Глава 6. Послесловие от автора

«Точка зрения Платона определенна и необходима, но на ней нельзя остановиться...» — откликнемся в какой-то мере на этот призыв Гегеля. Действительно, в ходе наших рассуждений не раз было показано, что взгляды Платона интересны и важны не только с исторической точки зрения, но содержат, либо непосредственно, либо в актуализированной форме, импульсы и вопросы, заслужи­ вающие дальнейшего обсуждения. Помимо конкретных тем, интересных для математиков и философов, можно поставить и такой вопрос: что посоветовал бы Платон, с одной стороны, совре­ менному философу, а с другой — математику?

Чтобы нарисованная нами картина не была слишком одно­ сторонней, упомянем для начала, что у Платона воспитание и обучение включали не только математику и философию, но весьма широкий ряд предметов; стражей, например, нужно обучать не только военному делу, но и «упражнять в гимнастических, мусических и прочих науках, которые им приличествуют»101. Наверное, Платон и сегодня говорил бы о необходимости спортивных упраж­ нений для философов...

Далее, надо иметь в виду, что «философ» тогда и сегодня — это несколько разные вещи. Для Платона философ — это государст­ венный деятель высокого ранга. Если в «Тимее» (17d) Платон говорит о различных природах, задачах и занятиях («Каждый будет иметь сообразно своей природе подходящий лишь ему род занятий»), это значит, что не каждый человек должен (и не каждый способен) серьезно заниматься математикой, но для философов это обяза­ тельно, так как они не справятся с требованиями, налагаемыми их

Гегель. Лекции по истории философии. С. 130. (Курсив мой.) Тимей. 18а.

Послесловие от автора 449

Если все это так, то для Платона требование иметь математи­ ческую подготовку вряд ли означает, что каждый будущий философ

должен сначала закончить математический факультет. Это невоз­ можно уже из-за того, что сам Платон — на это указал Мюллер103

— говорил о различных природных предрасположенностях учени­ ков . Мордухай-Болтовской поясняет этот пункт подробнее: «Мы слишком далеки от мнения Платона, начертавшего при входе в свою Академию слова: "Αγεωμέτρητος μηδεις είσίτω". Если бы в душе самого хозяина Академии не уживался рядом с геометром еще поэт, который контрабандой, вопреки вывеске, вошел в Академию, то мы не имели бы платоновской философии. Но этот случай уживания в одной душе геометра и поэта, создающего двойственность души, случай очень редкий, явление вроде двойственности сознания. Обыкновенно звук каждой из этих струн души заглушает другую» . Надо быть реалистом: многие гуманитарии чувствуют то же, что и один интервьюер, который после разговора со знаме­ нитым математиком заметил, что «жизнь математиков — это какаято другая реальность. Они своего рода инопланетяне» . Более

Müller. Piatons Akademiegründung. S. 63.

Государство. 415a-c: «Хотя все члены государства братья... но бог, вылепивший вас, в тех из вас, кто способен править, примешал при рождении золота, и поэтому они наиболее ценны, в помощников их — серебра, железа же и меди — в земледельцев и разных ремесленников. Вы все родственны, по большей частью рождаете себе подобных, хотя все же бывает, что от золота родится серебряное потомство, а от серебра — золотое; то же и в остальных случаях. От правителей бог требует прежде всего и преимущественно, чтобы именно здесь они оказались доблестными стражами и ничто так усиленно не оберегали, как свое потомство, наблюдая, что за примесь имеется в душе их детей, и, если ребенок родится с примесью меди или железа, они никоим образом не должны иметь к нему жалости, но поступать так, как того заслуживают его природные задатки, то есть включать его в число ремесленников или земледельцев; если же родится кто-нибудь с примесью золота или серебра, это надо ценить и с почетом переводить его в стражи или в помощники».

Мордухай-Болтовской. Философия — Психология — Математика. С. 107.

Иванова-Гладилыцикова. Заниматься математикой — это в некотором смысле воспевать жизнь. Русский Журнал. 18.04.2013.

450 ПОСЛЕСЛОВИЕ ОТ АВТОРА

того, среди самих математиков можно обнаружить различные типы личности; например, Перязев определил 16 таких типов и приводил по этому поводу слова Пуанкаре: «Если часто об одних говорят, что они аналитики, а других называют геометрами, то это не мешает тому, что первые остаются аналитиками, даже когда занимаются вопросами геометрии. В то время как другие являются геометрами, даже если занимаются чистым анализом. Сама природа их ума делает их "логиками" или "интуитивистами", и они не могут пере­ родиться, когда принимаются за новую тему»107. Вывод Перязева таков: «В результате по типу математического мышления учаще­ муся будут даваться рекомендации по составлению индивидуальной программы его математического образования. Все последующие модули электронных учебных материалов необходимо разрабаты­ вать в альтернативном виде: несколько вариантов, ориентирован­ ных на определенные типы математического мышления»108. И нако-

109

нец, такая мысль: в древнем сказании, переданном Критием , гово­ рится, что разумнейшие люди рождаются благодаря воздействию мягкого климата, но не все мы можем переехать в Грецию...

Ивсе же убеждение Платона, что занятия математикой хотя бы

вкакой-то мере полезны или даже необходимы каждому образо­ ванному человеку, особенно философу, остается в силе и в наши дни. Это то убеждение, которое немецкий математик, физик и философ Иоахим Юнгиус выразил в 1629 г. в своем обращении ректора под заголовком «О пропедевтической пользе математики для изучения философии». Там он объяснял: «Тот, кто начал изучение философии правильным образом, имеет лучшие пред­ посылки к успешному его завершению; и про всю философию превосходнее всех скажет тот, кто скажет о точном определении ее основ» . Нельзя, по его мнению, сначала отягощать изучение

Перязев. О специализации в математическом образовании. С. 255. Там же. С. 257.

Тимей. 24с.

Jungius. Über den propädeutischen Nutzen der Mathematik für das Studium der Philosophie. S. 98.

Послесловие от автора 451

философии спорными философскими проблемами, которые только запутывают студента и показывают ему мир, полный противоречий; скорее студенты должны изучать чистую математику и, в частности, геометрию, чтобы привыкнуть к ясному мышлению, к отчетливым аргументам и доказательствам. Если начинающий философ глубоко воспримет это базовое обучение, то сможет идти дальше, к следующим, более «высоким» наукам, и «тогда он сможет снова и снова оглядываться назад, на занятия геометрией как на образец и, насколько это возможно, воспроизводить его ясную прозрачность и основательную надежность; он в состоянии отличить поддающиеся проверке обоснования от аподиктических и располагать теоремы в надлежащей последовательности, логично выводя более поздние из более ранних»111.

Математик Рихард Курант подчеркивал еще одну значительную пользу от математических занятий в рамках гуманитарных наук. В докладе, сделанном на собрании немецких филологов и школьных преподавателей, он сказал: «Даже если современный математикисследователь, ввиду процветания научной жизни, не боится за судьбу математики как науки, он все же должен осознавать, что эта наука, как элемент образования и воспитания, всецело нуждается в защите и поручительстве. И если меня спросят, в чем заключается значение математического образования, я приведу слова Канта: она должна обращать взгляд молодого человека на нравственный закон внутри него и на звездное небо над ним. В указании на это второе направление взгляда и заключается важная воспитательная роль, которая значит в математических и естественно-научных учебных предметах гораздо больше, чем их формальные элементы или практическая польза. Если точным наукам оставить недостаточно места в школе, то вырастает поколение, которое в преувеличенном культе изнеженной личности забывает, что личность — это только

тогда наивысшее счастье человека, когда она может подчиняться

112

объективному, внеличному»

Jungius. Op. cit. S. 108.

Courant. Über die allgemeine Bedeutung des mathematischen Denkens. S. 94.

Послесловие от автора 453

Все это вместе помогает нам на пути «вверх», где мы способны «соблюдать справедливость вместе с разумностью»

Сразу скажем, что, разумеется, серьезное обучение математике философов (и других гуманитариев) нуждается в продуманной методике, искусном выборе тем и в подходящих пособиях, иначе студенты испытают лишь horror mathematici. При этом мы не можем просто воспроизводить то, чем занимался Платон. Книга Теона Смирнского , например, интересна тем, что в ней мы видим стремление древних узнать свойства чисел и их соотношения, но эти исследования имеют скорее исторический интерес. Хотя вполне возможно найти такие вопросы и их решения древними, которые до сих пор представляют интерес: например, замечательные подборки Барвина и Жукова117. Далее следует читать тезисы С. А. Березина («Зачем учить гуманитариев математике»), А. В. Дорофеева («Математика на философском факультете»), В. А. Еровенко («Надо ли студентам-философам изучать идеологию и методологию математики?»), Е. А. Зайцева («Геометрический образ числа и величины: об учебном пособии по математике для студентовгуманитариев»), С. Р. Когаловского («Моделирование в обучении математике»), Г. В. Кондратьевой («К вопросу о строгости курса школьной математики в контексте времени, которое отводится на изучение предмета»), Н. А. Перязева («О специализации в математическом образовании»), Н. X. Розова («Математика для философа: рабочий инструмент профессионала или бесцельная экскурсия в непонятное?») и А. И. Субботина («Субстанциальная и операциональная реальности в математических преобразованиях [педагогический аспект]»118 — здесь в краткой форме изложены

1 ]4 Государство.621 c-d.

115Изложение математических предметов, полезных при чтении Платона. Русский перевод в сборнике: Пифагорейская традиция. С. 423-533.

116Барвин, Фрибус. Старинные задачи.

1,7 Жуков. Прометеева искра.

118 Все эти тезисы можно найти в сборнике «Философия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность».

454 ПОСЛЕСЛОВИЕ ОТ АВТОРА

важные аспекты занятий математикой для современных гуманитариев. И наконец, в приложении к этой работе мы приведем несколько практических примеров подходящих задач. При этом важно, чтобы преподаватель выбирал те задачи, которые нравятся ему самому и которые он сможет с энтузиазмом обсудить со студентами, — тогда, возможно, искра его интереса затронет и учеников.

***

Хочется сказать несколько слов о третьем пункте: о важности осознания как наших личных мотивов и предубеждений (лежащих в области разума), так и наших надежд, страхов и стратегий выживания (лежащих в области эмоций). Мы говорили выше о мнении Платона, что математики не знают, что делать со своей «добычей»119, — и не переживают из-за этого; они, к примеру, принимают аксиомы просто «за исходные положения и не считают нужным отдавать в них отчет ни себе, ни другим, словно это всякому и без того ясно»1 . Эта некритическая черта проявляется

еще сильнее у современных математиков. Лоренцен говорит о

121

«философской индифферентности» , в которую математика попала с XIX столетия — и физика, кстати, тоже: когда квантового физика Дюра спросили, занимаются ли современные представители точных наук философией, он ответил: «Совсем немного. Философские рассмотрения часто относят к идеологии. Работа ремесленника над понятными "инженерными моделями" лучше подходит прагматичному духу времени... Сейчас ценят, прежде

всего, успех в науке, а "успех" одного автора обычно означает, что

122

его труды вдоволь цитируются коллегами и другими авторами» В противоположность такой индифферентности, свойственной

математике и физике, философ неутомимо ставит вопросы, не боясь

Евтидем. 290. Государство. 510с-е.

Lorenzen. Wie ist Philosophie der Mathematik möglich? S. 201.

Dürr, Oesterreicher. Wir erleben mehr als wir begreifen. S. 146.

Послесловие от автора 455

упрека в «идеологии», и видит свою задачу именно в прояснении исходных (и обычно бессознательных) положений. Правда, иногда границы между задачами для философов и задачами для самих математиков расплывчаты; такие вопросы, как «что есть число?» кажутся философскими, но можно задавать их и самим мате­

матикам, ведь «откуда философ должен знать это, если этого не

123

знают сами математики, занимающиеся числами постоянно?» Но выявление предмнений124, которые кроются за математическими аксиомами, правилами, понятиями и методами, — это типичная задача философа.

Занятия философскими исследованиями в сфере математики полезны для математиков, но — и это главное для Платона — имеют глубокое значение и для самих философов. Дело в том, что и философы часто не осознают свои пред-мнения и смело строят на них целые системы, будучи уверены при этом в своей правоте. Любопытно, осмелятся ли они «копнуть глубже», когда речь заходит не только о математиках, но и о них самих?

Способность и готовность к самокритичному мышлению, т. е. к вскрытию и осознанию собственных, личных пред-мнений, были крайне важны для Платона, поэтому в нижеследующем тексте мы видим два раза «нам», а не «вам»:

Прежде всего рассмотреть то, что представляется нам теперь очевидным, чтобы не сбиться с пути и не прийти легко к взаимному соглашению так, как будто нам все ясно

Lorenzen. Wie ist Philosophie der Mathematik möglich? S. 194.

Под «предмнениями» мы понимаем весь комплекс опыта и ощущений, которые мы получили из детства, а также все ценности, традиции и представления, которые мы воспринимаем от нашего окружения. Этот комплекс образует основу, на которую опираются наши мнения, чаще всего неосознанно для нас самих. Говоря другими словами, мы лишь частично формируем наше мнение о чем-либо, исходя из независимых наблюдений и источников, в значительной же степени они предобусловлены окружающей нас культурой.

Софист. 242с.

456 ПОСЛЕСЛОВИЕ ОТ АВТОРА

Этот элемент критики и самокритики крайне важен и в сегодняш­ нем научном процессе. И к счастью, есть прекрасные положитель­ ные примеры. М. А. Розов писал о книге H. Н. Лузина «Лекции об аналитических множествах и их приложениях» следующее: «Так что поразило у Лузина?.. Ощущается некоторая рефлексивная от­ страненность автора от того, что он излагает. Автор не слился с этой теорией, не идентифицировался с ней, он стоит в стороне, точно скульптор, вытирая руки и критически оглядывая то, что

получилось, с полным сознанием отсутствия окончательных

126

штрихов» . То, что Розов пишет о книге Лузина, чувствуется также в трудах Платона.

Все же надо согласиться, что способность к критическому мыш­ лению, когда она нацелена на самого мыслителя, часто является очень слабой, если вообще есть. Дело в том, что, как считал Эйлер, человеческий разум находится под влиянием извращенной воли, и эта воля очень не любит самокритики, она направлена только на защиту и оправдание своих личных убеждений перед другими мнениями. И здесь лежит третья причина, почему «экскурсии» в математическую область так полезны: на основании полученного таким образом опыта философ становится более способным созерцать и исследовать свои собственные предмнения — т. е. ставить самокритический вопрос платоновского Сократа:

А если вдруг наша предпосылка была неверна?

Самокритика — это необходимая, но при этом сложная и не­ приятная работа (вспомним высказание Эйнштейна: «Самый сложный путь — это путь внутрь самого себя»), и здесь, повторим, реальный опыт исследований предмнений в сфере математики очень помогает. Если философ при занятии математикой вдруг воскликнет: «О ужас! Как я мог так сильно ошибаться!», он будет более готов к осторожности и самокритике и в своей собственной области.

Розов. О стиле в науках. С. 22. Менон. 89с.

458 ПОСЛЕСЛОВИЕ ОТ АВТОРА

описать так: «Пролить свет на предварительные решения, скрытые уже в самом начале образования теорий в математике, таким образом, что она вставит эти предварительные решения в более широкий контекст истории всех наших донаучных мнений. Только на этой основе они смогут дойти до сознания, и только отсюда может возникнуть воля к изменениям»129.

Но самокритичные философские размышления не исчерпы­ ваются открытием умопостигаемых предмнений. Дело намного сложнее. Что лежит за ними? Какие чувства, эмоции, истории, испытания, надежды, стремления и страхи приводят человека к решению стать, допустим, математиком-платоником, а не форма­ листом или интуиционистом? или стать математиком вообще? И если человек выбирает математику, чего он ищет в этой науке? Ищет ли он правду, истину, которую невозможно найти в другой науке? Может быть, но не обязательно. Гильберт считал, что лучше отказаться от поисков истины — достаточно, если построенная на аксиомах система будет возможной, т. е. непротиворечивой . Кроме того, он назвал и еще одну инстанцию: «Необходим успех — он является наивысшей инстанцией в математике, и ему покоряется каждый»1 '. Такие высказывания указывают на определенное миро­ воззрение и на особый темперамент; и действительно, Бернайс сказал, что математика для Гильберта имела значение мировоз­ зрения, и тот обращался к математическим проблемам как завое­

ватель, стремящийся добиться от математического мышления как

132

можно более широких властных полномочий . Отсюда психоло­ гически понятно, почему Гильберт так резко и неумолимо воевал

Lorenzen. Wie ist Philosophie der Mathematik möglich? S. 199.

Так Бернайс описывал позицию Гильберта. См.: Bernays. Über Huberts Gedanken zur Grundlegung der Arithmetik. S.U.

Hubert. Über das Unendliche. S. 81. Когда Френкель писал о сторонниках такого образа мыслей, он говорил не об «успехе», а о «плодотворности», что звучит несколько симпатичнее! (Френкель, Бар-Хиллел. Основания теории множеств. С. 406)

Bernays. Die Bedeutung Huberts fur die Philosophie der Mathematik. S. 94.

Послесловие от автора 459

против Брауэра : он боялся, что брауэровская программа изгнала бы математику из обширного «рая», созданного Кантором.

Обладая совсем другим характером, Герман Вейль реагировал на программу Брауэра по-другому. Действительно, сказал он, эта программа влечет за собой далеко идущие ограничения в матема­ тике, но это хорошо. В противоположность неопределенной все­ общности, к которой нас приучил за последние десятилетия существовавший до сих пор анализ, мы должны заново научиться скромности. «Мы хотели атаковать небо, — но лишь нагромоздили один туман на другой»

Еще один взгляд, демонстрирующий другую черту характера, мы находим у Оскара Бэккера. Страх, сказал он, — это та движущая сила, из-за которой человек занимается математикой, но не страх перед изгнанием из канторовского рая, как у Гилберта, а экзистенциальный страх — страх смерти. В конечном счете мате­ матик стремится к овладению бесконечным с помощью конечного. И здесь обнаруживается не что иное, как попытка математика преодолеть с помощью бесконечных конструкций свою конечность, свое пребывание в руках смерти, которое — возможно, совсем бессознательно, — глубоко пугает его135. Интересно при этом, что здесь роль математики сходна с ролью религии. Когда Д. К. Бурлака описывает религию таким образом: «Религия — это попытка человека выйти за пределы времени как такового... это творческая попытка живого человека приобщиться к вечности, осуществляемая в границах времени» , то стоит лишь заменить слово «религия» на «математика», и получится высказывание в духе Беккера.

Гильберт потребовал, например, чтобы Брауэра вычернули из списка издателей главного математического журнала «Mathematische Annalen», и добился этого, принизив при этом научную репутацию Брауэра.

134Weyl. Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik. S. 16-17.

135Более детальные рассуждения можно найти в сочинениях Бэккера: Becker. Mathematische Existenz. S. 439-809; Idem. Grosse und Grenze der mathe­ matischen Denkweise.

136Бурлака. Автореферат. С. 33.

460 ПОСЛЕСЛОВИЕ от АВТОРА

Итак, мы увидели не только научные предмнения, но и экзистенциальные условия, воздействующие как на выбор мате­ матики в качестве сферы деятельности в целом, так и на выбор того или иного математического направления. Теперь можно спросить: какие черты характера побуждают человека выбрать такое направ­ ление, как математический платонизм? (При этом мы, конечно же, имеем в виду не поверхностный платонизм классической мате­ матики, которая не заботится о своих основах, а те взгляды на математику, в которых обнаруживаются существенные элементы платоновской философии). Мы полагаем, что имеется 5 таких существенных элементов: а) истина; β) мораль; γ) честность; δ) бесстрашие и ε) деятельность.

137

а) Истина. В математике, как говорит А. А. Ивин , исполь­ зуется три разных толкования истины, взаимно дополняющие друг друга: истина как согласованность, как средство, ведущее к успеху,

икак соответствие. Мы уже приводили специфическую точку зрения Гильберта по этому поводу; добавим еще следующее его высказывание: «Если произвольно выбранные аксиомы не противо­ речат друг другу со всеми своими последствиями, то они правдивы,

итогда существуют определенные этими аксиомами вещи. Вот это

138

для меня критерий истины и существования» . Витгенштейн

Ивин. Проблема истины в математике. С. 48.

Гильберт в письме к Фреге, опубликованном в: Unbekannte Briefe Frege's

über die Grundlagen der Geometrie und Antwortbrief Hubert's an Frege // Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften, Mathe-

matisch-naturwissenschaftliche Klasse, Jg. 1941. 2. Abhandlung. S. 17.

«В принципе, — так описал этот взгляд Л. А. Калужнин, — свойства и отношения, сформулированные в аксиомах, совершенно произвольны. На них накладывается только требование непротиворечивости, т. е. невоз­ можности вывода из них какого-либо утверждения А и его отрицания -Ά. Но, конечно, в действительности аксиомы выбираются так, чтобы они отражали какие-то существенные стороны действительности. Так сразу видно, что в аксиомах Гильберта сформулированы некоторые свойства и отношения, которые соответствуют привычному содержательному пониманию. Но — и именно это важно подчеркнуть — после того как сами отношения и встречающиеся в них понятия абстрагированы от дейст-

Послесловие от автора 461

выразил свой взгляд таким образом: счет означает «технический прием, ежедневно применяемый в самых разных актах нашей жизни. Вот почему мы учимся считать так, как учимся: с бес­ конечными упражнениями, с нещадной точностью; потому-то мы неуклонно настаиваем, чтобы после слова "один" все произносили слово "два", после слова "два" — "три" и т. д. — "А тогда не оказывается ли этот счет просто неким употреблением; не полу­ чается ли, что такому ряду не соответствует никакая истина?" — Истина состоит в том, чтобы этот счет был пригоден. — "То есть, ты хочешь сказать, что «быть истинным» — значит быть употребимым (или полезным)?" — Нет, не это; а то, что о натуральном ряде чисел — так же, как и о нашем языке — не скажешь, что он истинен, можно же сказать, что он применим, и прежде всего, что он применяется»139. Для математика-платоника все эти понятия истины и существования абсолютно недостаточны.

β) Мораль. Здесь следует обратиться к рассуждениям Брауэра в его докладе в Вене. В нем он прямо и беззастенчиво формулирует: математика является инструментом человека, преднамеренно соз­ данным и применяемым на службе инстинкта самосохранения и овладения окружающей средой; единственное оправдание матема­ тического мышления, говорит он, лежит в его целесообразности и пригодности для подчинения мира, включая людей140. Такое

вительности, в формально аксиоматическом построении теории намеренно отвлекаются от содержательного понимания, и вопрос об истинности или очевидности аксиом уже больше не ставится. В самой математической теории изучаются только логические следствия из аксиом, принятых в качестве посылок» (Калужнин. Что такое математическая логика? С. 140141; курсив мой.)

Витгенштейн. Замечания по основаниям математики. С. 5. Ср. также: «Поразмыслим над тем, что математическая убедительность достигается грамматическими предложениями; выражением, результатом этой убеди­ тельности служит то, что мы принимаем некое правило. Поэтому нет ничего удивительного в том, что словесное выражение результата мате­ матического доказательства ввергает нас в плутни мифотворчества» (Там же. С. 82-83).

Brouwer. Mathematik, Wissenschaft und Sprache. S. 153-164.

462 ПОСЛЕСЛОВИЕ ОТ АВТОРА

описание совсем не соответствует убеждениям платоновского мате­ матика. Для него цель математика — уводить нас «ввысь», о чем мы уже не раз говорили.

γ) Честность. Вспомним, что Платон жаловался, что Парменид «рассказывает нам какую-то сказку, будто детям»141, т. е. действует нечестно, вводит нас в заблуждение. Похожим образом философ Фейерабенд однажды отметил: «Что действительно приводит меня в замешательство в научных статьях, так это то, что в них нам рассказывают сказки» . Сказки — здесь, разумеется, в отрица­ тельном смысле слова — рассказывают, например, те ученые, которые просто слепо повторяют мнения других авторов; Ван дер Варден, после многолетних и тщательных исследований истории математики в древности, на основании собственного чтения подлинных источников, восклицал: «Сколько утверждений в книгах по истории математики списывалось из других подобных же книг без всякой критики и без изучения источников! Сколько находится в обращении побасенок, которые считаются "общепризнанными истинами"!»143 Другой пример приводит Куайн: он исследовал книгу «Symbolic Logic» Льюиса Кэрролла, математика и знаме­ нитого сказочника, и пришел к выводу, что тот совсем не честно приводит мнение своих оппонентов и «подает детям прискорбный пример интеллектуальной недобросовестности» . Еще одну форму «сказок» мы видим там, где речь красива, а содержание скудно: «Иногда, особенно в философии, стиль явно берет верх над содержанием, что приводит к набору красивых и якобы значимых фраз, в которые читатель тщетно пытается вложить доступное ему содержание и поэтому поражается их глубокомыслию»145. Значит, такой автор нечестен, он подтасовывает и создает то, что при

Софист. 242с.

Feyerabend. Die Torheit der Philosophen. S. 17.

Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. С. 12-13. Van Orman Quine. Theorien und Dinge. S. 172. Розов. О стиле в науках. С. 18-19.

Послесловие от автора 463

пристальном рассмотрении оказывается миражом в научной одежде. Но сказки мы находим даже в самой математике. В книге Шпальта146, доктора математики, одна глава называется «Совре­ менная сказка о равномерной конвергенции». В этой книге Шпальт описывает результат своих исследований как «первоклассные похороны для единого всеобъемлющего математического разума». Он взял на себя труд читать оригинальную литературу, касающуюся важных математических тем, и обнаружил, что общеупотреби­ тельные представления оказываются довольно часто результатами пропагандистской риторики и искажения истории. Например, Шпальт обозначает обычное в наше время отклонение исчисления методом конечно малых как «догматическое утверждение, которое неприемлемо, как любое другое догматическое утверждение, — и математика, кстати, содержит множество таких догм» . А теперь вспомним Сократа — как реального, так и платоновского — со своим неутомимым расспрашиванием: правда ли это? Так ли это в действительности? Современный платоновский математик вос­ производит эту привычку. Хорошим примером является высказы­ вание Джона Нэша: «Мы всегда должны проверять свои основные

148

предположения, как в жизни, так и в науке» δ) Бесстрашие. В математике оно состоит в том, что отдельный

мыслитель смеет идти своим путем, даже если его коллеги, как

149

Энгельс говорил, «морщат нос и строят гримасы» из-за того, что он размышляет над философскими вопросами. Образцом смелого математика-платоника мы вновь назовем Пауля Финслера (подроб­ ности см. в Приложении А). Герберт Гросс указывает в преди-

Spalt. Vom Mythos der mathematischen Vernunft.

Ibid. S. 339. Шпальт жестко выступает также против математического предприятия Николаса Бурбаки, называя его «Архипелагом Бурбаки» — сравнивая «интеллектуальную тюрьму», выстраиваемую в трудах этого французкого коллектива, с лагерной системой, описанной в «Архипелаге ГУЛАГ».

Nash. Interview. S. 3.

Маркс, Энгельс. Сочинения. Т. 20. С. 575.

464 ПОСЛЕСЛОВИЕ ОТ АВТОРА

словии к сборнику «Пауль Финслер, Статьи к теории множеств» , что Финслер, настаивающий на «абсолютной логике» в качестве гаранта «правильного» мышления, стал на всю жизнь аутсайдером среди коллег из-за этой претензии. Все же нельзя считать его взгляд слишком простым: «Аксиоматичная теория множеств, которая относится к объективным математическим предметам, понятийно очаровывающая идея нециклических множеств, все финслеровское собрание оснований математики заслуживают подробного изучения»151. Так же смело, несмотря на, мягко говоря, удивление своих коллег, Финслер опубликовал книгу «О жизни после смерти»1 , в которой он, в лучших платоновских традициях, представил смесь математических и экзистенциально-философских размышлений.

ε) Деятельность, т. е. готовность и стремление использовать свои знания и свой талант на благо общества. Здесь снова не­ обходимо вспомнить, что Платон, несмотря на свою склонность к математике, был в первую очередь философом и моралистом. Математика, как он понимал ее, не уводит нас от реального мира, а помогает нам лучше понимать, что приводит к благу народа153. Не

Unger. Paul Finsler — Aufsätze zur Mengenlehre.

Ibid. S. VII-VIII.

Finsler. Vom Leben nach dem Tode. Д. Паррокья перевел эту книгу на французский: Finsler P. De la vie après la mort. Mathématiques et

métaphysique. Paris: Encre Marine, 1999.

То, что Платон в большей степени занимался не общественными делами напрямую, а вопросами воспитания и образования, говорит не об отвлечен­ ности его мысли от реальной жизни, а о его стремлении обнаружить фундамент благого государства и подготовить подходящих для такого государства чиновников и лидеров. И. Н. Мочалова писала: «Возвращение Платона из первой поездки в Южную Италию в 388/387 году в Афины сделало его активным участником обсуждения проблем воспитания и образования. Придя к выводу о невозможности для порядочного человека без ущерба для своей добродетели заниматься общественными делами при существующем государственном устройстве, Платон сознательно и убежденно, как сам он об этом пишет в Седьмом письме, делает выбор в пользу занятий философией, подчеркивая, что "лишь от нее одной исходят

Послесловие от автора 465

были преувеличением и следующие слова А. Ф. Лосева: «И биография Платона, и его произведения полны необычайной актив­ ности, практической предприимчивости и постоянного искательства во что бы то ни стало реально воплотить в жизнь свои философские принципы» . Это подчеркивал и Гегель: «То, что было начато Сократом, было завершено Платоном, который признает сущест­ венным, истинно существующим лишь всеобщее, идею, добро. Своим изображением идей Платон раскрыл пред нами интеллек­ туальный мир, но не находящийся по ту сторону действительности, на небе, в каком-то другом месте, а действительный мир»155. И здесь Финслер вновь служит нам хорошим примером: в своей вышеупомянутой книге «О жизни после смерти» он установил и защитил, с помощью личного опыта и математических размыш­ лений, тезис, что каждый человек проживает жизнь каждого дру­ гого человека, и это значит, что то, что ты делаешь сейчас другому, делаешь, на самом деле, самому себе (т. е. тогда, когда ты сам

как государственная законность, так и все, касающееся частных лиц" (PI. Ер. VII. 326ab, ср.: PI. Apol. 32е). Именно о пемещении интересов Платона из области политики в область образования и воспитания свидетельствует выбор места, где Платон, вероятно, вскоре после своего возвращения решает поселиться, чтобы заняться преподаванием» (Мочалова. Метафизика ранней академии и проблемы творческого наследия Платона и Аристотеля. С. 237-238).

Лосев. Платоновский объективный идеализм и его трагическая судьба. С. 36.

Гегель. Лекции по истории философии. С. 147. Ср. также с. 141: «Более всех других пользуется известностью и вместе с тем дурной славой одно место в "Государстве", в котором Платон выражает свой взгляд на зна­ чение философии, и эту известность и дурную славу указанное высказы­ вание заслужило потому, что оно находится в полном противоречии с обычными представлениями людей. Оно более всех других привлекает внимание еще и потому, что оно касается отношения философии к государству и, следовательно, к действительности. Ибо, хотя и другие приписывают философии некоторую ценность, она все же ведь не выходит за пределы мысли отдельного человека; здесь же она пускается в рассмотрение вопросов о государственном устройстве, правительстве, действительности».

466 ПОСЛЕСЛОВИЕ ОТ АВТОРА

будешь этим человеком). Это, пишет Финслер, и есть то, что ска­ зано в Библии: «...и дела их идут вслед за ними»156. Следовательно, остается в силе и этот девиз: «забрать с собой» мы можем то, что мы дали другим. Цель Финслера в этой книге была не только просветительской — там, где он излагал математические и астрономические результаты и размышления для простых чита­ телей, — но и в первую очередь нравственной, и он хотел высказать

эти мысли ради блага людей. Деятельность и смелость в служении

157

добру — вот образ действий математика-платоника!

***

Иногда Платон позволял себе употреблять «торжественные» вы­ ражения. Позволим себе закончить эту работу такими словами одного исследователя истории математики: «Математика — это служение божественному, это предназначение и посвящение, это близость Бога и праведное упоение истиной. Горе тому, кто расценит эту взрывную силу Вселенной как дурачество, сухую болтовню или каприз ученых. Такой человек когда-нибудь будет захвачен последним отголоском этой космической власти и будет вращаться, как пожухлый лист в мусорной куче истории, если еще

Библия. Опер. 14, 13.

Можно упомянуть и других математиков платоновского направления. Леонард Эйлер, например, написал книжку, в которой защищал христианскую веру (Euler. Rettung der Göttlichen Offenbahrung wider die Einwürfe der Freygeister). В своих письмах к немецкой принцессе он обсуждал не только научные, но и философские и теологические вопросы (Эйлер. Письма к немецкой принцессе о разных физических и философских материях). Или Курт Гедель, которого интересовала воз­ можность доказания существования Бога (см.: Muck. Eigenschafken Gottes im Licht des Gödelschen Arguments. S. 60-86). Или Андреас Шпайзер, который не только писал статьи о философии Платона (Speiser. Piatons Ideenlehre und die Mathematik) и целый комментарий на платоновский Парменид (Speiser. Ein Parmenideskommentar), но и занимался общест­ венными вопросами, например в своей ректорской речи «О свободе» (Speiser. Über die Freiheit).