Платоновская геометрия 563
Г12: Платоновская геометрия
Наряду с арифметикой Платон считал и геометрию хорошей под готовкой к «пути вверх»: она «помогает душе человека обратиться
к той области, в которой заключено величайшее блаженство бытия»89.
Речь идет здесь не о геометрии, которая используется успешно «при устройстве лагерей, занятии местностей, стягивании и развертывании войск и разных других военных построениях как во время сражения, так и в походах», а о преобладающей части геометрии, имеющей «более широкое применение: направлена ли она к нашей цели, помогает ли она нам созерцать идею блага?» К сожалению, мы не знаем содержания и методов геометрических уроков в Академии, но существуют и современные подходы, которые смотрят на геометрические феномены новым взглядом, притом не статично, а динамично, что позволяет дать волю воображению и приблизиться, например, к решению вопроса о динамичном переходе от платоновских идеей к чувственным феноменам.
Здесь нам придется, конечно, ограничиться одним нетрудным примером; для этого мы выбрали овалы Кассини. Это, по определению, геометрическое место точек, произведение расстоя ний от которых до двух заданных фокусов R и S постоянно и равно квадрату некоторого числа а. (Это определение звучит сложнее, чем оно есть на самом деле.) Предположим, что расстояние d между фокусов R и S равно 6:
R |
t |
S |
I I I I 1 I I |
Ι ι ι ι ι ι ι t |
ι | ^ » » ^ < |
||
и число а равно 4. Сначала мы нарисуем квадрат со сторонами 4:
Государство. 526d.
Платоновская геометрия 567
участник семинара нарисует один возможный случай, а потом можно сравнить получившиеся результаты. В литературе находятся рисунки, где описан сразу ряд вариантов, и в результате полу чаются так называемые «овалы Кассини»:
Но это только то, что обычно проходят в школе. И если мы остановимся на этом рисунке, то останемся в пределах «школьной геометрии». А «платоновская геометрия» требует дополнительных шагов: мы должны оживлять рисунок, приводить его в чувство. Чтобы сделать это, заметим, что отрезки тип связаны: для одного особенного овала число а является неизменным, следовательно неизменны и а2, и m · η = а2, и последнее уравнение означает: если m растет, то η уменьшается, и наоборот. Попробуем в динамике увидеть, что происходит:
-Представим, что сначала отрезок m очень мал, следовательно мал и круг с радиусом /и, он является почти точкой. Тогда другой отрезок л, наоборот, очень велик, и круг с радиусом η тоже велик настолько, что уже не умещается на бумаге, он лежит «где-то в бесконечности». Значит, эти два круга не пересекаются, и следовательно, точки кривой не существует.
-Потом m растет, и с ним растет и левый круг. Этот рост выглядит, как будто центр R является «источником растущих кругов», один круг как будто раздувается. В то же время другой
568 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ
отрезок η уменьшается, а с ним уменьшается и правой круг, и это выглядит, как будто центр S «тянет» этот круг к себе, сокращая его размер, или, скажем, круг «сжимается» в точку S.
н—h
-А что будет, если этот процесс продолжится? На левой стороне, где круг исчез в бесконечности, он вдруг появится в точке R, потом станет маленьким кругом, а затем вырастет вновь... А на правой стороне, где круг исчез в точке S и сам стал точкой, он, в одно мгновение, появится в бесконечности как огромный круг, который в ходе процесса опять начнет сжиматься...
-Но это еще не все. Что происходит в это время с овалом? Его сначала нет, потому что круги не пересекаются. Но когда левый круг растет, а правый уменьшается, вдруг, «на одну милли секунду», в фокусе R появляется точка, которая сразу раз дваивается на две симметричные точки, и эти точки начинают рисовать овал. Наконец они приближаются, совпадают в фокусе S...
иисчезают. Куда? Как будто в невидимую сферу: от точки S в бесконечность, и из бесконечности «обратно» в точку R. Или из видимой сферы в невидимую, и обратно...
Таким образом, овал Кассиди — это не просто мертвый орна мент на бумаге, скорее он появляется как «дышащее существо», существующее одновременно в видимом и невидимом.
Во всем этом нет никакой «мистики», это чистая геометрия. Мы лишь смотрим на феномен другими глазами и расширяем при
Дедукция уравнения Эйнштейна Ε = тс2 569
этом наши силы воображения. Можно идти по этому пути и дальше, занимаясь уже более сложными упражнениями90. И с помощью таких личных, даже немного эмоциональных пере живаний, мы можем хотя бы краем глаза заглянуть в мир неви димых идеей и почувствовать их живую связь с нашим видимым миром...
Г13: Дедукция уравнения Эйнштейна Ε = тс
Закончим наш ряд возможных упражнений одним примером из физики, чтобы увидеть конкретно, как математика используется для выяснения свойств природы. С помощью этого примера философ сможет получить какое-то представление о том, как можно дедуцировать новую формулу из некоторых естественных и математических предпосылок.
Эйнштейн опубликовал эту дедукцию в 1946 г. По его собст венным словам, у нее есть преимущества по сравнению с первым доказательством 1905 г. Хотя она предполагает специальную теорию относительности, при этом она не использует формальное оснащение теории, как раньше, а только алгебру и тригонометрию и три известных закона физики. Поэтому здесь мы считаем эту дедукцию подходящей для того, чтобы продемонстрировать гума нитариям теоретические основания этой формулы. Только надо сразу отметить, что Эйнштейн предложил очень смелый тезис, гласивший, что энергия может превращаться в массу и наоборот, — тезис, который позже подтвердился множественными эксперимен тами, но все равно принципиально удивляет. Далее, надо знать определение импульса: если какое-то тело имеет массу m и скорость ν, то его импульс / равен произведению массы на его скорость: / = m · ν. Наконец, мы предлагаем следующие два закона (которые можно отдельно объяснить, если будет нужно):
См. список литературы на с. 184-185.
91 Einstein. The Theory of Relativity and other Essays. P. 70-73.
Дедукция уравнения Эйнштейна Ε = тс2 573
Раньше мы видели, что α = —, поэтому вертикальный компонент
импульса / каждого пучка равен |
|
|
Ε |
Εν |
Εν |
2с |
2с с |
2с2 |
Следовательно, пучки S и S' имеют вместе вертикальный импульс
Εν Εν
2с2 с2
Значит, система из тела В и пучков лучей S и S' имеет, если мы смотрим на ситуацию с платформы, перед столкновением импульс
Εν mnv + с2
После столкновения скорость тела В, как мы знаем из первого наблюдения, не изменилась, т. е. она до сих пор, если мы смотрим с платформы, равна v. А масса тела, как мы знаем, увеличилась и имеет новое значение гп\. Следовательно, глядя с платформы, мы определяем импульс тела В как пц-v. А пучки лучей? Их уже нет, поэтому /и,· ν — единственный импульс.
Теперь мы применим закон сохранения импульса: сумма им пульсов до взаимодействия равна сумма импульсов после взаимо действия. Мы получаем
|
Εν |
|
|
mnv + с2 |
|
Разделим на ν |
и изменим форму уравнения: |
|
|
Ε |
|
|
тх-т0 - -Ύ |
|
Разность (т\ - |
то) означает увеличение массы тела, и если мы обо |
|
|
<- |
Ε |
значим это увеличение букв |
m - — или, на- |
|
значим это увеличение буквой /и, мы получим |
||
конец, знаменитую формулу |
с |
|
Е = т ш с
574 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ
Послесловие
Желательно, конечно, чтобы преподаватель не просто про демонстрировал эту дедукцию, но дал студентам-гуманитариям возможность думать, проверять и ставить вопросы, чтобы они обрели если не полное, то хотя бы приблизительное понимание. Желательно также приободрить студентов, если они признаются, что чувствуют себя в некоторых вопросах дураками. Можно процитировать им высказывание профессора Смилги: «Читая Фейнмана и других великих — Эйнштейна, Дирака, Ферми, — испытываешь смешанное чувство гордости за людей и некоторое грустно-завистливое восхищение. Понять-то их можно, но само стоятельно мыслить на таком уровне тебе, увы, не дано» .
Следует указать и на то, что, так как в этом уравнении с означает скорость света, множитель с2 — это очень большое число, и это значит, что даже из маленькой массы m мы получаем огромную энергию Ε — один грамм массы позволяет, например, превратить 30 000 тонн воды в пар. И Эйнштейн спросил: «Если каждый грамм материи содержит такую огромную энергию, почему так долго это оставалось незамеченным? Ответ достаточно прост: до тех пор пока никакая энергия не выделяется вовне, она не может быть обнаружена. Это как если бы сказочно богатый человек
никогда не потратил или не отдал ни цента; никто не мог бы
93
сказать, насколько он богат» .
Можно также подискутировать о философско-мировоззренчес- ком значении этой формулы и современной физики в целом. Окажется, что наш видимый, чувственный мир — это только то, что мы воспринимаем с помощью наших органов чувств, а мир физики — «тайное», «загадочное» явление, которое можно описывать только средствами высшей математики. В обыденной жизни мы находимся «в подземном жилище наподобие пещеры», видим только то, что у нас прямо перед глазами, и принимаем тени
Смилга. Десять историй о математиках и физиках. Einstein. The Theory of Relativity and other Essays. P. 14.
