546 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ

BDC=BCD; BCF = BFC.

At

BDC + DCB + BCF + CFB = 2 Rectis.

Quare DCB + BCF erit = Recto. Hinc Angulus CDA =ACFet triangula ACD, AFC similia. Quare

AC:AD = AF:AC

et АС*и = Rectg. sub AD et ^F i. e. sub ВС - AB et ВС + ЛЯ. Hinc

(Eukl. Elem. И)78

AC*u = BC?u-ABqu

et

QED.

Г8: Доказательство теоремы Морли79

Мы уже говорили (см. Б2) о том удивительном факте, что точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треуголь­ ника являются вершинами равностороннего треугольника. Давайте теперь докажем это. Мы начнем с треугольника Морли, т. е. с равностороннего треугольника, сконструируем на нем три треугольника и покажем, что они формируют треугольник с трисектрисой углов. Потом можно, идя в «обратную сторону», убедиться, что каждый треугольник имеет внутри равносторонний треугольник.

Гаусс применяет здесь предложение 5 из второй книги Евклида: «Если прямая линия рассечена на равные и неравные отрезки, то прямоугольник, заключенный между неравными отрезками всей прямой, вместе с квадра­ том на отрезке между сечениями равен квадрату на половине».

Есть целый ряд доказательств. Мы применяем в основном доказательство от: Newman D. J. The Morley miracle // The Mathematical Intelligencer 18, 1996. P. 31-32. Больше информации о теореме Морли см. в: Oakley С. О., Baker J. С. The Morley trisector theorem // American Mathematical Monthly 85, 1978. P. 737-745.

произвольные, только их сумма должна быть равна 60°. (В нашем рисунке мы выбрали а = 20°, β= 15°, γ = 25°.)

В треугольнике Θ мы назовем одну сторону л: и в треугольнике Φ мы назовем одну сторону у.

Пример чисто аксиоматической дедукции 549

с другими внешними треугольниками, то мы докажем, что полу­ чили следующую фигуру:

Мы видим, что наша конструкция, начиная с треугольника Морли с произвольной стороной s, привела к треугольнику с разделенными на три части углами. И так как гомотетия сохраняет все углы, начиная от треугольника Морли, мы всегда получим нашу большую фигуру с трисектрисой углов, и наоборот.

Г9: Пример чисто аксиоматической дедукции

В параграфе 2.11 мы говорили, что платоновские диалоги по своей структуре часто аналогичны математическим дедукциям, и разъяс­ няли это с помощью схемы, где левая сторона демонстрировала один из примеров математической дедукции. Изложим здесь эту дедукцию подробнее.

Суть аксиоматического метода состоит в том, что сначала опре­ деляется фундамент: перечисляются все аксиомы и все правила, необходимые для сооружения теории. Решить, какие именно аксиомы и правила являются подходящими и достаточными, — обычно довольно сложное дело, но предположим, что нам дан этот фундамент. Тогда построение предложений на нем является в

550 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ

принципе заданием, которое можно решать машинным способом. Мы поставляем машине аксиомы и правила, а она дает нам результаты.

Рассмотрим сейчас кусочек такого «машинального» хода аксио­ матической дедукции. Наши предпосылки: три аксиомы Al, А2, A3, одна дефиниция DS и одно соглашение V:

Как это возможно? Сначала мы скажем машине, чтобы она выбрала DS и подставила вместо b выражение (Ь - с). Машина автомати­ чески заменяет вторые скобки квадратными:

© выражение с той же структурой, как в левой части дефиниции DS, т. е. структуру (а - Ь) + А, и «сократить» ее согласно DS. Машина находит в уравнении © термин (Ь - с) + с, сокращает его на é, и пишет уравнение © в сокращенной форме

® [а-(Ъ-с)]+ Ь = а + с.

Теперь машина должна заменить термин а на правой стороне уравнения ® на термин (а - Ь) + b согласно DS. Машина делает это и пишет

Пример чисто аксиоматической дедукции 551

Следующий шаг: применить аксиому А2. Но где и как? Машина уже опытна: она видит, что структура правой стороны уравнения ® совпадает с левой стороной формулы А2, т. е. она идентифи­ цирует (а - Ь) в уравнении ® как а в А2. Она записывает результат как:

©[я-(6-с)]+ * = (л-*) + (* + с).

стороне уравнения ©. А как? Ну, пусть (а - Ь) примем за один термин. Тогда машине понятно, что надо делать, и она пишет

Что же дальше? Машина сама догадается, что можно применить аксиому A3, тогда слагаемое Ь «исчезнет», и получается

©[а-(Ь-с)] = [(«-А) + с].

Итак как машина умна, она сразу уберет квадратные скобки, потому что они очевидно не нужны:

©а-(Ь-с) = (а-Ь) + с.

Последний шаг: согласно соглашению V, мы можем упростить скобки на правой стороне уравнения ®. Машине это понятно, и она пишет:

® a-(b-c) = a-b + c.

А это то, что мы хотели вывести.

Внимательный философ, однако, не совсем удовлетворен. Да, машина безупречно выполнила каждый приказ, и нет сомнения, что на основании наших предпосылок действительно получится теорема ®. Математическое заключение, до тех пор пока речь идет только о вытекающих из него результатах, можно заменить «на чисто формальное действие по определенным правилам, из кото-

552 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ

рого совершенно исключено настоящее мышление»81. И это выгодно, экономятся силы для «собственных задач» мышления. Эрнст Мах особо подчеркивал значение такой «экономии мыш­ ления», как в математике, так и в физике. Поэтому уже в школе учат вычислять и применять формулы без излишних размышлений

— если каждый шаг потребует мысленных усилий, то ничего не получится. То же самое с аксиомами и правилами: мы определяем и обосновываем их один раз, а потом просто применяем.

Получается своего рода «механическое мышление», или, по словам

82

одного критика, «постоянный грохот мельницы формул» . И иногда кажется, что эта машина «умна», — как выразились и мы,

— но на самом деле это не так. Мы можем, конечно, запрограм­ мировать машину так, что она будет самостоятельно обрабатывать все возможные термины, используя наши предпосылки, но это бесконечная работа, как и почти все результаты, несмотря на их «истинность», является просто бессмысленной. Конечно, если мы располагаем бесконечным временем, то теорема ® когда-то появится, но когда? Выхода нет: фактически мы сами должны додумывать каждый шаг; машина просто не сможет догадаться, что следует начать с уравнения [а - (Ь - с)] + (Ь - с) = а . И не сможет догадаться, что потом надо сложить с, и т. д. Даже опытный математик не сразу видит, какие именно шаги ведут к цели, — мы уже знаем про Гаусса, как он мучился много лет и не мог найти правильный путь. Поэтому неудивительно, если гуманитарий, посмотрев на нашу дедукцию, скажет, что он никогда бы не догадался, каким должен быть каждый следующий шаг. Чисто аксиоматический метод «выгоден» только при условии значитель­ ной помощи человеческого разума и опыта.

Bernays. Über Huberts Gedanken zur Grundlegung der Arithmetik. S. 12.

Becker. Mathematische Existenz. S. 516. Следует помнить, однако, что формализм Гильберта стремится не только гарантировать надежность мышления, но и хочет разгрузить его, вследствие чего мысль сможет обратиться к своим «подлинным», важным вещам. В физике значение такой «экономии мышления» подчеркивал Эрнст Мах.

Примеры использования абсолютной логики 553

ПО: Примеры использования абсолютной логики

В Г9 мы видели не только преимущества, но и ограничения, которые на нас накладывает чисто формальное, «машинальное» мышление: без творческого духа математика практически ничего не получается. Раньше мы говорили о еще более глубокой неполноте формальных дедукций: согласно Курту Геделю, в каждой формальной и непротиворечивой арифметической системе неизбежно существует тезис, который нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Поэтому, как подчеркивал Пауль Финслер, формаль­ ная логика может быть только вспомогательной дисциплиной; в науке нужна мысль, которая опирается на «чистую» или «абсолютную» логику и возвышается над формальной логикой, над логическими формулами. Нужно, можно сказать, «содержа­ тельные» умозаключения, «содержательное» мышление.

Но как выглядит такое мышление? Финслер привел конкретные примеры, доказывающие что неразрешимые при чисто формальном подходе проблемы могут быть решены при использовании «абсолютной логики» или «содержательного мышления». Приведем три случая.

Сначала мы обсудим парадокс лжеца и роль абсолютной логики в разрешении этой кажущейся антиномии. Затем рассмотрим довольно наглядный пример содержательного, а не чисто формального мышления; это упражнение не столь сложно и вполне доступно для философов. А в конце приведем уже чисто логико-математический пример, данный Финслером в сокращенной форме; при его обсуждении с гуманитариями потребуется, наверное, помощь и объяснения со стороны математиков.

1

Существуют выражения, утверждающие свою ложность. К ним относится, например, парадокс лжеца. Допустим, я говорю: «То, что я сейчас скажу, это ложь». Или пишу на бумаге: «Написанное здесь утверждение ложно». Такие выражения называются парадоксами, и обычно думают, что надо их запретить или считать нонсенсом. И это понятно, если мы остаемся на «формальном

554 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ

уровне», т. е. только на уровне самого выражения, потому что тогда мы неизбежно попадаем в заколдованный круг: если правда, что я лгу, тогда мое утверждение ложно, и следовательно, я не лгу! А если я не лгу, тогда мое утверждение «Я лгу» правда, а значит, я лгу!.. Из этой клетки противоречия, кажется, нет выхода. А на самом деле есть. Используя миф Платона о пещере, мы можем сказать: проблема в том, что при такой чисто формальной логике мы остаемся в пещере формализма и смотрим недвижно на стену, где видим лишь этот порочный логический круг. Но если мы отбросим цепи и уйдем из этой пещеры, «свет» покажет нам истину, другими словами: тогда мы сможем использовать настоящую, «абсолютную» логику. В нашем примере: мы больше не останемся внутри выражения «Я лгу», а посмотрим на него с обзорной площадки, и тогда заметим: каждое утверждение настаивает на том, что сказанное является правдивым. Это значит: если я утверждаю, что я лгу, то — с высшей точки зрения — сказанное правильно. А сказанное, само по себе, говорит, что это ложно. Значит, мы одновременно получаем высказывание А и высказывание поп-А. Но выражение «А и non-Α» является всегда ложным, независимо от смысла высказывания А. Следовательно, утверждение «Я лгу» — это не нонсенс, и оно не содержит парадокса, оно ложно. Результат использования абсолютной логики в нашем примере такой: Выражение «Я лгу» — это ложь. Просто ложь, и все.

2

Возьмем классную доску (или хотя бы представим ее). На доске мы напишем четыре текста (в сокращенной форме): доказательство, что л/1 — рациональное число; доказательство, что л/2 — иррациональное число; доказательство, что л/3 — иррациональное число; доказательство, что л/4 — рациональное число. А потом еще следующий пятый текст:

Определение: Пусть m будет самое маленькое натуральное число, о котором на этой доске не представлено доказа­ тельство, рационален или иррационален 4т.

Примеры использования абсолютной логики 555

Утверждение: Vm иррационален.

Доказательство: На доске приведены доказательства рациональности или иррациональности для чисел 1, 2, 3, 4. Поэтому m > 4. Далее: на доске находятся доказательства для не более чем 5 чисел, поэтому верно, что m < 9. Значит 4< m < 9, значит 2 < Vm < 3. А квадратный корень из натурального числа — либо целое число, либо иррациональное число. Но л//й не может быть целым числом, поэтому он — нерациональное число, q.e.d.

Значит, на доске находятся следующие тексты:

Сейчас мы можем сделать вывод, что m = 5, потому что, если бы m было >5, то оно не было бы самым маленьким числом, для которого не решено (посредством написанных на доске дока­ зательств), рационально его корень или нет. Но если m = 5, то ясно, рационален или иррационален Vm — в противоречии с его определением! Другими словами, пятое доказательство не безупречно: оно требует, чтобы оно не было написано на доске, а на самом деле оно там написано. Значит, на формальном уровне (т. е. учитывая лишь то, что написано на доске), мы ничего не можем сказать о значении числа т. Но если мы покидаем этот уровень, убираем пятое доказательство с доски и используем его лишь мысленно, «чисто логически», то все в порядке, и действительно, m = 5. — Результат всего размышления: мы дали