§ 5.2. Основные математические соотношения при

пластическом деформировании металлов.

В основе всех процессов деформирования лежат напряжения, возникающие в металле. Напряжение - это мера интенсивности сил, действующих на площади какой- либо поверхности тела. Определяется оно как отношение

для растяжения (сжатия)

= P/ f или = dP/ df , (5-1)

где P, dP - элементарная сила, действующая на элементарную площадь f, df;

для кручения, изгиба

= М/ W, (5-2)

где М - крутящий, изгибающий момент; W- соответствующая геометрическая характеристика сечения (геометрический момент сопротивления).

В общем случае полное напряжение направлено под некоторым углом к элементарной площади, и поэтому может быть разложено на две составляющие: нормальное напряжение , действующее перпендикулярно площадке, и касательное напряжение , действующее в плоскости элементарной площадки.

Если же рассматривать напряжения, действующие в объеме, то для декартовой системы 3-х координатных осей X, Y, Z проекции полного напряжения на каждую из координатных осей приводят к 3-м нормальным напряжениям _х , _y ,  _z и шести касательным напряжениям _yx , _zx , _xy , _zy,, _xz , _yz .

Совокупность этих девяти напряжений характеризует напряженное состояние рассматриваемого элементарного объема и описывается следующим тензором напряжений

_х , _xy , _xz

T_н = . _y , _yz , (5-3)

_{. .}  _z

Выбрав соответствующим образом координатные оси этот тензор можно упростить.

₁ , 0 , 0

T_н = 0 ₂ , 0 . (5-4)

0 0 ₃

где ₁ - означает наибольшее; ₂ - наименьшее, а ₃ промежуточное главное напряжение.

Наибольшие касательные напряжения действуют на площадках, наклоненным к главным под углом 45. Эти напряжения называются главными касательными напряжениями, величина которых определяется из формул

₁₂= 0,5(₁- ₂); ₂₃= 0,5(₂- ₃); ₃₁= 0,5(₃- ₁). (5-5)

На площадках, где действуют главные касательные напряжения, действуют и главные нормальные напряжения.

В теории пластичности введены в рассмотрение октаэдрические напряжения, действующие на плоскостях октаэдра, грани которого одинаково наклонены к 3-м главным осям напряжений. Так,

_окт= (₁+ ₂+ ₃)/3, (5-6)

_окт= (2/3)(²₁₂+ ²₂₃+ ²₃₁)^1./2= (1/3)[(₁- ₂)²+ (₂- ₃)²+ (₃- ₁)²]^1/2.

Если рассматривать напряжения, действующие по случайным (не главным) ортогональным площадкам, то можно записать

_окт = (1/3)[(_z- _y)²+ (_y- _z)²+ (_z- _x)² +6( ²_xy + ²_zx,+ ²_yz )]^1/2 . (5-7)

В теории пластичности иногда _окт называют интенсивностью касательных напряжений и обозначают _i .

Образование остаточных деформаций в металлах происходит сдвигом частиц друг относительно друга. Одно из наиболее ранних условий пластичности, сформулированное Сен-Венаном, устанавливает, что пластическое состояние тела наступает тогда, когда максимальное касательное напряжение, действующее по наиболее опасным площадкам., достигает определенного значения, равного

max { }= k.. (5-8)

Поскольку max { } является абсолютной величиной одного из 3-х главных касательных напряжений,то

₁₂ = (₁- ₂)/2; ₂₃ = (₂- ₃)/2; ₃₁= (₃- ₁)/2 .

Эти условия иногда описывают выражением [10]

_max= (₁- ₃)/2. (5-9)

Величина, именуемая “интенсивностью напряжения”, “эквивалентное напряжение”[10], связана с _i соотношением

_i= 3_i/(2)^1/2= (2)^-1/2[(₁- ₂)²+ (₂- ₃)²+ (₃- ₁)²]^1/2

или

_i= (2)^-1/2[(_z- _y)²+ (_y- _х)²+ (_z- _x)² +6( ²_xy + ²_zx,+ ²_yz )]^1/2. (5-10)

Формула (5-10), как показали экспериментальные исследования, применима к оценке предельных состояний пластичных материалов и дает результаты, менее удовлетворительные для материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию.

Если в пределах упругих деформаций справедлив закон Гука = Е , то в сложном напряженном состоянии закон Гука может быть записан в форме [10]

_i = Е^ _i , (5-11)

где Е^- функция деформации  или Е^ =d_i /d;

_i= 2^-0,5(1+)^-1[(_y- _z)²+ (_z- _x)²+ (_x- _y)²+ 1,5(²_yz+ ²_zx+ ²_xy)] ^1/2- интенсивность деформаций; - коэффициент Пуассона; _yz , _zx , _xy- относительные углы поворота сечений.

Губером и Мизесом было предложено другое условие, согласно которому пластическое состояние тела наступает в тот момент, когда интенсивность напряжений достигает определенного значения k, постоянного для каждого деформируемого материала, т.е. когда _i= k.

Согласно этому условию пределы текучести на растяжение и сдвиг связаны зависимостью

k= _т= 3^1/2 _т. (5-12)

Если металл находится при всестороннем сжатии или растяжении, то в этом случае отсутствуют касательные напряжения, а материал деформируется лишь упруго. При всестороннем сжатии не может произойти разрушения, а при всестороннем растяжении разрушение происходит как хрупкое.

Исследования показали, что сопротивление металлов зависит от скорости деформирования и температуры в зоне деформации. При растяжении скорость деформирования характеризуется выражением v_д = d / dt , где  - относительное удлинение (истинная деформация). Следует отметить, что скорость деформирования не совпадает со скоростью движения деформирующего инструмента, а при равной скорости приложения нагрузки будет тем большей, чем меньшими являются длина или высота, или толщина деформируемого объема металла.

Отмеченное явление имеет разные объяснения. Так, Кузнецовым В.Д.¹⁶ отмечается, что пластическая деформация сопровождается упрочнением и отдыхом. Упрочнение не зависит от температуры и определяется лишь степенью деформации. Скорость отдыха же зависит от температуры, а при постоянной температуре определяется временем отдыха и величиной, полученного упрочнения. Следовательно, в случае низкой v_д для отдыха будет достаточно времени, часть упрочнения успеет сняться отдыхом и сопротивления пластическому деформированию будут снижены. При высокой v_д отдых успеет совершиться лишь в незначительной степени, а большая часть упрочнения сохранится и сопротивление останется высоким.

В работе [2] отмеченное явление объясняется тем, что при большой скорости деформации процесс рекристаллизации не успевает завершиться. Поэтому при высоких скоростях вследствие ухудшения пластических свойств может произойти разрушение металла.

Связь касательных напряжений Клушин М.И.¹⁷ аппроксимирует выражением

= Cvⁿ_д, (5-13)

где С, n - экспериментально определенные коэффициенты.

Клушин М.И. дает следующие выводы:

1. Изменения скорости деформирования вызывает тем более интенсивные изменения сопротивления деформированию, чем ниже температура плавления металла.

2. При повышении скорости деформирования сопротивление деформированию возрастает не пропорционально скорости, а значительно медленней последней. Влияние скорости деформирования на сопротивление уменьшается с увеличением v_д .

3. Влияние v_д возрастает с увеличением температуры испытания, однако медленнее для металлов с высокой температурой плавления и быстрее для металлов с низкой температурой плавления.

При снижении температуры испытаний ниже нуля у поликристаллических хладноломких металлов интенсивно повышается начальный предел текучести, но упрочнение при этом мало меняется.