216 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

Такие явления были впоследствии подвергнуты Гауссом точному математическому описанию. Известная Гауссова кривая распределения точно выражает то, что уже Платон наблюдал и описал:

количество людей

3.6. Платоновы тела

В диалоге «Тимей» есть знаменитое место, в котором Платон описывает правильные многогранники64 и использует их затем для объяснения элементов6 . Платон исходит из констатации, что огонь, земля, вода и воздух — это тела, и, следовательно, ограничены некоторыми поверхностями. А всякая прямолинейная поверхность состоит из треугольников, и все треугольники можно привести к двум формам: равнобедренным прямоугольным треугольникам и неравнобедренным прямоугольным треугольникам. Все треугольники первого вида имеют одну форму, второго — бес­ конечное множество форм. Интересно при этом, что Платон

Правильные многогранники называются еще и «Платоновыми телами», так как Платон описывал и использовал их в «Тимее». Многогранник является правильным, если: 1) он выпуклый; 2) каждая его грань — правильный многоугольник; 3) все грани конгруэнтны; 4) в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер. История и теория правильных много­ гранников, их употребления Платоном и их роли в современной топологии изложены в работе: Richeson. Euler's Gem — The Polyhedron Formula and the Birth of Topology.

Тимей. 53-55. Эта тема подробно обсуждается в книге: Sachs. Die fünf platonischen Körper.

Платоновы тела 217

выбирает из них подходящую для его целей форму по критерию «красоты» 66:

Нам же представляется, что между множеством треуголь­ ников есть один, прекраснейший, ради которого мы оставим все прочие, а именно тот, который в соединении с подобным ему образует третий треугольник — равносторонний67.

Таким образом, мы получаем два прямоугольных треугольника (которые будут лежать в основе следующей конструкции эле­ ментов), «один из них равнобедренный, а другой таков, что в нем квадрат большой стороны в три раза больше квадрата меньшей», т. е. равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами α и я,

и прямоугольный треугольник с катетами ^ и ^-л/3 :

Теперь следующая задача состоит в том, чтобы указать,

каковы же те четыре рожденных тела, прекраснейшие из всех, которые не подобны друг другу, однако способны, разрушаясь, друг в друга перерождаться. Если нам удастся попасть в точку, у нас в руках будет истина о рождении земли и огня, а равно и тех [стихий], что стоят между ними как средние члены пропорции. Тогда мы никому не уступили бы в том, что нет видимых тел более прекрасных, чем,эти, притом каждое из них прекрасно в своем роде. Поэтому надо

В современной математике этот критерий также играет немаловажную роль. Французский математик Жак Адамар, например, считал чувство красоты почти единственным инстинктом, пригодным для совершения открытий в математике, а для теоретика чисел Г. Ч. Харди красота явля­ лась критерием ее правильности.

Тимей. 54а.

218 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

приложить старания к тому, чтобы привести в соответствие

четыре отличающихся красотой рода тел и доказать, что мы

68

достаточно уразумели их природу .

Следующие Платоновы тела строятся путем неоднократного соединения этих двух видов треугольников:

Платон подробно описывает все эти конструкции; ограничимся здесь примером построения тетраэдра:

Его первоначало — треугольник, у которого гипотенуза вдвое длиннее меньшего катета. Если такие треугольники сложить, совмещая их гипотенузы, и повторить такое действие трижды, притом так, чтобы меньшие катеты и гипотенузы сошлись в одной точке как в своем центре, то из шестикратного числа треугольников будет рожден один, и он будет равносторонним. Когда же четыре равносторонних треугольника окажутся соединенными в три двугранных угла, они образуют один объемный угол, а именно такой, который занимает место вслед за самым тупым из плоских углов. Завершив построение четырех таких углов, мы получаем первый объемный вид, имеющий свойство делить всю описанную около него сферу на равные и подобные

части69

< * < $

6 раз

68Тимей. 53d.

69Тимей. 54d-55a.

Платоновы тела 219

В дальнейшем Платон объясняет свойства элементов на основе этих конструкций. Возьмем снова для примера тетраэдр:

Посмотрим, почему это об огне говорят, что он горяч? На этот вопрос мы должны ответить, приняв во внимание режущее и разлагающее воздействие его на наши тела. Едва ли не все согласятся, что ощущение от огня — пронзитель­ ное; при этом нам следует вспомнить о тонкости его граней и остроте его углов, затем о малости его частиц и о быстроте их бега, ибо все эти свойства таковы, что сообщают огню напор и проворство, и потому ничто не может противостоять его режущей силе. Достаточно вспомнить и принять его в расчет его очертания и то, как они были рождены, чтобы уразуметь: эта природа, как никакая другая, способна проницать наши тела, тончайшим образом расщеплять их и доставлять тому, что мы соответственно зовем теплом, и его

70

свойства и его имя .

Применяя теорию первых четырех правильных многогранников, Платон преследовал важную для себя цель. Он опровергал теорию Демокрита по трем пунктам:

1.Элементы — это не комбинация различных атомов, а очень сложные связи.

2.Демокрит не разобрался в состояниях элементов, и его эле­ менты не могут превращаться друг в друга.

3.Согласно Демокриту, истинное познание невозможно, есть только относительная правда органов чувств \

Тимей. 61d-62a.

Нужно признать Платоновскую критику мировоззрения Демокрита «как объективно оправданную. В то же время из нее с ясностью выводится собственное положительное достижение Платона. Именно он дает завер­ шение теории элементов ионийской натурфилософии, отделяя материю от формы с большей понятийной ясностью. Этим разделением он приходит к тому, что уже лежало в основе первых материалистических теорий ионийцев как предчувствие: Платон понимает элементы как формы проявления, как агрегатные состояния единственного, неизменного и бескачественного

220ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

Вто же время Платон выстраивает свою собственную теорию рационалистического строения мира и духа. Он назвал те (прямо­ угольные) треугольники «принципами» (стойхея) огня и других элементов и объяснил, почему он берет правильные многогранники как формы элементов: они могут превращаться один в другой.

Теперь должно сказать, каковы же те четыре рожденных тела, прекраснейшие из всех, которые не подобны друг другу, однако способны, разрушаясь, друг в друга пере­ рождаться72.

Аристотель критиковал эту теорию. Ему казалось, что геометри­ ческие формы, используемые Платоном, так же как и числа, используемые пифагорейцами, не пригодны для построения космоса, так как «если каждая из двух частей не имеет никакой тяжести, то невозможно, чтобы обе вместе имели тяжесть... А что точка действительно не может иметь тяжести — очевидно... Кроме того, абсурдно, что плоскости могут слагаться только по линии...

но если может слагаться, по всей поверхности, то в результате такого сложения плоскостей получится тело, которое не будет ни элементом, ни состоящим из элементов. Кроме того, если различие в тяжести между телами зависит от числа плоскостей, как опре­ делено в "Тимее", то ясно, что и линия и точка будут иметь тяжесть»7 , что, по мнению Аристотеля, абсурдно.

основания — материи. Это большое достижение Платона, которое относится к истории физики. Он, пожалуй, осознавал важность этого шага и недвусмысленно приписывал себе приоритет этой идеи (Тимей. 48Ь). Тот, кто ставит этот приоритет под сомнение, должен знать, что он несправедлив по отношению к Платону» (Sachs. Die fünf platonischen Körper. S. 206).

72Тимей. 53d.

73Аристотель. О небе. III. 1. 299a25-300al. Д. Ричсон говорит об истори­ ческом расхождении во взглядах: «Представляет ли собой многогранник твердое тело или он полый? В некоторых определениях утверждается, что многогранники являются твердыми, трехмерными объектами, в то время как другие требуют, чтобы они были полыми и состоящими из двумерных плоскостей, составляющих их "кожу". Тот, кто принимает первое опре­ деление, построил бы многогранник из глины, в то время как согласный со вторым сделал бы его из бумаги. Когда представление о многогранниках

Платоновы тела 221

Аристотель прав в том, что нелегко объяснить возникновение материальных тел из чисто математических форм, хотя в 5-й главе мы приведем мнение квантового физика Вернера Хайзенберга о том, что эта теория Платона оказалась особенно плодотворной в физике. Сам Платон, конечно, видел эту сложность, но нашел очень интересный выход. Как подробно обясняет Штенцель74, Платон хотел создать упорядоченную систему границ, определяющих, где и когда можно и должно переходить из одной сферы в другую, особенно из области чувственного в область бестелесного и на­ оборот. И математика, с ее положением между чувственным миром и миром идей, отлично подходит на роль подобной «границы». Говоря конкретно, Платон исходил из мысленного преодоления проблемы континуума: как можно представить себе, что точка продуцирует линию? Ведь из самих точек никогда не получится отрезок, и представление о движении точки не поможет, поскольку в непрерывности движения кроется та же самая поблема растяжения. Выход, который нашел Платон, таков: линия не является бесконечно делимой, существует минимальная — конечно, очень маленькая — линия, далее не делимая75. Эти «элементарные» линии представляют собой «границы», и в то же время «переходы», например, от покоя к движению и наоборот, или от маленького к большому и наоборот, при этом сами они не являются ни тем ни

только появилось, бытовало мнение, что они твердые. Действительно, на протяжении многих веков многогранники именовались "твердыми тела­ ми". Позже, когда теория многогранников перешла в топологию, появи­ лось предположение об их пустотности. Это предположение привело к тому, что теоремы о многогранниках были обобщены с теоремами о сферах и торусах, которые являются полыми по определению)') (Richeson. Euler's Gem. P. 30). Платон был бы согласен с первым определением — или, может быть, со вторым, если признать, что у этой «кожи)) есть хоть какая-то, пусть самая маленькая, толщина.

74Stenzel. Zahl und Gestalt bei Platon und Aristoteles. S. 77-83: «Piatons Lehre von den unteilbaren Linien als Versuch einer Theorie des Kontinuums)).

75Мы уже упоминали, что это представление обсуждается также совре­ менными физиками. См., напр.: Jonath. Quantik. Wiedererwägungen zu Zahl und Zeit.

222 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

другим, но чем-то посередине (см.: Парменид. 156). На этом основании можно рассматривать чисто математические треуголь­ ники — и чисто математические Платоновы тела, созданные из них

— как «границы» и «переходы» между чувственным и умопости­ гаемым мирами.

Остается один вопрос: Платон выбирает два треугольника в качестве основания своей конструкции, потому что они «прекрас­ нейшие». Что он имеет в виду? Сам он этого не объясняет, только замечает, что «обосновывать это было бы слишком долго», хотя это и важно, поэтому он «объявляет конкурс» на еще более подходящие формы: «Если кто-нибудь выберет и назовет нечто еще более прекрасное... мы подчинимся ему не как неприятелю, но как другу»76. Но, по мнению Артмана77, обосновать выбор Платона

совсем не сложно. Эти два треугольника являются самыми прекрас-

78

ными потому, что в них заложена простая пропорция , которая

79

соединяет первые четыре Платоновы тела . «Прекраснейшая связь», по мнению Платона, это пропорция а : Ъ = Ъ : с. И мы находим такую пропорцию в конструкциях с этими двумя видами треугольников:

Тимей. 53d.

Artmann, Schäfer. On Plato's «Fairest Triangles». P. 255-264.

Тимей. 53d: «...земли и огня, а равно и тех [стихий], что стоят между ними как средние члены пропорции...»

Тимей. 31Ь-32а: «Однако два члена сами по себе не могут быть хорошо со­ пряжены без третьего, ибо необходимо, чтобы между одним и другим ро­ дилась некая объединяющая их связь. Прекраснейшая же из связей такая, которая в наибольшей степени единит себя и связуемое, и задачу эту наи­ лучшим образом выполняет пропорция, ибо, когда из трех чисел — как ку­ бических, так и квадратных — при любом среднем числе первое так отно­ сится к среднему, как среднее к последнему, и соответственно последнее к среднему, как среднее к первому, тогда при перемещении средних чисел на первое и последнее место, а последнего и первого, напротив, на средние места выяснится, что отношение необходимо остается прежним, а коль скоро это так, значит, все эти числа образуют между собой единство».

224 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

вид [тела], покоящегося на квадратных основаниях и потому особо устойчивого, оказывается самым неподатливым, при­ чем его высокая способность к отпору объясняется и тем, что как раз он плотнее всех прочих81.

Теория треугольников объясняет также качества различных жидкостей, в том числе вина, масла и меда:

Но самые многочисленные виды вод, смешиваясь друг с другом, сочатся в произращенных землей растениях, и оттого их род получил имя соков. Поскольку же от смешений вышло большое многообразие, то большинство родов оста­ лось без особого названия; однако четыре вида, таящие в себе огонь, получили, как особенно примечательные, свои имена. Первый из них имеет свойство разогревать душу и вместе с ней тело: он наречен вином. Второй - гладкий и вызывает рассеивание зрительного огня, а потому явлен глазу про­ зрачным, блестящим и лоснящимся, это вид подобных елею масел; к нему относятся смола, касторовое масло, а также сам елей и то, что имеет его свойства. Третий обладает способ­ ностью расширять суженные поры рта до их естественного состояния, вызывая этим ощущение сладости: он получил родовое наименование меда82.

Однажды Сократ ради забавы доказывал известному мудрецу Гиппию заведомо ложное утверждение, обращаясь при этом за помощью к арифметике. Гиппий утверждал, что не может быть так, что «один и тот же человек был и правдив и лжив»83. Тогда Сократ аргументирует следующим образом: Гиппий очень умен, а также весьма опытен в искусстве счета. Он может мгновенно подсчитать, сколько будет трижды семьсот, и не ошибиться: трижды семьсот - это две тысячи сто. В этом Гиппий оказывается «правдивым». Но тот же Гиппий может, если захочет, дать и неправильный ответ: «трижды семьсот — это две тысячи двести». И так как он точно

81Тимей. 62Ь.

82Тимей. 59е-60Ь. Гиппий Меньший. 365с.