498 МОТИВИРОВКИ ВЫБОРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА

эллинистическое представление бесконечности Бога слилось с аристотелевской актуальностью Бога, — и только с тех пор мы привыкли говорить об актуальной бесконечности; в эпоху Возрождения начали говорить даже о бесконечности земного мира. Вместе с тем утверждалось, что человеческое мышление способно воспроизводить мышление Бога. И тут, говорит Лоренцен, скрываются предмнения, которые лежат в основе современной классической математики. Тот факт, что большинство математиков не принимали взглядов Брауэра, связан не с тем, что эти взгляды усложняют математику (если Брауэр прав, то, ради истины, надо следовать им, несмотря на трудности!), но с тем, что они противостоят теолого-метафизическим, — ив конце концов плато­ ническим, — убеждениям классических математиков.

Б4: Понятие «степень множества» в теории множеств

Возьмем опять ряд натуральных чисел. Все вместе они пред­ ставляют, как говорят, «множество». Квадраты этих чисел тоже представляют множество, как и четные числа, простые числа, числа больше 5 и т. д. Эти множества определяются с помощью свойств1 . Они являются, очевидно, частями ряда натуральных чисел, поэтому и называются подмножествами. И очевидно, что существует бесконечное количество подмножеств.

Интересно, что в современной математике говорится также о всевозможных (!) подмножествах, которые объединяются (!) под названием «множества подмножеств», или «степени множеств». А что это такое на самом деле? Ведь мы не определили это «множество» с помощью его свойств и не объяснили, как можно определить все подмножества! За верой, что мы в принципе можем

hart. Unendlichkeit im Schnittpunkt von Mathematik und Theologie. 2. Band. S. 499).

Множество простых чисел, например, определяется с помощью следую­ щего свойства: число χ называется «простым», если из уравнения х-т η следует, что либо m = 1, либо η = 1. По формуле: Vw,n (дг - m/i -* m -1 ν л -1)

Загадка интеллектуальной молнии 499

привести определяющие свойства для всех подмножеств, лежит определенное представление, а именно представление, что в мате­ матике все лингвистические средства даны нам как бесконечное множество яиц в коробочке, которые «в принципе» все доступны. Значит, этот пример классической математики можно понимать практически только на основании платоновских взглядов.

Б5: Загадка интеллектуальной молнии

Вспомним слова Гаусса, которые мы уже цитировали: «Наконец, несколько дней назад, я преуспел, — но не благодаря моим тяжелым поискам, а только милостью Бога — так я хотел бы сказать. Как удар молнии, загадка была разрешена; я сам не смог бы выявить связующую нить между тем, что я знал раньше, моими последними попытками, — и тем, вследствие чего попытка удалась»1 . Многие математики сталкивались с этим феноменом: без собственного труда проблема не решается — «Ничего не приходит из ничего!», — но важнейшая мысль приходит «извне». Чистяков, например, напоминает, что у Архита, который решил знаменитую делосскую задачу, был «необыкновенно тонкий ум и весьма большой талант», но это не все — решение Архита «вызы­ вает восторг и удивление даже у современных математиков. Так, например, крупный голландский математик Ван дер Варден, извест­ ный своими трудами по современной алгебре и замечательными исследованиями по истории античной математики, излагая метод Архита... не мог воздержаться от восклицания: "Разве это не замечательно? Архита, должно быть, осенило некоторое поистине божественное вдохновение, когда он нашел это построение"» .

Каждый студент испытывает нечно подобное, хотя, конечно, и в меньшей степени: бывают моменты, когда он не просто верит профессору и более-менее с пониманием следует его объяснениям, но ясно чувствует: «А-а-а, — сейчас я понял!» А то, что в этот

Письмо Гаусса к Олберсу от 3 сентября 1805 г. (Gauss. Werke Х/1. S. 25). Чистяков. Три знаменитые задачи древности. С. 14-15.

500 МОТИВИРОВКИ ВЫБОРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАТОНИЗМА

момент происходит, невозможно объяснить лишь с рациональной точки зрения, — скорее это действительно похоже на удар молнии. И тогда студент понимает смысл мифа Платона о припоминании того, что его душа видела раньше.

502ТЕМЫ ДЛЯ ФИЛОСОФСКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСКУССИЙ

Внаши дни студенты гуманитарных дисциплин обычно не имеют достаточной математической подготовки: многие забыли почти все, чему учились в школе, и зачастую вспоминают об уроках математики без всякого удовольствия. Это, конечно, не только их вина, но сейчас нас интересует вопрос: возможно ли тренировать с ними математические навыки и привычки в смысле Платона? Ответить на него не просто, так как многое этому препятствует: время, деньги, учебная программа, нехватка подходящих преподавателей, неготовность студентов... Но все же стоит искать для этого возможности; в Приложении Г мы предлагаем в качестве стимула ряд упражнений, которые опытный учитель легко сможет адаптировать, исходя из уровня своих учеников. Кроме того, очень полезным может быть то, что описывала в своей книге И. Н. Мочалова — овладение диалектическим опытом и диалектическим искусством в платоновской академии. И мы спрашиваем: почему в философских семинарах не отводить каждый раз хотя бы 15 минут на такую тренировку? Вот это описание:

«Для двух участников (или групп участников) устанавливалось некоторое утверждение, называемое θέσις или πρόβλημα, например "удовольствие есть благо". Вопрошающий должен был занимать положение, противоположное положению отвечающего, стремясь уличить его в противоречии и заставить перейти на свою точку зрения, в то время как тот, возражая, стремился показать слабость аргументации противника. Эти дебаты проходили, очевидно, перед аудиторией, под наблюдением старших, опытных академиков, которые давали требуемые в ходе обсуждения разъяснения. В частности, оба участника должны были оставаться в области общепринятого (δόξα, ενδοξον), не впадая в "невероятное" (άδοξα) и "противное здравому смыслу" (παράδοξα). Средства, которыми при этом пользовался вопрошающий, — силлогизмы, примеры, аналогии; отвечающий — различения понятий и их значений. Участники спора, как правило, пользовались двумя видами диалектических заключений: επιχείρημα, не определяемый ближе диалектический вывод, и άπόρημα, альтернативное заключение.