя есть принципиальная разница в алгоритмах, особенно из-за того, что второе вычисление использует пентагональные числа, а первое — нет.

Еще три примера:

п= 15 // Делители: 1, 3, 5, 15. Их сумма: 24. // Разности: 15 - 1 = 14, 15 - 2

Эйлер заметил эту таинственную связь и предположил, что она действительна для всех натуральных чисел п. Его предположение было доказано позже, но осталось ощущение, что в царстве нату­ ральных чисел существуют глубокие связи, о которых мы до сих пор мало знаем. Эти числа представляют, с одной стороны, твердо

562 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ

определенное переплетение отношений, в котором каждое число имеет свое определенное место, с другой стороны, числа и их отношения обладают некой «индивидуальностью», и хотя они — существа из мира необходимости, но все же «существа». Поэтому Лохер-Эрнст не стеснялся говорить: «Если бы у молодежи просну­ лось чувство, что числа являются "сущностями" — сущностями "из другого мира", — представьте себе, какое бы это имело большое значение! Тот, кто однажды обрел такой взгляд на эту

область, больше не будет злоупотреблять числовым рядом для

~ 87

недостойных занятии» .

Добавим два результата из сферы элементарной теории чисел, занимающейся сложением и умножением целых чисел. Один из них получил, как мы уже отмечали, Гедель88. Он состоит в следующем: мы можем применять все возможные способы доказательств, но несколько верных предположений в данной теории всегда останутся недоказуемыми. Дело в том, что всегда можно создать такое предположение, которое можно доказать тогда и только тогда, когда оно ложно. Но оно не может быть ложным, если его можно доказать. Следовательно оно верно, но недоказуемо.

Второй результат мы упоминали в Приложении В14: знаме­ нитое доказательство Туральфа Скулема, согласно которому невозможно охарактеризовать ряд натуральных чисел посредством конечного или счетно-бесконечного количества утверждений с исключительно числовыми переменными.

Такие результаты показывают, что уже наши знакомые и кажущиеся «ординарными» числа представляют сферу, которую мы не можем полностью охватить с помощью доступных для нас доказательств. Похоже на то, что невозможно объяснить жизнь чисто рациональными средствами. А область чисел — это не хаос, а некая «умная структура» в смысле Платона.

Locher-Ernst. Die Reihe der natürlichen Zahlen als Geistkunstwerk. S. 16.

См. выше, с. 384-385.