Приложение Б:
Мотивировки выбора математического платонизма
Обычно люди не выбирают осознанно какую-либо определенную религию или философию, а принимают ту, в которой они родились. Таким же образом студенты-математики обычно не выбирают то или иное математическое направление — платонизм, интуиционизм и т. д., — а принимают то, которое преподается в их университете. В большинстве случаев сегодня это «очищенный» или «благо разумный» (в смысле Бернайса) платонизм. Однако хотелось бы, чтобы мы не довольствовались простым нахождением в мэйнстриме математического платонизма, а могли указать на факты и раз мышления, которые обосновывают такой выбор или хотя бы настоятельно рекомендуют его. Естественно, мы не сможем «доказать», что платонизм является «правильным» — в конечном счете это личное решение, какое направление предпочесть и выбрать, — но хорошо, если мы можем выявить ясные поводы для того, чтобы предпочесть именно его. В дальнейшем мы назовем несколько таких причин.
Б1: Загадки ряда натуральных чисел
Натуральные числа представляются очень простой вещью: зна комый ряд знакомых чисел 1, 2, 3, 4, 5... Они возникли в повседневной жизни и употребляются в ней — 2 яблока, 5 коров. Но уже древние греки заметили, что существуют интересные свойства, касающиеся отдельных чисел и отношений между ними, и они сформулировали такие понятия, как «простые числа», «совершенные числа»1, «дружественные числа» и т. д. Греки
Совершенное число — это натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей, отличных от него самого. Они встречаются редко, четвертое совершенное число — это уже число 8128 (действительно,
492 МОТИВИРОВКИ ВЫБОРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА
обнаружили также интересные законы, например: если/? = 1 + 2 + 2 + 2 +...+ 2п простое число, то 2"ρ — совершенное число . Особое очарование натуральных чисел состоит в том, что существуют кажущиеся простыми проблемы, которые при этом трудно решить. В. П. Смилга говорит о парадоксальной, странной и удивительной красоте теории чисел, которая «прежде всего, быть может, обна руживает себя в пленительной простоте формулировок невероятных по сложности теорем», и как пример он приводит известную проблему близнецов: «Среди простых чисел встречаются странные пары: 5-7; 11-13; 17-19; 29-31; 41-43.., и т. д. Спрашивается: оборвется ли где-либо этот ряд, или же он продолжается до бесконечности? Как видим, формулировка теоремы вполне ясна способному ученику второго-третьего класса. Ни Эйлер (а он был гений), ни Гаусс (и он был гений) и никто другой из сотен блестящих умов не нашел ответа до наших дней»4.
Известна также проблема Ферма: он предположил, что для любого натурального числа η > 2 уравнение а + Ъп = сп не имеет решений в целых ненулевых числах я, Ь, с. Например, если дано уравнение а + 6 = с3, то мы никогда не найдем такие целые числа а, è, с, которые удовлетворяли бы этому уравнению. Суть такого предположения понятна, но многие известнейшие математики обломали себе зубы об эту задачку, и она была решена только в 1995 г. Эндрю Уайлсом. Но остались и до сих пор не решенные
делители числа 8128 — это 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064, и их сумма равна 8128).
Дружественные числа — это пара натуральных чисел, каждое из которых равно сумме всех делителей другого. Так, делители числа 284 — это 1, 2,4, 71, 142; их сумма равна 220, а делители числа 220 — это 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110; их сумма равна 284. Выдающиеся математики интересовались такими отношениями; Эйлер, например, нашел несколько таких пар.
Например, для п = 2 :р= 1 +2 + 22 =7 — это простое число, следовательно 22 · 7 = 28 — совершенное число. Доказательство этого утверждения мы приводим в Приложении Г2.
Смилга. Десять историй о математиках и физиках.
Загадки ряда натуральных чисел 493
вопросы — кроме упомянутой проблемы близнецов, существует, например, проблема дружественных чисел. В сентябре 2007 г., как мы знаем из Википедии, было известно 11 994 387 пар дружест венных чисел, но неизвестно, является количество таких пар конечным или бесконечным. Все до сих пор найденные пары состоят из чисел одной четности, и также неизвестно, существует ли хотя бы одна четно-нечетная пара.
Такие обстоятельства можно, конечно же, интерпретировать поразному, но, по мнению многих математиков, они явно под тверждают точку зрения платонизма, согласно которой числа являются не нашим изобретением, а самостоятельной областью идейных сущностей. Вспомним, что даже Кронэкер называл натуральные числа изобретением Бога.
Надо сказать, что существуют представляющиеся «чудесными» свойства чисел, в которых на самом деле нет ничего чудесного; они просто базируются на десятичной системе. Такое происходит в следующих примерах:
1x9 |
+ 2 |
= 1 |
|
1x8+1 |
= |
9 |
|
12x9 |
+ 3 |
= 1 |
|
12x8 + 2 |
= |
98 |
|
123x9 |
+ 4 |
= 1 |
|
123x8 |
+ 3 |
= |
987 |
1234x9 |
+ 5 |
= 1 |
1111 |
1234x8 |
+ 4 |
= |
9876 |
12345x9 |
+ 6 |
= 1 |
12345x8 |
+ 5 = |
98765 |
||
123456 χ 9 + 7 |
= 1 111111 |
123456x8 |
+ 6 |
= |
987654 |
||
1234567x9 |
+ 8 |
= 1 |
111111 |
1234567x8 |
+ 7 = |
9876543 |
|
12345678x9 |
+ 9 |
= 1 11111111 |
12345678x8 |
+ 8 |
= |
98765432 |
|
123456789x9+10 = 1 111111111 |
123456789x8 |
+ 9 |
= |
987654321 |
|||
Однако в царстве натуральных чисел существуют действительно удивительные явления. Называем одно , которое выглядит простым, но раскрыть его загадку удалось совсем недавно. Здесь главную роль играет так называемое «разбиение натурального числа η — это представление η в виде суммы натуральных чисел. Это разбиение может быть представлено в разных вариантах, например 7=4 + 3, но также и 7=1 + 1 + 1 + 1 + 1+2 или 7 = 2 + 2 + 3, и т. д., и мы можем
5 |
Другие примеры находятся в Приложении Г11. |
|
494 МОТИВИРОВКИ ВЫБОРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА
определить количество разбиений ρ (η) для каждого натурального числа п. Первые ρ (η) такие:
1 |
2 |
1+1 |
3 |
4 |
5 |
| |
|
2+1 |
3+1 |
4 + 1 |
|
|
|
|
]1+1+1 |
2+2 |
3 + 2 |
|
|
|
|
2+1 + 1 |
3 + 1 + 1 |
|
|
|
|
1+1+1+1 |
2 + 2+1 |
|
|
|
|
|
2+1+1+1 |
|
|
|
|
|
1+1+1+1+1 |
г |
|
• |
• |
• |
i |
PCD=1 |
М2) = 2 |
Р(3) = 3 |
/*4) = 5 |
Р(5) = 7 |
|
Количество разбиений сначала увеличивается медленно:
Р(6)=П
Ρ(7) =15
Ρ(8)= 22
Ρ(9) = 30 ρ (10) = 42
но вскоре начинает расти крайне быстро:
ρ(100) =190 569 292
ρ(1000) = 24 061 467 864 032 622 473 692 149 727 991.
Ивозникает вопрос: есть ли здесь какая-то закономерность, какаято структура?
Сами по себе числа разбиений совсем не сложные. Но они «составляют сумасшедшую последовательность целых чисел, кото рая быстро возрастает до бесконечности», как говорил их иссле дователь Кен Оно из университета Эмори в Атланте (США). И «эта провокационная последовательность вызывает удивление, уже с давних пор завораживая математиков». Только недавно, в 2011 г.,
группа математиков под руководством Кена Оно обнаружила систему этих чисел6, и случилось «чудо»: оказалось, что числа разбиений поразительным образом являются фрактальными, само подобными.
URL: http://esciencecommons.blogspot.ru/2011/01 /new-theories-reveal-nature- of-numbers.html
496 МОТИВИРОВКИ ВЫБОРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА
Математик платонического толка склонен интерпретировать этот факт таким образом: треугольник Морли всегда «пребывал» во всех треугольниках, просто мы долго не знали об этом (или, по Пла тону: наша душа созерцала когда-то это свойство треугольников, но забыла). Мы не сами изобрели этот равносторонний треугольник, но обнаружили его вечное существование (по Платону: обнаружили тогда, когда наша душа вспомнила). Другими словами, платоновс кое понимание феномена треугольника Морли — как и пентагональной теоремы Эйлера — можно считать вполне убедительным.
Можно, конечно, возразить, что эти числовые и геометрические явления формирует исключительно наш разум и что если мы не сразу понимаем все детали наших собственных построений, то это просто похоже на прибор, изобретенный инженером, который сам не знает всех свойств и способностей своего аппарата. Но такое толкование на самом деле непродуктивно, так как сразу возникает вопрос: почему мозг разных людей практически единообразно формирует математические представления, термины и законы? Откуда этот разум? И мы, рано или поздно, вернемся к беседе Сократа с молодым рабом...
БЗ: Роль закона исключенного третьего в арифметике9
Ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5..., как мы уже сказали, не вызывает на первый взгляд никаких трудностей. Эти числа просто «здесь», перед нашими глазами, как камни на земле или звезды на небе. Если мы пишем уравнение 13 + χ = 20, то мы выбираем «из всех (!) натуральных чисел» те, что подходят, и говорим, что в нашем примере подходит число 7 (и только 7). Если пишем 13 -х = 20, то скажем, что подходящего натурального числа не существует. То есть такой JC либо существует, либо нет, третья возможность исключена. Или возьмем теорему Ферма: хотя мы
Я использую здесь некоторые мысли Лоренцена (Lorenzen. Wie ist Philo sophie der Mathematik möglich? S. 199-207). В Примечании В12 закон исключенного третьего обсуждается снова, но с другого ракурса.
Роль закона исключенного третьего в арифметике 497
долго не знали, существуют ли три числа а, Ъ, с, которые удовлетворяют уравнение χ + уп = ζη , если η > 2, мы были уверены, что они либо существуют, либо нет, третья возможность исключена. Факт, что с 1995 г. мы знаем ответ, не имеет принципиального зна чения, уже до этого было решено, есть такие три числа или нет.
В таких случаях мы судим таким же образом, как и в случае с упаковкой яиц: если кто-то утверждает, что не все яйца целы, то мы можем с уверенности сказать, что он либо прав, либо не прав, — просто открыть упаковку и проверить! В случае теоремы Ферма удалось «посмотреть в упаковку и проверить», но это только удачный случай, и в случае проблемы Гольдбаха10 мы тоже полагаем, что, хотя количество четных чисел, которые надо про верить, является бесконечным, проверка в принципе возможна, следовательно, вопрос решен, мы только пока не знаем решения.
Почему мы так думаем? Потому, что мы представляем себе множество, состоящее далее из бесконечного количества чисел или
бесконечного количества комбинаций чисел как упаковку яиц и думаем, что и здесь мы можем применить закон исключенного третьего: либо да, либо нет.
Но откуда это представление, что мы можем обращаться так не только с конечным, но и с бесконечным количеством вещей, напри мер числами? По мнению Лоренцена, объяснение таково: в древ ности, по крайней мере после Аристотеля, только конечное рассма тривалось как «актуальное» . Но в Средневековье иудейско-
В более сильной форме это утверждение сформулировал Эйлер: любое четное число, начиная с 4-jc, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Например, 8 = 3 + 5, 20 = 7 + 13, 44 = 13 + 31. При этом воз можны варианты: 20 = 7 +13 = 3 + 17, 44 = 3 + 41 = 7 + 37 = 13 + 31, но, как гласит теорема Гольдбаха, по крайне мере одна такая сумма существует.
По Платону, актуальная бесконечность существует: «Если существует одно, то необходимо, чтобы существовало и число. Но при существовании числа должно быть многое и бесконечная множественность сущест вующего. В самом деле, разве число не оказывается бесконечным по количеству и причастным бытию?» (Парменид. 144а). «В этом отрывке — сказал Нейдхарт, — лежит корень математического платонизма, который подтверждает актуальное существование бесконечных множеств» (Neid-